A derivada como limite de uma função

Resumo

Esta aula define a derivada de uma função num ponto como um limite: o dos coeficientes angulares das retas secantes, que é o coeficiente angular da reta tangente, e o das velocidades médias, que é a velocidade instantânea. Precisa em que pontos a definição tem sentido, introduz as derivadas laterais, as retas tangente e normal, a função derivada e a notação de Leibniz, e demonstra que a derivada admite três formulações equivalentes: o limite da razão incremental, a aproximação por uma reta com um erro desprezível e a fatoração de Carathéodory. Desta última segue-se que toda função derivável é contínua; o valor absoluto e a raiz cúbica mostram que a recíproca é falsa.

Objetivos de aprendizagem

Definir a derivada de uma função num ponto como o limite da razão incremental, e interpretá-la como o coeficiente angular da reta tangente e como uma velocidade instantânea.
Calcular derivadas laterais e decidir com elas se uma função é derivável num ponto.
Demonstrar a equivalência entre a razão incremental, a aproximação linear e a caracterização de Carathéodory.
Demonstrar que toda função derivável num ponto é contínua nele, e reconhecer funções contínuas que não são deriváveis.

A tangente e a velocidade

Na aula sobre as parábolas, uma reta é tangente à curva num ponto quando a toca só nele sem atravessá-la. Essa ideia basta para as cônicas, mas não para qualquer curva. Na origem, a curva $y = x^3$ fica abaixo do eixo horizontal à esquerda e acima dele à direita: toda reta que passa pela origem a atravessa, e as retas $y = mx$ com $m < 0$ a tocam só nela, porque $x^3 = mx$ exige $x = 0$ ou $x^2 = m$ . Nenhuma reta cumpre a condição, e no entanto o eixo horizontal é, à vista, a reta que melhor acompanha a curva perto da origem. Convém, portanto, outra definição, que não dependa da forma global da curva, mas só do que acontece perto do ponto.

A ideia é antiga: a tangente é a posição limite das retas secantes. Consideremos uma função $f$ e um ponto $(a, f(a))$ do seu gráfico. Para $h \neq 0$ , a reta secante que passa por $(a, f(a))$ e por $(a + h, f(a + h))$ tem coeficiente angular

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Quando $h$ se aproxima de $0$ , o segundo ponto se aproxima do primeiro, e, se os coeficientes angulares têm um limite, a reta que passa por $(a, f(a))$ com esse coeficiente angular é a candidata a tangente.

ExemploAs secantes de uma parábola

Sejam $f(x) = x^2$ e $a = 1$ . Calculamos os coeficientes angulares de algumas secantes pelo ponto $(1, 1)$ e depois o seu limite. A figura mostra cada secante e, no final, a tangente.

Demonstração

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
Com $h = 1$ , a secante passa por $(1, 1)$ e $(2, 4)$ .
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
Com $h = \frac{1}{2}$ , o segundo ponto é $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ e o coeficiente angular diminui.
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
Em geral, para todo $h \neq 0$ , positivo ou negativo, o coeficiente angular se simplifica; com $h = \frac{1}{4}$ vale $\frac{9}{4}$ .
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
Quando $h$ tende a $0$ , o coeficiente angular tende a $2$ . A reta que passa por $(1, 1)$ com coeficiente angular $2$ é a tangente; é a mesma que deu o lema da tangente da aula sobre as parábolas, com $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ .

O mesmo limite aparece ao estudar um movimento. Se $s(t)$ é a posição, no instante $t$ , de um ponto que se move sobre uma reta, o quociente $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ é a sua velocidade média entre os instantes $t_0$ e $t_0 + h$ : o deslocamento dividido pelo tempo decorrido. A velocidade no instante $t_0$ , a que marcaria um velocímetro, é o limite das velocidades médias quando $h$ tende a $0$ . Por exemplo, se $s(t) = t^2 - 4t$ , a velocidade média entre $1$ e $1 + h$ é $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ , que tende a $-2$ : no instante $1$ , o ponto se move para a esquerda à razão de duas unidades de comprimento por unidade de tempo. As duas perguntas, a da tangente e a da velocidade, conduzem ao mesmo limite, e é esse limite que se define a seguir.

