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LatineZusammenfassung
Diese Lektion eröffnet die Einheit über die Ableitungen. Sie stellt den Gang der Einheit vor, die die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert, sie als Faktorisierung mit einem stetigen Faktor schreibt, der Carathéodory-Faktorisierung, und daraus, ohne je durch Größen zu dividieren, die verschwinden können, die Ableitungsregeln, die Kettenregel und die Ableitung der Umkehrfunktion gewinnt, bis hin zu den höheren Ableitungen, dem Differential und den Änderungsraten. Sie zeichnet die Geschichte der Ableitung nach, von Fermats Tangentenmethode bis zu Cauchys Definition, über Newtons Fluxionen, die Leibniz-Notation, Berkeleys Kritik und das Programm von Lagrange, der der Ableitung Namen und Schreibweise gab; sie formuliert das Problem, aus dem sie entstand, die Tangente an eine beliebige Kurve und die Geschwindigkeit in einem Augenblick, und zeigt an einem Beispiel, wie die Faktorisierung die Division durch einen verschwindenden Zuwachs ersetzt. Am Ende zeigt sie, wo die Ableitungen in der nächsten Einheit, in anderen Kursen der Website und in Wissenschaft und Technik verwendet werden.
Lernziele
- Den Gang der Einheit beschreiben und erklären, was jede Lektion beweist und auf welche früheren Ergebnisse sie sich stützt.
- Erklären, warum die Tangente an eine beliebige Kurve und die Momentangeschwindigkeit verlangen, die Ableitung als Grenzwert zu definieren, und warum die Carathéodory-Faktorisierung es erlaubt, die Regeln zu beweisen, ohne durch Größen zu dividieren, die verschwinden können.
- Die Etappen des Begriffs der Ableitung, von Fermats Methode bis zu Cauchys Definition, in ihren historischen Zusammenhang einordnen und das Problem oder die Kritik erkennen, die jede von ihnen angestoßen hat.
- Zeigen, wo die Ableitungen in der nächsten Einheit, in anderen Kursen und in wissenschaftlichen und technischen Anwendungen eine Rolle spielen.
Eingangstest
Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu bestimmen. Diese Selbsteinschätzung wird nicht benotet: Sie dient dazu, zu erkennen, wo man verweilen sollte. Die ersten neun Fragen betreffen der Reihe nach die neun inhaltlichen Lektionen der Einheit, je eine, und messen eine Fertigkeit des Rechnens oder des Schließens, nicht eine Aussage, an die man sich erinnert; dieselben Fertigkeiten werden am Ende, in der Lektion der Synthese, mit anderen Daten erneut gemessen. Die letzten fünf prüfen, was diese Einheit aus der vorigen Einheit und aus Algebra und Geometrie I und II als bekannt voraussetzt: einen trigonometrischen Grenzwert, einen Standardgrenzwert der Exponentialfunktion, das klein-, die Umkehrfunktion und den Kosinus des Arkussinus.
Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.
Frage 1Die Funktion ist an der Stelle definiert. Wie lautet, ausgehend von der Definition der Ableitung, die Tangente an ihren Graphen im Punkt ?
Das ist die Normale, nicht die Tangente: Ihre Steigung, , macht sie senkrecht zur Tangente.Die Steigung ist richtig, aber die Gerade geht nicht durch den Punkt: Die Tangente ist , und wurde weggelassen.Beim Subtrahieren ist das Vorzeichen verloren gegangen: , und das ist negativ für kleines . Die Funktion fällt in der Nähe von , und die Steigung ist negativ.Für nahe bei ist der Differenzenquotient gleich , und dieser strebt gegen ; also gilt , und die Tangente ist die Gerade durch mit dieser Steigung.Wiederholen: Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion
Frage 2Man berechne die Ableitung von an der Stelle .
Man hat Zähler und Nenner getrennt abgeleitet, , als wäre die Ableitung eines Quotienten der Quotient der Ableitungen. Das ist sie nicht: Die Quotientenregel hat zwei Terme und das Quadrat des Nenners.Man hat die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler vertauscht. Die Regel lautet : zuerst die Ableitung des Zählers mal den Nenner.Der Nenner wurde nicht quadriert: An der Stelle ist er , und sein Quadrat ist .Nach der Quotientenregel gilt .Wiederholen: Ableitungsregeln
Frage 3Man berechne die Ableitung von an der Stelle .
