Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion

Die Tangente und die Geschwindigkeit

In der Lektion über die Parabeln ist eine Gerade in einem Punkt Tangente an die Kurve, wenn sie diese nur dort berührt, ohne sie zu kreuzen. Diese Vorstellung genügt für die Kegelschnitte, aber nicht für jede beliebige Kurve. Im Ursprung liegt die Kurve $y = x^3$ links unterhalb der waagerechten Achse und rechts oberhalb: Jede Gerade durch den Ursprung kreuzt sie, und die Geraden $y = mx$ mit $m < 0$ berühren sie nur dort, denn $x^3 = mx$ erfordert $x = 0$ oder $x^2 = m$. Keine Gerade erfüllt die Bedingung, und doch ist die waagerechte Achse dem Augenschein nach die Gerade, die sich der Kurve in der Nähe des Ursprungs am besten anschmiegt. Daher braucht man eine andere Definition, die nicht von der globalen Gestalt der Kurve abhängt, sondern nur davon, was in der Nähe des Punktes geschieht.

Die Idee ist alt: Die Tangente ist die Grenzlage der Sekanten. Betrachten wir eine Funktion $f$ und einen Punkt $(a, f(a))$ ihres Graphen. Für $h \neq 0$ hat die Sekante durch $(a, f(a))$ und durch $(a + h, f(a + h))$ die Steigung

Wenn $h$ sich $0$ nähert, nähert sich der zweite Punkt dem ersten, und wenn die Steigungen einen Grenzwert haben, ist die Gerade durch $(a, f(a))$ mit dieser Steigung die Kandidatin für die Tangente.

Derselbe Grenzwert tritt bei der Untersuchung einer Bewegung auf. Ist $s(t)$ die Position eines Punktes, der sich auf einer Geraden bewegt, zum Zeitpunkt $t$, so ist der Quotient $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ seine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten $t_0$ und $t_0 + h$: die Verschiebung dividiert durch die verstrichene Zeit. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$, die ein Tachometer anzeigen würde, ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeiten, wenn $h$ gegen $0$ strebt. Ist zum Beispiel $s(t) = t^2 - 4t$, so ist die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen $1$ und $1 + h$ gleich $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$, was gegen $-2$ strebt: Zum Zeitpunkt $1$ bewegt sich der Punkt nach links, mit zwei Längeneinheiten pro Zeiteinheit. Die beiden Fragen, die nach der Tangente und die nach der Geschwindigkeit, führen auf denselben Grenzwert, und eben dieser Grenzwert wird nun definiert.

Die Ableitung an einer Stelle

Wie in der Lektion über den Grenzwert einer Funktion muss man zuerst präzisieren, wo der Grenzwert sinnvoll ist. Der Quotient braucht den Wert $f(a)$, sodass $a$ zum Definitionsbereich gehören muss; und der Grenzwert für $x$ gegen $a$ verlangt, dass $a$ Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist.

Der Quotient ist auf $A \setminus \{a\}$ definiert, und $a$ ist Häufungspunkt dieser Menge, denn die Definition des Häufungspunkts betrachtet nur die Elemente, die von $a$ verschieden sind. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts ist die Ableitung, falls sie existiert, eindeutig. In einem isolierten Punkt des Definitionsbereichs wird die Ableitung nicht definiert, obwohl dort jede Funktion stetig ist. Und wenn der Quotient gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt, ist die Funktion an der Stelle $a$ nicht differenzierbar: Die Ableitung ist eine reelle Zahl. Die Definition wird oft mit dem Zuwachs $h = x - a$ statt mit der Stelle $x$ geschrieben, wie im Beispiel.

Die ersten Ableitungen berechnet man direkt. Ist $f(x) = mx + b$, so beträgt der Differenzenquotient $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ für jedes $h \neq 0$, und sein Grenzwert ist $m$: Die Ableitung einer affinen Funktion ist an jeder Stelle ihre Steigung, und ihre Tangente ist die Gerade selbst. Insbesondere ist die Ableitung einer Konstanten $0$ und die der Identität $f(x) = x$ ist $1$. Für $f(x) = x^2$ liefert die Rechnung des Beispiels mit $a$ statt $1$ den Ausdruck $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$, und die Ableitung ist $2a$.