A derivada num ponto

Como na aula sobre o limite de uma função, é preciso primeiro precisar onde o limite tem sentido. O quociente precisa do valor $f(a)$ , de modo que $a$ deve pertencer ao domínio; e o limite quando $x$ tende a $a$ exige que $a$ seja ponto de acumulação do domínio.

DefiniçãoDerivada de uma função num ponto

Sejam $f$ uma função real definida num conjunto $A$ de números reais, e $a$ um elemento de $A$ que é ponto de acumulação de $A$ . A razão incremental de $f$ em $a$ é a função $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ , definida para os $x$ de $A$ distintos de $a$ . Diz-se que $f$ é derivável em $a$ se a razão incremental tem um limite real $L$ quando $x$ tende a $a$ ; esse número é a derivada de $f$ em $a$ , e escreve-se $f'(a)$ :

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

A razão está definida em $A \setminus \{a\}$ , e $a$ é ponto de acumulação desse conjunto, porque a definição de ponto de acumulação só olha os elementos distintos de $a$ . Pela unicidade do limite, a derivada, se existe, é única. Num ponto isolado do domínio a derivada não se define, embora toda função seja contínua ali. E, se a razão tende a $\infty$ ou a $-\infty$ , a função não é derivável em $a$ : a derivada é um número real. A definição escreve-se muitas vezes com o incremento $h = x - a$ em lugar do ponto $x$ , como no exemplo.

ProposiçãoForma incremental da derivada

Com as hipóteses da definição, e considerando $f(a + h)$ só onde está definida:

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

É a mudança de variável $x = a + h$ , que a proposição de translação e reflexão da aula sobre os limites laterais fez para um lado, agora para os dois ao mesmo tempo.

Demonstração

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
Seja $Q(x)$ a razão incremental. A função $g(h) = a + h$ , para os $h \neq 0$ com $a + h$ em $A$ , tende a $a$ , não assume o valor $a$ , e os seus valores estão no domínio de $Q$ . Pelo teorema da composição da aula sobre a álgebra dos limites, se $Q$ tende a $L$ em $a$ , também $Q(a + h)$ tende a $L$ em $0$ .
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
Reciprocamente, a função $x - a$ , para os $x$ de $A$ distintos de $a$ , tende a $0$ e não assume o valor $0$ ; composta com $h \mapsto Q(a + h)$ , dá a razão $Q(x)$ , que tende ao mesmo limite.

As primeiras derivadas calculam-se diretamente. Se $f(x) = mx + b$ , a razão incremental vale $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ para todo $h \neq 0$ , e o seu limite é $m$ : a derivada de uma função afim é o seu coeficiente angular em todo ponto, e a sua reta tangente é a própria reta. Em particular, a derivada de uma constante é $0$ e a da identidade $f(x) = x$ é $1$ . Para $f(x) = x^2$ , o cálculo do exemplo, com $a$ em lugar de $1$ , dá $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , e a derivada é $2a$ .

Derivadas laterais

Nos extremos de um intervalo, ou num ponto onde a função muda de fórmula, convém olhar a razão incremental de cada lado separadamente.

DefiniçãoDerivadas laterais

Seja $a$ um elemento de $A$ que é ponto de acumulação de $A \cap \ioo{a}{\infty}$ . Diz-se que $f$ é derivável à direita em $a$ se a razão incremental tem limite real à direita em $a$ ; esse limite é a derivada à direita, $f'_+(a)$ :

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Do mesmo modo, se $a$ é ponto de acumulação de $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , a derivada à esquerda, $f'_-(a)$ , é o limite à esquerda da razão incremental, com a condição $a - \delta < x < a$ .

ProposiçãoDerivada e derivadas laterais

Seja $a$ um elemento de $A$ .

Se $a$ é ponto de acumulação de $A \cap \ioo{a}{\infty}$ e de $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , então $f$ é derivável em $a$ se e somente se as duas derivadas laterais existem e são iguais; nesse caso, $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ .
Se $a$ é ponto de acumulação dos pontos de $A$ de um só lado, então $f$ é derivável em $a$ se e somente se é derivável por esse lado, e a derivada é a derivada lateral.

Não é preciso nenhum argumento novo: as derivadas laterais são os limites laterais da razão incremental, e a aula sobre os limites laterais já os relacionou com o limite.