Man hat als Ableitung des Kosinus genommen. Die Ableitung des Kosinus ist , und die beiden Terme heben sich an der Stelle auf.Man hat die Ableitungen der beiden Faktoren multipliziert, . Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen: Es fehlt der Term .Man hat nur die Exponentialfunktion abgeleitet, als wäre der Kosinus konstant. Das ist der erste Term der Produktregel; es fehlt der zweite, .Nach der Produktregel und den Ableitungen der Exponentialfunktion und des Kosinus gilt , und an der Stelle sind Sinus und Kosinus gleich. Die Tangente an den Graphen in diesem Punkt ist waagerecht.Wiederholen: Ableitungen der elementaren Funktionen
Frage 4Man berechne die Ableitung von an der Stelle .
Es fehlt die Ableitung der innersten Funktion, , die den Faktor beiträgt: Jede Funktion der Verkettung trägt ihre Ableitung bei, ausgewertet an der Stelle, die ihr entspricht.Man hat als Ableitung des Kosinus genommen: Das Minuszeichen von ist verloren gegangen.Man hat nur das Quadrat abgeleitet, , als wäre der Kosinus die Variable. Es fehlen die Ableitungen des Kosinus und von .Nach der zweimal angewandten Kettenregel gilt , und an der Stelle ist das Argument .Wiederholen: Kettenregel für die Ableitung verketteter Funktionen
Frage 5Auf welchem dieser Intervalle sichert der Satz von Bolzano, dass die Gleichung eine Lösung hat?
Auf diesem Intervall wechselt das Vorzeichen nicht: und . Der Satz sichert nichts, und tatsächlich gibt es dort keine Lösung, weil wachsend ist und den Wert an der Stelle annimmt.und haben dasselbe Vorzeichen, sodass der Satz nicht anwendbar ist; außerdem ist auf diesem Intervall mindestens .Jede Gleichung lässt sich in diese Form bringen, indem man alles auf eine Seite bringt: ist äquivalent zu .Die Funktion ist ein Polynom, also stetig, mit und ; nach dem Satz von Bolzano verschwindet sie in einem Punkt von , und dieser ist eine Lösung der Gleichung.Wiederholen: Zwischenwertsatz
Frage 6Die Funktion ist stetig und streng monoton wachsend auf . Welchen Wert hat ?
Man hat die Ableitung von an der Stelle ausgewertet, die ein Wert von ist, nicht die ihm entsprechende Stelle seines Definitionsbereichs. Die Formel lautet , und .Das ist die Ableitung von an der Stelle, die entspricht; die der Umkehrfunktion ist ihr Kehrwert: Beim Spiegeln des Graphen wird aus einer Steigung die Steigung .Man hat berechnet, was weder die Ableitung der Umkehrfunktion ist noch an der richtigen Stelle ausgewertet.Wegen gilt , und , was nicht null ist. Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion gilt .Wiederholen: Ableitung der Umkehrfunktion und implizites Differenzieren
Frage 7Man berechne die Ableitung von an der Stelle .
Man hat die Potenzregel verwendet, , als wäre der Exponent konstant. Wenn sich Basis und Exponent ändern, muss man die Potenz mit der natürlichen Exponentialfunktion schreiben.Man hat die Regel für die Exponentialfunktion verwendet, , als wäre die Basis konstant. Das ist nur einer der beiden Terme.Das ist die Ableitung von , also die logarithmische Ableitung ; es fehlt die Multiplikation mit .Für jedes gilt , und . An der Stelle ist , und die Klammer hat den Wert .Wiederholen: Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren
Frage 8Man berechne die Ableitung der Ordnung von an der Stelle .