Einseitige Ableitungen

An den Randpunkten eines Intervalls oder an einer Stelle, an der die Funktion die Formel wechselt, betrachtet man den Differenzenquotienten am besten auf jeder Seite getrennt.

Zum Beispiel hat die Betragsfunktion an der Stelle $0$ den Differenzenquotienten $\frac{\abs{x}}{x}$, der $1$ ist, wenn $x > 0$, und $-1$, wenn $x < 0$: Ihre einseitigen Ableitungen sind $f'_+(0) = 1$ und $f'_-(0) = -1$, also verschieden, und $\abs{x}$ ist an der Stelle $0$ nicht differenzierbar. Ist dagegen eine Funktion auf $\icc{0}{1}$ definiert, so ist ihre Ableitung an der Stelle $0$ ihre rechtsseitige Ableitung und an der Stelle $1$ ihre linksseitige Ableitung: Die Definition behandelt die Randpunkte des Definitionsbereichs bereits als Stellen mit einer einzigen Seite. Zum Beispiel ist $f(x) = x$, eingeschränkt auf $\icc{0}{1}$, an der Stelle $0$ differenzierbar, mit $f'(0) = 1$.

Tangente und Normale

Mit der Ableitung hört die Tangente auf, eine Figur zu sein, die man mit dem Auge erkennt, und wird zu einer Geraden, die man berechnet.

Die Steigung der Normalen ergibt sich aus dem Satz über zueinander senkrechte Geraden aus der Lektion über die Geradengleichung: Zwei nicht vertikale Geraden sind genau dann zueinander senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ist. Was die Kurve $y = x^3$ betrifft, so ist ihr Differenzenquotient an der Stelle $0$ gleich $x^2$, was gegen $0$ strebt: Die Tangente im Ursprung ist die waagerechte Achse, obwohl sie die Kurve kreuzt. Wenn $f$ an der Stelle $a$ stetig ist und der Differenzenquotient gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt, nähern sich die Sekanten der Vertikalen; man sagt dann, der Graph habe in $(a, f(a))$ eine vertikale Tangente, die Gerade $x = a$, obwohl $f$ an der Stelle $a$ nicht differenzierbar ist.

Ebenso ist, wenn $s(t)$ die Position eines Punktes ist, der sich auf einer Geraden bewegt, seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$ gleich $s'(t_0)$, falls diese existiert. Ihr Vorzeichen gibt die Richtung der Bewegung an, ihr Betrag den Geschwindigkeitsbetrag. Die Lektion über Änderungsraten wird diese Deutung ausbauen.

Die Ableitungsfunktion und die Leibniz-Notation

Jede Stelle, an der $f$ differenzierbar ist, liefert eine Zahl, die Ableitung an dieser Stelle. Aus allen diesen Zahlen bildet man eine neue Funktion.

Zum Beispiel ist die Ableitung von $x^2$ die Funktion $2x$, definiert auf ganz $\mathbb{R}$; die der Betragsfunktion ist $1$ auf $\ioo{0}{\infty}$ und $-1$ auf $\ioo{-\infty}{0}$, und ihr Definitionsbereich enthält $0$ nicht. Die Notation $f'$ mit dem Strich stammt von Lagrange. Die andere übliche Notation stammt von Leibniz: Ist $y = f(x)$, so schreibt man die Ableitung $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ oder $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, und das Ableiten nach $x$ schreibt man als $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ vor den Ausdruck, der abgeleitet wird:

Die Notation erinnert daran, woher die Ableitung kommt. Ist $\Delta x$ der Zuwachs der Variablen und $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ der zugehörige Zuwachs der Funktion, so ist der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, und die Ableitung ist sein Grenzwert:

Es ist zu betonen, dass $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ vorerst ein einziges Zeichen ist und kein Quotient: $\mathrm{d}y$ und $\mathrm{d}x$ haben einzeln noch keinen Sinn; sie erhalten ihn in der Lektion über höhere Ableitungen und das Differential. Die Notation macht die Variable explizit, nach der abgeleitet wird: Hängt die Position von der Zeit ab, so schreibt man die Geschwindigkeit $s'(t)$ oder $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$.

