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LatineResumo
Esta aula abre a unidade sobre as derivadas. Apresenta o percurso da unidade, que define a derivada como o limite da razão incremental, a escreve como uma fatoração com um fator contínuo, a de Carathéodory, e obtém dela, sem dividir nunca por quantidades que podem se anular, as regras de derivação, a regra da cadeia e a derivada da função inversa, até chegar às derivadas sucessivas, à diferencial e às taxas de variação. Reconstrói a história da derivada, desde o método de Fermat para as tangentes até a definição de Cauchy, passando pelas fluxões de Newton, pela notação de Leibniz, pela crítica de Berkeley e pelo programa de Lagrange, que deu nome e notação à derivada; formula o problema que lhe deu origem, a tangente a uma curva qualquer e a velocidade num instante, e mostra com um exemplo como a fatoração substitui a divisão por um incremento nulo. Termina indicando onde as derivadas são empregadas na próxima unidade, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever o percurso da unidade e explicar o que cada aula demonstra e de que resultados prévios se serve.
- Explicar por que a tangente a uma curva qualquer e a velocidade instantânea exigem definir a derivada como um limite, e por que a fatoração de Carathéodory permite demonstrar as regras sem dividir por quantidades que podem se anular.
- Situar em seu contexto histórico as etapas da noção de derivada, desde o método de Fermat até a definição de Cauchy, e identificar o problema ou a crítica que impulsionou cada uma.
- Indicar onde as derivadas intervêm na próxima unidade, em outros cursos e em aplicações científicas e técnicas.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não atribui nota: serve para saber onde se deter. As nove primeiras perguntas tratam, em ordem, das nove aulas de conteúdo da unidade, uma para cada, e medem uma destreza de cálculo ou de raciocínio, não um enunciado que se recorde; as mesmas destrezas voltam a ser medidas no final, na aula de síntese, com outros dados. As cinco últimas verificam o que esta unidade dá por sabido da unidade precedente e de Álgebra e Geometria I e II: um limite trigonométrico, um limite notável da exponencial, o pequeno, a função inversa e o cosseno do arco-seno.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1A função está definida em . A partir da definição de derivada, qual é a reta tangente ao seu gráfico no ponto ?
É a reta normal, não a tangente: seu coeficiente angular, , a torna perpendicular à tangente.O coeficiente angular está correto, mas a reta não passa pelo ponto: a tangente é , e omitiu-se .Perdeu-se o sinal ao subtrair: , que é negativo para pequeno. A função decresce perto de , e o coeficiente angular é negativo.Para próximo de , a razão incremental é , que tende a ; portanto, , e a tangente é a reta que passa por com esse coeficiente angular.Revisar: A derivada como limite de uma função
Pergunta 2Calcular a derivada de em .
Derivaram-se o numerador e o denominador separadamente, , como se a derivada de um quociente fosse o quociente das derivadas. Não é: a regra do quociente tem dois termos e o quadrado do denominador.Trocou-se a ordem da subtração no numerador. A regra é : primeiro a derivada do numerador vezes o denominador.Faltou elevar o denominador ao quadrado: em vale , e seu quadrado é .Pela regra do quociente, .Revisar: Regras de derivação
Pergunta 3Calcular a derivada de em .
Tomou-se como derivada do cosseno. A derivada do cosseno é , e os dois termos se cancelam em .Multiplicaram-se as derivadas dos dois fatores, . A derivada de um produto não é o produto das derivadas: falta o termo .Derivou-se apenas a exponencial, como se o cosseno fosse constante. É o primeiro termo da regra do produto; falta o segundo, .Pela regra do produto e pelas derivadas da exponencial e do cosseno, , e em o seno e o cosseno são iguais. A tangente ao gráfico nesse ponto é horizontal.Revisar: Derivadas das funções elementares
Pergunta 4Calcular a derivada de em .
Falta a derivada da função mais interna, , que contribui com o fator : cada função da composição contribui com sua derivada, calculada no ponto que lhe corresponde.Tomou-se como derivada do cosseno: perdeu-se o sinal de menos de .Derivou-se apenas o quadrado, , como se o cosseno fosse a variável. Faltam as derivadas do cosseno e de .Pela regra da cadeia aplicada duas vezes, , e em o argumento é .Revisar: Regra da cadeia para a derivada da composição de funções
Pergunta 5Em qual destes intervalos o teorema de Bolzano garante que a equação tem uma solução?