Demonstração

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
No primeiro caso, o teorema do limite e dos limites laterais, aplicado à razão incremental, dá a equivalência.
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
No segundo, a mesma aula observou que, quando $a$ é ponto de acumulação dos pontos do domínio de um só lado, o limite e o limite lateral desse lado coincidem: existe um $r > 0$ tal que todos os $x$ de $A$ com $0 < \abs{x - a} < r$ estão desse lado.

Por exemplo, o valor absoluto tem em $0$ a razão incremental $\frac{\abs{x}}{x}$ , que vale $1$ se $x > 0$ e $-1$ se $x < 0$ : as suas derivadas laterais são $f'_+(0) = 1$ e $f'_-(0) = -1$ , distintas, e $\abs{x}$ não é derivável em $0$ . Em contrapartida, se uma função está definida em $\icc{0}{1}$ , a sua derivada em $0$ é a sua derivada à direita, e em $1$ , a sua derivada à esquerda: a definição já trata os extremos do domínio como lados únicos. Por exemplo, $f(x) = x$ restrita a $\icc{0}{1}$ é derivável em $0$ , com $f'(0) = 1$ .

Retas tangente e normal

Com a derivada, a tangente deixa de ser uma figura que se reconhece à vista e passa a ser uma reta que se calcula.

DefiniçãoReta tangente e reta normal

Seja $f$ derivável em $a$ . A reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a, f(a))$ é a reta que passa por ele com coeficiente angular $f'(a)$ :

y = f(a) + f'(a)(x - a)

A reta normal no mesmo ponto é a perpendicular à tangente que passa por ele: se $f'(a) \neq 0$ , é a reta $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ , e, se $f'(a) = 0$ , é a reta vertical $x = a$ .

O coeficiente angular da normal sai do teorema das retas perpendiculares da aula sobre a equação da reta: duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se o produto dos seus coeficientes angulares é $-1$ . Voltando à curva $y = x^3$ , a sua razão incremental em $0$ é $x^2$ , que tende a $0$ : a tangente na origem é o eixo horizontal, embora atravesse a curva. Quando $f$ é contínua em $a$ e a razão incremental tende a $\infty$ ou a $-\infty$ , as secantes se aproximam da vertical; diz-se então que o gráfico tem em $(a, f(a))$ uma tangente vertical, a reta $x = a$ , embora $f$ não seja derivável em $a$ .

Do mesmo modo, se $s(t)$ é a posição de um ponto que se move sobre uma reta, a sua velocidade no instante $t_0$ é $s'(t_0)$ , se existe. O seu sinal indica o sentido do movimento, e o seu valor absoluto, a rapidez. A aula sobre as taxas de variação desenvolverá esta leitura.

A função derivada e a notação de Leibniz

Cada ponto em que $f$ é derivável fornece um número, a sua derivada nele. Com todos eles forma-se uma nova função.

DefiniçãoFunção derivada

Seja $f$ uma função definida em $A$ . A função derivada de $f$ é a função $f'$ que associa a cada ponto $x$ de $A$ em que $f$ é derivável o número $f'(x)$ ; o seu domínio é o conjunto desses pontos. Se $f$ é derivável em todos os pontos de um conjunto $S$ contido em $A$ , diz-se que é derivável em $S$ ; e, se o é em todo o seu domínio, simplesmente que é derivável.

Por exemplo, a derivada de $x^2$ é a função $2x$ , definida em todo $\mathbb{R}$ ; a do valor absoluto vale $1$ em $\ioo{0}{\infty}$ e $-1$ em $\ioo{-\infty}{0}$ , e o seu domínio não contém o $0$ . A notação $f'$ , com a linha, deve-se a Lagrange. A outra notação habitual deve-se a Leibniz: se $y = f(x)$ , a derivada escreve-se $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , ou $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ , e a operação de derivar em relação a $x$ escreve-se $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ diante da expressão que se deriva:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

A notação lembra de onde vem a derivada. Se $\Delta x$ é o incremento da variável e $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ o incremento correspondente da função, a razão incremental é $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , e a derivada é o seu limite:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Convém insistir em que, por ora, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ é um único símbolo e não um quociente: $\mathrm{d}y$ e $\mathrm{d}x$ ainda não têm sentido separadamente; terão na aula sobre as derivadas sucessivas e a diferencial. A notação torna explícita a variável em relação à qual se deriva: se a posição depende do tempo, a velocidade escreve-se $s'(t)$ ou $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ .

