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Topos Uranos
Português

Regras de derivação

Resumo

Esta aula deduz da caracterização de Carathéodory as regras que permitem derivar sem voltar a cada vez à razão incremental: a derivada de uma combinação linear, de um produto, de um inverso e de um quociente. Cada regra se obtém do mesmo modo: o incremento da nova função se escreve como um produto por x−ax - a, com um fator contínuo em aa, e o valor desse fator em aa é a derivada. Com as regras derivam-se as potências de expoente inteiro, os polinômios e as funções racionais. A aula termina com as funções definidas por partes: dentro de cada parte vale a fórmula da parte, e nos pontos de junção decidem as derivadas laterais, que nem sempre são as derivadas das fórmulas.

Objetivos de aprendizagem

  1. Demonstrar com a caracterização de Carathéodory as regras da combinação linear, do produto, do inverso e do quociente.
  2. Derivar as potências de expoente inteiro, os polinômios e as funções racionais, e precisar o domínio de cada derivada.
  3. Decidir se uma função definida por partes é derivável em um ponto de junção, com as derivadas laterais.
  4. Distinguir as hipóteses suficientes das necessárias nas regras, e reconhecer quando as derivadas das fórmulas das partes não dão a derivada da função.

A derivada depende só do que ocorre perto do ponto

A aula sobre a derivada como limite calculou cada derivada com sua razão incremental. Para uma função como x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}, esse cálculo é longo; convém, em vez disso, saber como a derivada se comporta com as operações. Todas as regras desta aula se apoiam na caracterização de Carathéodory, da mesma aula: ff é derivável em aa, com f′(a)=Lf'(a) = L, se e somente se existe uma função φ\varphi, contínua em aa, com φ(a)=L\varphi(a) = L, tal que f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) para todo xx do domínio. Portanto, para demonstrar que uma função é derivável em aa basta escrever seu incremento como um produto por x−ax - a com um fator contínuo em aa; o valor desse fator em aa é a derivada. O teorema das operações com funções contínuas, da aula sobre limite e continuidade, encarrega-se da continuidade do fator.

Antes convém resolver uma questão de domínios. Duas funções podem ter domínios distintos, e o quociente fg\frac{f}{g} só está definido onde gg não se anula. O lema abaixo diz que a derivada não muda ao reduzir o domínio, desde que o ponto continue sendo ponto de acumulação, e que só depende dos valores próximos do ponto.

LemaCaráter local da derivada

Sejam ff uma função definida em AA, aa um elemento de AA, BB um subconjunto de AA que contém aa, e FF a restrição de ff a BB.

  • Se aa é ponto de acumulação de BB e ff é derivável em aa, então FF é derivável em aa, e F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Se aa é ponto de acumulação de AA e existe um δ>0\delta > 0 tal que todo xx de AA com ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta pertence a BB, então ff é derivável em aa se e somente se FF o é, e nesse caso F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

A primeira afirmação é o lema da restrição da álgebra dos limites; a segunda, que a definição do limite só olha os pontos próximos.

Demonstração

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    A razão incremental de FF é a restrição a B∖{a}B \setminus \{a\} da de ff. Se aa é ponto de acumulação de BB, o lema do limite de uma restrição, da aula sobre a álgebra dos limites, dá o mesmo limite.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    No segundo caso, todo ponto de AA distinto de aa e a distância menor que δ\delta está em BB: como aa é ponto de acumulação de AA, também o é de BB, e a primeira afirmação dá uma implicação. Para a outra, se F′(a)=LF'(a) = L, sejam ε>0\varepsilon > 0 e δ′\delta' uma resposta para a razão de FF; o menor de δ\delta e δ′\delta' é uma resposta para a razão de ff, porque as duas razões coincidem nos xx que ele cobre.

Da segunda afirmação segue-se que duas funções definidas em AA que coincidem nos pontos de AA próximos de aa são ambas deriváveis em aa, com a mesma derivada, ou nenhuma o é: as duas têm a mesma restrição a esses pontos. E da primeira, que se ff e gg têm domínios distintos, ambos com o ponto aa, pode-se trabalhar na interseção dos domínios, desde que aa seja ponto de acumulação dela. Por isso, no que segue, ff e gg supõem-se definidas em um mesmo conjunto AA.