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Topos Uranos
日本語

逆関数の微分法と陰関数の微分法

要約

この課では、区間で連続かつ狭義単調な関数の逆関数が、関数の微分係数が零でない各点で微分可能であり、その微分係数が、対応する点でとった関数の微分係数の逆数であることを証明する。グラフを直線 y=xy = x に関して折り返すと、傾き mm の接線は傾き 1m\frac{1}{m} の接線に移る。証明には、中間値の定理についての課で示した逆関数の連続性と、カラテオドリの特徴づけを用いる。関数の微分係数が零になる点では、逆関数は微分可能でない。この定理により、逆正弦、逆余弦、逆正接、逆双曲線関数、累乗根、有理数の指数の累乗を微分する。この課の後半では、円やデカルトの正葉線の枝のように方程式で定まる関数を、その関数が存在して微分可能であると仮定して微分し、その仮定が成り立たないときに何が起こるかを示す。

学習目標

  1. 逆関数の微分法を証明し、関数の微分係数が零になる点で逆関数が微分可能でない理由を説明する。
  2. 逆三角関数、逆双曲線関数、累乗根、有理数の指数の累乗を、それぞれの導関数が存在する集合とともに微分する。
  3. 方程式で定まる関数を、それが存在して微分可能であると仮定して陰関数の微分法で微分し、それによって関数のグラフでない曲線の接線を求める。
  4. 陰関数の微分法が何も決めないのはどのような場合かを見分ける。微分可能な関数を一つも定めない方程式と、導関数の係数が零になる点である。

逆関数の導関数

単射である関数の逆関数のグラフは、その関数のグラフを直線 y=xy = x に関して折り返したものであり、前者の点 (a,b)(a, b) は後者の点 (b,a)(b, a) に移る。この折り返しは水平方向の増分と鉛直方向の増分を入れ替えるので、傾き mm の割線は傾き 1m\frac{1}{m} の割線に移り、接線についても同じことが期待される。初等関数の導関数の課では、ある場合にこのことを観察した。exe^x と ln⁡x\ln x のグラフの、直線 y=xy = x に関して対称な点における接線は、互いに逆数の傾き eae^a と 1ea\frac{1}{e^a} をもつ。

簡単な計算から一般の公式が推測できる。f−1f^{-1} が微分可能であれば、等式 f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y を合成関数の微分法で微分して f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1 が得られ、あとは割るだけである。しかしこの計算は、証明すべきこと、すなわち逆関数が微分可能であることを前提としており、f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0 のときに何が起こるかについては何も言わない。そのような場合は実際にある。x3x^3 は 00 で微分可能で微分係数は零であるが、その逆関数である立方根は 00 で微分可能でない。これは、極限としての導関数の課の命題「微分可能でない連続関数」による。以下の定理は、微分可能性を仮定せずにそれを証明する。用いるのはカラテオドリの特徴づけであり、これによって、どの増分でも割ることなく逆関数の増分を取り出すことができる。

定理逆関数の微分法

ff を、区間 II（二つ以上の点を含む）で連続かつ狭義単調な関数とし、J=f(I)J = f(I) とする。ff が点 aa（II の点）で微分可能で f′(a)≠0f'(a) \neq 0 ならば、逆関数 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I は b=f(a)b = f(a) で微分可能であり、

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

ff の aa におけるカラテオドリの分解を逆向きに読む。関数 φ\varphi は零にならず、その逆数を f−1(y)f^{-1}(y) でとったものが逆関数の増分を因数分解する。図は、f(x)=x3f(x) = x^3、a=0.8a = 0.8 の場合について、ff の割線と接線を示し、続いてそれらを折り返したもの、すなわち立方根の割線と接線を示す。

証明

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    II は二つ以上の点を含む区間であるから、そのすべての点は II の集積点である。極限としての導関数の課の定理「微分係数の特徴づけ」により、φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R} であって、aa で連続、φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a) を満たし、以下が成り立つものが存在する。

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    関数 φ\varphi は II のどの点でも零にならない。aa では値 f′(a)f'(a) をとり、これは零でない。x≠ax \neq a ならば、狭義単調性から f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a) が従い、φ(x)\varphi(x) は平均変化率であって、これも零でない。

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    yy を JJ の点とし、x=f−1(y)x = f^{-1}(y) とおくと、f(x)=yf(x) = y かつ x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b) である。この分解を零でない φ(x)\varphi(x) で割る。逆関数の増分が因数分解され、しかもどの増分でも割っていない。

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    中間値の定理の課の系「区間の像」と「逆関数の連続性」により、JJ は区間であって、ff が単射であるから二つ以上の点を含み、f−1f^{-1} は bb で連続である。φ\varphi は a=f−1(b)a = f^{-1}(b) で連続であるから、極限と連続性の課の定理「連続関数の合成」と「連続関数の演算」により、因子 ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} は bb で連続である。bb は JJ の集積点であるから、カラテオドリの特徴づけにより微分係数が得られる。

ff の連続性を II 全体で要求するのは、逆関数が bb で連続になるようにするためであり、それこそが証明の最後の段階で極限に移ることを可能にする。ff が II 全体で微分可能でその導関数が零にならなければ、逆関数は JJ 全体で微分可能であり、等式は関数の間の等式として (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}} と書ける。ff の導関数の値は f−1(y)f^{-1}(y) でとり、yy でとるのではない。ライプニッツの記法では、y=f(x)y = f(x)、x=f−1(y)x = f^{-1}(y) とすると、定理は dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}} を述べている。ただし分母の導関数は x=f−1(y)x = f^{-1}(y) での値をとる。合成関数の微分法と同じく、この公式は分数の規則のように見えるが、そうではない。微分可能性が証明されたあとでは、冒頭の簡単な計算、すなわち f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y を合成関数の微分法で微分する計算は、この公式を覚える正当な方法である。

命題微分係数が零になる点での逆関数

ff を、区間 II（二つ以上の点を含む）で連続かつ狭義単調な関数とする。ff が点 aa（II の点）で微分可能で f′(a)=0f'(a) = 0 ならば、f−1f^{-1} は b=f(a)b = f(a) で微分可能でない。 もし微分可能なら、恒等式 f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x に合成関数の微分法を適用すると 1=01 = 0 となってしまう。

証明

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    f−1f^{-1} が bb で微分可能であると仮定する。関数 ff は II で定義され、aa（II の集積点）で微分可能であり、その値は J=f(I)J = f(I) に属し、そこで f−1f^{-1} が定義されている。合成関数の微分法の課の合成関数の微分法により、

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    しかし f−1∘ff^{-1} \circ f は II の恒等関数であり、その微分係数はどの点でも 11 である。これは極限としての導関数の課で見た。この矛盾は、f−1f^{-1} が bb で微分可能でないことを示している。

さらに多くのことが言える。y≠by \neq b ならば、定理の証明の第三の段階は φ\varphi が aa の外で零にならないことしか用いないので、f′(a)=0f'(a) = 0 であっても成り立つ。逆関数の平均変化率は 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)} であり、合成の連続性により分母は φ(a)=0\varphi(a) = 0 に近づく。ff が単調増加なら分母は正で、平均変化率は ∞\infty に発散する。単調減少なら −∞-\infty に発散する。逆関数のグラフは (b,a)(b, a) で鉛直な接線をもち、それは ff の (a,b)(a, b) における水平な接線を折り返したものである。原点における立方根がその例である。