المشتقات: مقدمة

قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.

1. السؤال 1الدالة $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$ معرّفة عند $0$. انطلاقًا من تعريف المشتقة، ما المستقيم المماس لمنحناها البياني عند النقطة $(0, 1)$؟

   $y = 1 - 2x$

   $y = 1 + \frac{x}{2}$

   $y = -2x$

   $y = 1 + 2x$

2. السؤال 2احسب مشتقة $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1}$ عند $3$.

   $-\frac{1}{2}$

   $6$

   $\frac{1}{2}$

   $-1$

3. السؤال 3احسب مشتقة $f(x) = e^x \cos x$ عند $\frac{\pi}{4}$.

   $0$

   $\sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}}$

   $-\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

   $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

4. السؤال 4احسب مشتقة $f(x) = \cos^2(2x)$ عند $\frac{\pi}{8}$.

   $-2$

   $-1$

   $2$

   $\sqrt{2}$

5. السؤال 5في أيّ هذه الفترات تضمن مبرهنة بولزانو أن للمعادلة $x^3 + 2x = 5$ حلًّا؟

   $\icc{1}{2}$

   $\icc{0}{1}$

   $\icc{2}{3}$

   لا تضمن ذلك في أيٍّ منها، لأن المبرهنة لا تتناول إلا المعادلات التي على الشكل $F(x) = 0$.

6. السؤال 6الدالة $f(x) = x^5 + x$ متصلة ومتزايدة تمامًا على $\mathbb{R}$. ما قيمة $\left(f^{-1}\right)'(2)$؟

   $\frac{1}{6}$

   $\frac{1}{81}$

   $6$

   $81$

7. السؤال 7احسب مشتقة $F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x$ عند $1$.

   $2 + 2\ln 2$

   $2$

   $2\ln 2$

   $1 + \ln 2$

8. السؤال 8احسب المشتقة من الرتبة $5$ لـ$f(x) = x e^{2x}$ عند $0$.

   $80$

   $16$

   $0$

   $160$

9. السؤال 9يحافظ مستطيل على مساحته البالغة $6$ من السنتيمترات المربعة بينما تزداد قاعدته بمعدل $3$ من السنتيمترات في الثانية. بأيّ سرعة يتغير ارتفاعه في اللحظة التي يكون فيها طول القاعدة $2$ من السنتيمترات؟

   يتناقص بمعدل $\frac{9}{2}$ من السنتيمترات في الثانية.

   لا يتغير: الارتفاع قيمته $3$ ومشتقته $0$.

   يتزايد بمعدل $\frac{9}{2}$ من السنتيمترات في الثانية.

   يتناقص بمعدل $\frac{3}{2}$ من السنتيمترات في الثانية.

10. السؤال 10من وحدات سابقةاحسب $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$.

    $0$

    $1$

    $-\frac{1}{2}$

    غير موجودة، لأن خارج القسمة على الشكل $\frac{0}{0}$.

11. السؤال 11من وحدات سابقةاحسب $\lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h}$.

    $-2$

    $1$

    $2$

    $0$

12. السؤال 12من وحدات سابقةأيّ هذه الدوال هي $\operatorname{o}(h)$ عندما $h \to 0$؟

    $h \sin h$

    $\sin h$

    $\sqrt{\abs{h}}$

    $2h + h^2$

13. السؤال 13من وحدات سابقةإذا كان $f(x) = 2x^3 + 3$، فما قيمة $f^{-1}(19)$؟

    $2$

    $8$

    $\frac{1}{13721}$

    $13721$

14. السؤال 14من وحدات سابقةما قيمة $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$؟

    $\frac{4}{5}$

    $-\frac{4}{5}$

    $\frac{16}{25}$

    $-\frac{3}{5}$