Es fehlt der Binomialkoeffizient : Die Leibniz-Regel hat dieselben Koeffizienten wie der binomische Lehrsatz.Man hat die Ableitungen der Ordnung der beiden Faktoren multipliziert, und die von ist null. Die Ableitung der Ordnung eines Produkts ist eine Summe über alle Aufteilungen der fünf Differentiationen auf die Faktoren.In dem Term, in dem der Faktor einmal abgeleitet wird, wird die Exponentialfunktion viermal abgeleitet, nicht fünfmal: Ihre Ableitung der Ordnung ist .Nach der Leibniz-Regel bleiben, da die Ableitungen von einer Ordnung größer als null sind, nur zwei Terme: . An der Stelle verschwindet der erste, und der zweite hat den Wert .Wiederholen: Höhere Ableitungen und Differential
Frage 9Ein Rechteck behält seinen Flächeninhalt von Quadratzentimetern, während seine Grundseite mit einer Rate von Zentimetern pro Sekunde wächst. Wie schnell ändert sich seine Höhe in dem Augenblick, in dem die Grundseite Zentimeter misst?
Man hat vor dem Ableiten eingesetzt. Die Höhe ist nur in diesem Augenblick; abzuleiten ist die Beziehung, die in jedem Augenblick gilt.Das Vorzeichen ist verloren gegangen: Wenn der Flächeninhalt konstant ist und die Grundseite wächst, muss die Höhe abnehmen.Das ist die Ableitung der Höhe nach der Grundseite, . Die Änderungsrate nach der Zeit erhält man, indem man sie mit multipliziert.Ist die Grundseite und die Höhe, so gilt in jedem Augenblick; Ableiten nach der Zeit ergibt . Wenn die Grundseite misst, misst die Höhe , und ergibt .Wiederholen: Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten
Frage 10Aus früheren EinheitenMan berechne .
Das ist der Grenzwert von , nicht der dieses Quotienten: Der Kosinus entfernt sich von viel langsamer als der Sinus von .Das ist der Grenzwert von , mit im Nenner. Mit hat der Quotient einen Faktor mehr, der gegen strebt.zeigt nur an, dass die Quotientenregel nicht anwendbar ist; der Grenzwert kann existieren, und hier existiert er.Für ist der Quotient gleich , dem Produkt einer Funktion, die gegen strebt, mit einer anderen, die gegen strebt.Wiederholen: Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte
Frage 11Aus früheren EinheitenMan berechne .
Man hat den Standardgrenzwert ohne Substitution angewendet: Der Exponent ist , nicht .Das Vorzeichen des Exponenten ist verloren gegangen: ist kleiner als für , sodass der Quotient negativ ist.Dass der Zähler gegen strebt, genügt nicht: Auch der Nenner strebt gegen .Mit der Substitution , die für nicht verschwindet, ist der Quotient gleich , und der Standardgrenzwert ergibt .Wiederholen: Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte
Frage 12Aus früheren EinheitenWelche dieser Funktionen ist für ?
Sie ist äquivalent zu , nicht vernachlässigbar: Ihr Quotient durch strebt gegen .Sie strebt gegen , aber langsamer als : Ihr Quotient durch ist nicht beschränkt.Der Summand ist vernachlässigbar gegenüber , aber nicht: Der Quotient durch strebt gegen , und die Funktion ist von derselben Ordnung wie .Ihr Quotient durch ist , und dieser strebt gegen : Sie ist vernachlässigbar gegenüber .Wiederholen: Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen
Frage 13Aus früheren EinheitenWenn gilt, welchen Wert hat ?
Man hat nach aufgelöst, aber es fehlt noch das Ziehen der Kubikwurzel.Man hat als den Kehrwert gelesen: Der Exponent bezeichnet hier die Umkehrfunktion, nicht das multiplikative Inverse.Das ist , das Bild von ; die Umkehrfunktion geht den Weg in der Gegenrichtung und sucht das Urbild.ist die Zahl, deren Bild ist: ergibt , und .Wiederholen: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation
Frage 14Aus früheren EinheitenWelchen Wert hat ?
Das Vorzeichen des Sinus geht nicht auf den Kosinus über: Der Winkel liegt in , wo der Kosinus positiv oder null ist.Das ist das Quadrat des Kosinus, ; es fehlt noch das Ziehen der Wurzel.Man hat den Kosinus so behandelt, als machte er den Arkussinus rückgängig; es ist der Sinus, der ihn rückgängig macht: .Der Arkussinus nimmt seine Werte in an, wo der Kosinus nicht negativ ist; nach dem trigonometrischen Pythagoras ist der Kosinus gleich .Wiederholen: Die Arkusfunktionen
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