Três caracterizações da derivada

A definição diz que a razão incremental tende a $f'(a)$ . Há outras duas maneiras de dizer o mesmo, cada uma útil para um fim distinto: a segunda compara a função com a sua reta tangente; a terceira evita dividir.

TeoremaCaracterizações da derivada

Sejam $f$ uma função definida em $A$ , $a$ um elemento de $A$ que é ponto de acumulação de $A$ , e $L$ um número real. As três afirmações abaixo são equivalentes:

Razão incremental. $f$ é derivável em $a$ e $f'(a) = L$ .
Aproximação linear. $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ quando $h$ tende a $0$ ; isto é, o resto $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ cumpre $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ .
Carathéodory. Existe uma função $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ , contínua em $a$ , com $\varphi(a) = L$ , tal que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ para todo $x$ de $A$ .

O $\operatorname{o}$ pequeno é o da aula sobre infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes, com $f(a + h)$ considerada só onde está definida. A função $\varphi$ é o coeficiente angular da secante, completado em $a$ com a derivada. A figura mostra, com $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ e $a = 1$ , o resto entre a curva e a tangente, uma secante e, no final, o gráfico de $\varphi$ , que neste caso é a reta $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ .

Demonstração

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
Primeira e segunda: o quociente do resto por $h$ é a razão incremental menos $L$ . Pelo lema do limite como distância que tende a zero, da aula sobre a álgebra dos limites, tende a $0$ se e somente se a razão incremental tende a $L$ , e, pela forma incremental, isso equivale a $f'(a) = L$ .
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
Da primeira para a terceira: define-se $\varphi$ como a razão incremental fora de $a$ e como $L$ em $a$ . A igualdade cumpre-se em todo $x \neq a$ pela definição, e em $x = a$ porque os seus dois membros valem $0$ . Como $a$ é ponto de acumulação de $A$ e o limite de $\varphi$ em $a$ é $L = \varphi(a)$ , a proposição de continuidade e limite da aula sobre limite e continuidade dá a continuidade de $\varphi$ em $a$ .
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
Da terceira para a primeira: se $x \neq a$ , divide-se por $x - a$ , e a razão incremental é a restrição de $\varphi$ a $A \setminus \{a\}$ . Como $\varphi$ é contínua em $a$ , pela mesma proposição tende a $\varphi(a) = L$ , e, pelo lema da restrição, da aula sobre a álgebra dos limites, também a razão.

A função $\varphi$ da terceira caracterização, quando existe, é única: fora de $a$ é a razão incremental, e em $a$ o seu valor é o limite dessa razão. A segunda caracterização explica em que sentido a tangente é a reta que melhor acompanha a curva. Se se substitui $f(a + h)$ por $f(a) + mh$ , com um coeficiente angular $m$ distinto de $f'(a)$ , o erro é $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ , cujo quociente por $h$ tende a $f'(a) - m \neq 0$ : é da mesma ordem que $h$ . Só com o coeficiente angular $f'(a)$ o erro é desprezível em relação a $h$ . A terceira caracterização tem uma vantagem técnica: é uma igualdade entre produtos, sem divisões. As aulas sobre as regras de derivação e sobre a regra da cadeia a usarão para não dividir por quantidades que podem anular-se. A primeira consequência é imediata.

TeoremaDerivável implica contínua

Se $f$ é derivável em $a$ , então $f$ é contínua em $a$ . A fatoração de Carathéodory escreve $f$ com operações entre funções contínuas em $a$ .

Demonstração

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
Pelo teorema das caracterizações, existe $\varphi$ , contínua em $a$ , tal que $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ para todo $x$ de $A$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
A constante $f(a)$ e o polinômio $x - a$ são contínuos em $a$ , e $\varphi$ também. Pelo teorema das operações com funções contínuas, da aula sobre limite e continuidade, a soma da constante com o produto é contínua em $a$ .

A recíproca é falsa. A continuidade pede que $f(x) - f(a)$ tenda a $0$ ; a derivabilidade pede mais: que o seu quociente por $x - a$ tenha limite, isto é, que tenda a $0$ pelo menos tão depressa quanto $x - a$ e sem oscilar entre coeficientes angulares distintos.