Nesse intervalo não muda de sinal: e . O teorema não garante nada, e de fato não há solução ali, porque é crescente e vale em .e têm o mesmo sinal, de modo que o teorema não se aplica; além disso, vale pelo menos nesse intervalo.Toda equação se escreve nessa forma passando tudo para um membro: equivale a .A função é um polinômio, contínuo, com e ; pelo teorema de Bolzano, ela se anula em algum ponto de , que é uma solução da equação.Revisar: Teorema do valor intermediário
Pergunta 6A função é contínua e estritamente crescente em . Quanto vale ?
Calculou-se a derivada de em , que é um valor de , não um ponto do seu domínio que lhe corresponda. A fórmula é , e .É a derivada de no ponto que corresponde a ; a da inversa é o seu inverso: ao refletir o gráfico, um coeficiente angular se converte em .Calculou-se , que não é a derivada da inversa nem está calculada no ponto correto.Como , tem-se , e , que não é zero. Pelo teorema da derivada da inversa, .Pergunta 7Calcular a derivada de em .
Usou-se a regra da potência, , como se o expoente fosse constante. Quando variam a base e o expoente, é preciso escrever a potência com a exponencial natural.Usou-se a regra da exponencial, , como se a base fosse constante. É só um dos dois termos.É a derivada de , isto é, a derivada logarítmica ; falta multiplicar por .Para todo , , e . Em , e o parêntese vale .Pergunta 8Calcular a derivada de ordem de em .
Falta o coeficiente binomial : a regra de Leibniz tem os mesmos coeficientes que o binômio de Newton.Multiplicaram-se as derivadas de ordem dos dois fatores, e a de é nula. A derivada de ordem de um produto é uma soma com todas as maneiras de repartir as cinco derivações entre os fatores.No termo que deriva uma vez o fator , a exponencial é derivada quatro vezes, não cinco: sua derivada de ordem é .Pela regra de Leibniz, como as derivadas de de ordem maior que são nulas, restam apenas dois termos: . Em , o primeiro se anula e o segundo vale .Revisar: Derivadas sucessivas e diferencial
Pergunta 9Um retângulo conserva sua área de centímetros quadrados enquanto sua base cresce à taxa de centímetros por segundo. Com que rapidez varia sua altura no instante em que a base mede centímetros?
Substituiu-se antes de derivar. A altura vale só nesse instante; a relação que se deriva é a que vale em todo instante.Perdeu-se o sinal: se a área é constante e a base cresce, a altura tem de diminuir.É a derivada da altura em relação à base, . A taxa em relação ao tempo obtém-se multiplicando-a por .Se é a base e a altura, em todo instante; ao derivar em relação ao tempo, . Quando a base mede , a altura mede , e dá .Pergunta 10De unidades anterioresCalcular .
É o limite de , não o deste quociente: o cosseno se afasta de muito mais devagar que o seno de .É o limite de , com no denominador. Com , o quociente tem um fator a mais, que tende a .só indica que a regra do quociente não se aplica; o limite pode existir, e aqui existe.Para , o quociente é , produto de uma função que tende a por outra que tende a .Revisar: O teorema do confronto e os limites trigonométricos
Pergunta 11De unidades anterioresCalcular .
Aplicou-se o limite notável sem mudar de variável: o expoente é , não .Perdeu-se o sinal do expoente: é menor que para , de modo que o quociente é negativo.Que o numerador tenda a não basta: o denominador também tende a .Com a mudança de variável , que não se anula se , o quociente é , e o limite notável dá .Revisar: Continuidade das funções elementares e limites notáveis
Pergunta 12De unidades anterioresQual destas funções é quando ?
É equivalente a , não desprezível: seu quociente por tende a .Tende a , mas mais devagar que : seu quociente por não é limitado.A parcela é desprezível em relação a , mas não é: o quociente por tende a , e a função é da mesma ordem que .Seu quociente por é , que tende a : é desprezível em relação a .Pergunta 13De unidades anterioresSe , quanto vale ?
Isolou-se , mas falta extrair a raiz cúbica.Leu-se como o inverso : o expoente denota aqui a função inversa, não o inverso multiplicativo.É , a imagem de ; a inversa percorre o caminho contrário e procura a pré-imagem.é o número cuja imagem é : dá , e .Revisar: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos
Pergunta 14De unidades anterioresQuanto vale ?
O sinal do seno não passa para o cosseno: o ângulo está em , onde o cosseno é positivo ou nulo.É o quadrado do cosseno, ; falta extrair a raiz.Tratou-se o cosseno como se desfizesse o arco-seno; é o seno que o desfaz: .O arco-seno toma valores em , onde o cosseno não é negativo; pela identidade pitagórica, o cosseno é .Revisar: As funções trigonométricas inversas
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