Drei Charakterisierungen der Ableitung

Die Definition besagt, dass der Differenzenquotient gegen $f'(a)$ strebt. Es gibt zwei andere Arten, dasselbe zu sagen, jede für einen anderen Zweck nützlich: Die zweite vergleicht die Funktion mit ihrer Tangente; die dritte vermeidet das Dividieren.

Die Funktion $\varphi$ der dritten Charakterisierung ist, wenn sie existiert, eindeutig: Außerhalb von $a$ ist sie der Differenzenquotient, und an der Stelle $a$ ist ihr Wert der Grenzwert dieses Quotienten. Die zweite Charakterisierung erklärt, in welchem Sinn die Tangente die Gerade ist, die sich der Kurve am besten anschmiegt. Ersetzt man $f(a + h)$ durch $f(a) + mh$, mit einer Steigung $m$, die von $f'(a)$ verschieden ist, so ist der Fehler $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$, der, durch $h$ dividiert, gegen $f'(a) - m \neq 0$ strebt: Er ist von gleicher Ordnung wie $h$. Nur mit der Steigung $f'(a)$ ist der Fehler vernachlässigbar gegenüber $h$. Die dritte Charakterisierung hat einen technischen Vorzug: Sie ist eine Gleichheit zwischen Produkten, ohne Divisionen. Die Lektionen über Ableitungsregeln und über die Kettenregel werden sie benutzen, um nicht durch Größen zu dividieren, die verschwinden können. Die erste Folgerung ist unmittelbar.

Die Umkehrung ist falsch. Die Stetigkeit verlangt, dass $f(x) - f(a)$ gegen $0$ strebt; die Differenzierbarkeit verlangt mehr: dass der Quotient aus dieser Differenz und $x - a$ einen Grenzwert hat, das heißt, dass die Differenz gegen $0$ strebt, und zwar mindestens so schnell wie $x - a$ und ohne zwischen verschiedenen Steigungen zu oszillieren.

Beide Funktionen versagen an einer einzigen Stelle, aber es gibt Funktionen, die auf der ganzen Geraden stetig und an keiner Stelle differenzierbar sind; Weierstraß stellte 1872 das berühmteste Beispiel vor, dessen Konstruktion über diesen Kurs hinausgeht.

Gelöste Aufgaben

Die Aufgaben werden zunehmend schwieriger: Die erste berechnet eine Ableitung, die am Rand des Definitionsbereichs aufhört zu existieren; die zweite benutzt die Tangente, um eine Eigenschaft der Hyperbel zu entdecken; die dritte zeigt, dass die einseitigen Ableitungen nicht zu existieren brauchen; die vierte, dass eine Funktion an einer einzigen Stelle differenzierbar sein kann; und die letzte verbindet die Carathéodory-Faktorisierung mit den einseitigen Ableitungen.

Übungsaufgaben

Die Aufgaben werden zunehmend schwieriger: Die erste liest eine Ableitung in der Geometrie von Kreis und Kugel; die zweite sucht Normalen, die durch einen gegebenen Punkt gehen; die dritte zeigt, dass eine einseitige Ableitung dort existieren kann, wo die Funktion springt; die vierte vergleicht die Tangente der Ableitung mit der des Kreises; und die letzte untersucht einen Quotienten, der der Ableitung ähnelt, ohne sie zu sein. Jede hat einen Hinweis, den man erst öffnen sollte, nachdem man sie versucht hat.