ProposiçãoContinuidade sem derivada

O valor absoluto e a raiz cúbica são contínuos em $0$ e não são deriváveis em $0$ : o primeiro tem derivadas laterais distintas, e a razão incremental da segunda tende a $\infty$ , de modo que o seu gráfico tem na origem uma tangente vertical. Os dois são contínuos pelo corolário das funções contínuas conhecidas, da aula sobre limite e continuidade. A figura mostra, no valor absoluto, os dois coeficientes angulares laterais e, na raiz cúbica, secantes cada vez mais íngremes.

Demonstração

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
A razão incremental do valor absoluto em $0$ vale $1$ à direita e $-1$ à esquerda. As derivadas laterais são distintas e, pela proposição da derivada e das derivadas laterais, $\abs{x}$ não é derivável em $0$ .
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
A razão incremental da raiz cúbica em $0$ é o inverso de $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ , que é positivo se $x \neq 0$ e tende a $0$ pela continuidade da raiz. Pelo lema do inverso, da aula sobre os limites infinitos, a razão tende a $\infty$ , e não tem limite real.

As duas funções falham num só ponto, mas há funções contínuas em toda a reta que não são deriváveis em nenhum ponto; Weierstrass apresentou em 1872 o exemplo mais célebre, cuja construção excede este curso.

Problemas resolvidos

Os problemas avançam em dificuldade: o primeiro calcula uma derivada que deixa de existir na borda do domínio; o segundo usa a tangente para descobrir uma propriedade da hipérbole; o terceiro mostra que as derivadas laterais podem não existir; o quarto, que uma função pode ser derivável num só ponto; e o último combina a fatoração de Carathéodory com as derivadas laterais.

Problema resolvido 1A raiz quadrada na borda do seu domínio

Estudar a derivabilidade de $f(x) = \sqrt{x}$ , definida em $\ico{0}{\infty}$ , e achar a reta tangente no ponto de abscissa $4$ .

Solução

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
Se $a > 0$ , a razão incremental é uma forma $\frac{0}{0}$ ; multiplica-se e divide-se pela expressão conjugada.
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
Pela continuidade da raiz, o denominador tende a $2\sqrt{a} \neq 0$ , e, pelo teorema do limite do inverso, da aula sobre a álgebra dos limites, o quociente tende a $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . Em $a = 4$ , a derivada é $\frac{1}{4}$ e a tangente passa por $(4, 2)$ .
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
Em $a = 0$ só há pontos do domínio à direita, e, pela proposição da derivada e das derivadas laterais, a derivada é a derivada à direita. O quociente é $\frac{1}{\sqrt{h}}$ , e, como $\sqrt{h}$ é positivo e tende a $0$ , o lema do inverso dá $\infty$ .
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
Portanto, $\sqrt{x}$ é derivável em $\ioo{0}{\infty}$ e não o é em $0$ , onde é contínua e o seu gráfico tem a tangente vertical $x = 0$ . A função derivada tem um domínio menor que o da função.

Problema resolvido 2A tangente à hipérbole

Demonstrar que a reta tangente a $y = \frac{1}{x}$ num ponto $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ , com $a > 0$ , forma com os eixos um triângulo de área $2$ , qualquer que seja $a$ , e que o ponto de tangência é o ponto médio do segmento que os eixos cortam nela.

Solução

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
A razão incremental se simplifica ao subtrair as frações; pelo teorema do limite do inverso, o seu limite é $-\frac{1}{a^2}$ .
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
A tangente passa por $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ com esse coeficiente angular.
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
Com $y = 0$ obtém-se a interseção com o eixo horizontal, e com $x = 0$ , a interseção com o vertical. O ponto médio entre ambas é o ponto de tangência.
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
O triângulo tem catetos $2a$ e $\frac{2}{a}$ sobre os eixos. A sua área não depende de $a$ : a figura mostra dois desses triângulos, de formas distintas e com a mesma área.

Problema resolvido 3Contínua e sem derivadas laterais

Sejam $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ e $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$ , e $f(0) = g(0) = 0$ . Demonstrar que $f$ é contínua em $0$ e não tem em $0$ nem derivada nem derivadas laterais, e que $g$ é derivável em $0$ , com $g'(0) = 0$ .

