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Topos Uranos
Deutsch

Ableitungsregeln

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet aus der Carathéodory-Charakterisierung die Regeln her, mit denen man ableiten kann, ohne jedes Mal den Differenzenquotienten bemühen zu müssen: die Ableitung einer Linearkombination, eines Produkts, eines Kehrwerts und eines Quotienten. Jede Regel ergibt sich auf dieselbe Weise: Der Zuwachs der neuen Funktion wird als Produkt mit x−ax - a geschrieben, mit einem an der Stelle aa stetigen Faktor, und der Wert dieses Faktors an der Stelle aa ist die Ableitung. Mit den Regeln leitet man die Potenzen mit ganzzahligem Exponenten, die Polynome und die rationalen Funktionen ab. Die Lektion schließt mit den stückweise definierten Funktionen: Innerhalb jedes Stücks gilt die Formel des Stücks, und an den Nahtstellen entscheiden die einseitigen Ableitungen, die nicht immer die Ableitungen der Formeln sind.

Lernziele

  1. Mit der Carathéodory-Charakterisierung die Regeln für Linearkombination, Produkt, Kehrwert und Quotient beweisen.
  2. Potenzen mit ganzzahligem Exponenten, Polynome und rationale Funktionen ableiten und den Definitionsbereich jeder Ableitung angeben.
  3. Mit den einseitigen Ableitungen entscheiden, ob eine stückweise definierte Funktion an einer Nahtstelle differenzierbar ist.
  4. Bei den Regeln hinreichende von notwendigen Voraussetzungen unterscheiden und erkennen, wann die Ableitungen der Formeln der Stücke nicht die Ableitung der Funktion liefern.

Die Ableitung hängt nur davon ab, was in der Nähe der Stelle geschieht

Die Lektion über die Ableitung als Grenzwert hat jede Ableitung mit ihrem Differenzenquotienten berechnet. Für eine Funktion wie x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} ist diese Rechnung lang; stattdessen lohnt es sich zu wissen, wie sich die Ableitung bei den Rechenoperationen verhält. Alle Regeln dieser Lektion stützen sich auf die Carathéodory-Charakterisierung aus derselben Lektion: ff ist an der Stelle aa differenzierbar, mit f′(a)=Lf'(a) = L, genau dann, wenn es eine Funktion φ\varphi gibt, die an der Stelle aa stetig ist, mit φ(a)=L\varphi(a) = L, sodass f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) für jedes xx aus dem Definitionsbereich gilt. Um zu beweisen, dass eine Funktion an der Stelle aa differenzierbar ist, genügt es daher, ihren Zuwachs als Produkt mit x−ax - a zu schreiben, mit einem an der Stelle aa stetigen Faktor; der Wert dieses Faktors an der Stelle aa ist die Ableitung. Der Satz über Operationen mit stetigen Funktionen aus der Lektion über Grenzwert und Stetigkeit sorgt für die Stetigkeit des Faktors.

Vorher ist eine Frage der Definitionsbereiche zu klären. Zwei Funktionen können verschiedene Definitionsbereiche haben, und der Quotient fg\frac{f}{g} ist nur dort definiert, wo gg nicht verschwindet. Das folgende Lemma besagt, dass sich die Ableitung nicht ändert, wenn man den Definitionsbereich verkleinert, sofern die Stelle Häufungspunkt bleibt, und dass sie nur von den Werten nahe der Stelle abhängt.

LemmaLokaler Charakter der Ableitung

Es seien ff eine auf AA definierte Funktion, aa ein Element von AA, BB eine Teilmenge von AA, die aa enthält, und FF die Einschränkung von ff auf BB.

  • Ist aa Häufungspunkt von BB und ist ff an der Stelle aa differenzierbar, so ist FF an der Stelle aa differenzierbar, und F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Ist aa Häufungspunkt von AA und gibt es ein δ>0\delta > 0, sodass jedes xx aus AA mit ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta zu BB gehört, so ist ff an der Stelle aa genau dann differenzierbar, wenn FF es ist, und in diesem Fall gilt F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

Die erste Aussage ist das Lemma über die Einschränkung aus den Rechenregeln für Grenzwerte; die zweite drückt aus, dass die Definition des Grenzwerts nur auf die nahe gelegenen Punkte schaut.

Beweis

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    Der Differenzenquotient von FF ist die Einschränkung auf B∖{a}B \setminus \{a\} desjenigen von ff. Ist aa Häufungspunkt von BB, so liefert das Lemma über den Grenzwert einer Einschränkung aus der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte denselben Grenzwert.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    Im zweiten Fall liegt jeder Punkt von AA, der von aa verschieden ist und einen Abstand kleiner als δ\delta hat, in BB: Da aa Häufungspunkt von AA ist, ist es auch Häufungspunkt von BB, und die erste Aussage liefert eine Implikation. Für die andere seien, falls F′(a)=LF'(a) = L gilt, ε>0\varepsilon > 0 gegeben und δ′\delta' eine Antwort für den Quotienten von FF; die kleinere der Zahlen δ\delta und δ′\delta' ist eine Antwort für den Quotienten von ff, denn die beiden Quotienten stimmen in den xx überein, die sie erfasst.

Aus der zweiten Aussage folgt, dass zwei auf AA definierte Funktionen, die in den Punkten von AA nahe aa übereinstimmen, entweder beide an der Stelle aa differenzierbar sind, mit derselben Ableitung, oder keine von beiden: Beide haben auf diesen Punkten dieselbe Einschränkung. Und aus der ersten, dass man, wenn ff und gg verschiedene Definitionsbereiche haben, die beide die Stelle aa enthalten, im Durchschnitt der Definitionsbereiche arbeiten kann, sofern aa Häufungspunkt dieses Durchschnitts ist. Deshalb werden im Folgenden ff und gg als auf ein und derselben Menge AA definiert vorausgesetzt.