Solução

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
Pelo problema resolvido 3 da aula sobre limite e continuidade, $f$ é contínua em $0$ . A sua razão incremental em $0$ é $\sin \frac{1}{x}$ .
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
O problema proposto 3 da aula sobre o limite demonstrou que $\sin \frac{1}{x}$ não tem limite em $0$ com duas famílias de pontos positivos, nos quais vale $1$ e $-1$ . O mesmo argumento nega o limite à direita; com os pontos opostos, nos quais vale $-1$ e $1$ , nega-se o da esquerda.
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
Em contrapartida, a razão incremental de $g$ é $x \sin \frac{1}{x}$ , produto de uma função limitada por outra que tende a $0$ ; pelo teorema da aula sobre o teorema do confronto, tende a $0$ .
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
As duas funções oscilam infinitas vezes perto de $0$ . A oscilação de $f$ está limitada por $\abs{x}$ , que é da mesma ordem que o denominador $x - 0$ , e o quociente continua oscilando; a de $g$ está limitada por $x^2$ , que é desprezível em relação a $x$ , e o quociente se apaga.

Problema resolvido 4Derivável num só ponto

Seja $f$ a função que vale $x^2$ se $x$ é racional e $0$ se $x$ é irracional. Demonstrar que $f$ é derivável em $0$ , com $f'(0) = 0$ , e que não é derivável em nenhum outro ponto.

Solução

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
Seja $g$ a função do problema resolvido 5 da aula sobre limite e continuidade, que vale $x$ nos racionais e $0$ nos irracionais. Então $f(x) = x \, g(x)$ para todo $x$ , nos dois casos.
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
Em $0$ , a razão incremental é $g(x)$ , que tende a $g(0) = 0$ porque esse problema demonstrou que $g$ é contínua em $0$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
Seja $a \neq 0$ . Se $f$ fosse contínua em $a$ , também o seria $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ , pela regra do quociente das operações com funções contínuas, com denominador não nulo em $a$ ; mas o mesmo problema demonstrou que $g$ é descontínua em $a$ . Portanto, $f$ é descontínua em $a$ , e, pelo teorema de que derivável implica contínua, não é derivável em $a$ .

Problema resolvido 5O valor absoluto de uma função derivável

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto que contém $a$ , derivável em $a$ e com $f(a) = 0$ . Demonstrar que $F = \abs{f}$ tem em $a$ as derivadas laterais $\abs{f'(a)}$ e $-\abs{f'(a)}$ , de modo que é derivável em $a$ se e somente se $f'(a) = 0$ . Aplicá-lo a $\abs{\sin x}$ e a $\abs{x^3}$ em $0$ .

Solução

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
Pela caracterização de Carathéodory, $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ , com $\varphi$ contínua em $a$ e $\varphi(a) = f'(a)$ . Ao tomar valores absolutos, o fator $\abs{x - a}$ é $x - a$ à direita e $a - x$ à esquerda.
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
A função $\abs{\varphi}$ é contínua em $a$ , pela composição de funções contínuas, e tende a $\abs{f'(a)}$ . Pela proposição da derivada e das derivadas laterais, $F$ é derivável em $a$ se e somente se as duas derivadas laterais coincidem, isto é, se $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ .
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
O seno cumpre $\sin 0 = 0$ , e a sua razão incremental em $0$ é $\frac{\sin x}{x}$ , que tende a $1$ pelo limite trigonométrico fundamental: $\abs{\sin x}$ tem em $0$ derivadas laterais $1$ e $-1$ , e não é derivável. O cubo tem em $0$ a razão $x^2$ , que tende a $0$ : $\abs{x^3}$ é derivável em $0$ , com derivada $0$ .

Problemas propostos

Os problemas avançam em dificuldade: o primeiro lê uma derivada na geometria do círculo e da esfera; o segundo procura retas normais que passam por um ponto dado; o terceiro mostra que uma derivada lateral pode existir onde a função salta; o quarto compara a tangente da derivada com a da circunferência; e o último estuda um quociente que se parece com a derivada sem sê-lo. Cada um tem uma dica, que convém abrir só depois de tê-lo tentado.

Problema proposto 1A área do círculo e o volume da esfera

Sejam $A(r) = \pi r^2$ a área do círculo de raio $r$ e $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ o volume da esfera de raio $r$ . Calcular, pela definição, $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ e $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ , e reconhecer cada resultado.

Dica

Desenvolva $(r + h)^2$ e $(r + h)^3$ e simplifique a razão incremental antes de tomar o limite. O incremento da área é a área de uma coroa circular de largura $h$ .

Resposta

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

São o perímetro da circunferência e a área da superfície esférica.

Problema proposto 2Normais que passam por um ponto

Achar todos os pontos da parábola $y = x^2$ cuja reta normal passa pelo ponto $(0, 1)$ , e escrever essas normais.

Dica

A normal em $(a, a^2)$ tem coeficiente angular $-\frac{1}{2a}$ se $a \neq 0$ ; imponha que passe por $(0, 1)$ . Não se esqueça do caso $a = 0$ , em que a derivada se anula e a normal é vertical.

Resposta

Três pontos: $(0, 0)$ , com normal $x = 0$ , e $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , com normais $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

Problema proposto 3As derivadas laterais da parte inteira

Demonstrar que a parte inteira, $E(x) = \lfloor x \rfloor$ , é derivável em todo real não inteiro, com derivada $0$ , e que em cada inteiro $n$ tem derivada à direita, $0$ , mas não derivada à esquerda. Isto contradiz o teorema de que derivável implica contínua?

Dica

Num inteiro $n$ , à direita a função vale $n$ , e à esquerda, $n - 1$ : a razão incremental é $0$ à direita e $\frac{-1}{x - n}$ à esquerda. Para a última pergunta, compare a hipótese do teorema com o que acontece em $n$ .

Resposta

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

Não há contradição: a função não é derivável em $n$ ; a derivada à direita só dá a continuidade à direita (o teorema, aplicado à restrição de $E$ a $\ico{n}{\infty}$ ), que se cumpre.

Problema proposto 4A tangente à circunferência

Seja $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ , a semicircunferência superior de centro $(0, 0)$ e raio $1$ . Calcular $f'(a)$ para $-1 < a < 1$ , demonstrar que a tangente é perpendicular ao raio que une a origem a $(a, f(a))$ , como na aula sobre a circunferência, e estudar o que acontece em $a = \pm 1$ .

Dica

Multiplique e divida a razão incremental por $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ . Se $a \neq 0$ , o raio tem coeficiente angular $\frac{f(a)}{a}$ ; se $a = 0$ , é vertical. Em $a = 1$ só há pontos do domínio à esquerda.

Resposta

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

Em $a = 0$ , a tangente é horizontal e o raio vertical. Em $a = 1$ o quociente tende a $-\infty$ , e em $a = -1$ , a $\infty$ : $f$ não é derivável em $\pm 1$ , e o seu gráfico tem ali tangentes verticais.

Problema proposto 5O quociente simétrico

Seja $f$ definida num intervalo aberto que contém $a$ . Demonstrar que, se $f$ é derivável em $a$ , então $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ . Demonstrar com $f(x) = \abs{x}$ em $a = 0$ que esse limite pode existir sem que $f$ seja derivável.

Dica

Escreva a aproximação linear para $h$ e para $-h$ e subtraia-as: os restos dão $\operatorname{o}(h)$ . Para o valor absoluto, o numerador é $\abs{h} - \abs{-h}$ .

Resposta

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

O valor absoluto tem quociente simétrico $0$ em $0$ , e não é derivável ali.

Solução desenvolvida

Solução

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
Pela aproximação linear, com $L = f'(a)$ , o resto $R$ cumpre $\frac{R(h)}{h} \to 0$ . Ao trocar $h$ por $-h$ , pelo teorema da composição, também $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ .
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
Subtraem-se as duas igualdades e divide-se por $2h$ ; pelo teorema do limite de uma combinação linear, os dois quocientes dos restos dão $0$ .
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Para o valor absoluto em $0$ , o numerador é nulo para todo $h$ , e o quociente simétrico tende a $0$ ; no entanto, as derivadas laterais são $1$ e $-1$ . O quociente simétrico faz a média dos dois coeficientes angulares laterais e oculta o ponto anguloso.

A derivada como limite de uma função

Resumo

Objetivos de aprendizagem

A tangente e a velocidade

A derivada num ponto

Derivadas laterais

Retas tangente e normal

A função derivada e a notação de Leibniz

Três caracterizações da derivada

Problemas resolvidos

Problemas propostos

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