Tassi di variazione e tassi di variazione correlati

Riepilogo

Questa lezione legge la derivata come ciò che essa misura nelle applicazioni: la rapidità con cui una grandezza varia quando ne varia un’altra. Distingue il tasso di variazione medio, quello istantaneo e quello relativo, con le loro unità di misura, e caratterizza la crescita a tasso relativo costante. Studia il moto rettilineo, con la posizione, la velocità, il modulo della velocità e l’accelerazione, e dimostra che cosa dice il segno della derivata in un istante, e che cosa non dice. Infine, quando più grandezze che dipendono dal tempo sono legate da una relazione, la regola della catena lega anche i loro tassi di variazione: sono i tassi di variazione correlati, che si risolvono con un metodo esplicito.

Obiettivi di apprendimento

Interpretare la derivata come tasso di variazione istantaneo, con le sue unità di misura, e distinguerla dal tasso di variazione medio e da quello relativo.
Descrivere un moto rettilineo con la posizione, la velocità, il modulo della velocità e l’accelerazione, e dimostrare che cosa dice il segno della derivata in un istante sui valori vicini.
Risolvere problemi di tassi di variazione correlati con un metodo esplicito, giustificando che le grandezze che si derivano sono derivabili.
Mettere in relazione i tassi relativi di variazione di prodotti e potenze con la derivata logaritmica, e le accelerazioni con la derivata seconda di una relazione.

La derivata come tasso di variazione

La lezione su la derivata come limite è arrivata alla stessa definizione a partire da due domande: il coefficiente angolare della tangente e la velocità istantanea. Entrambe sono casi di una domanda più generale. Ogni volta che una grandezza dipende da un’altra, l’area di un cerchio dal suo raggio, la posizione di un punto mobile dal tempo o la massa di un pezzo di sbarra dalla sua lunghezza, conviene sapere con quale rapidità varia la prima quando varia la seconda.

DefinizioneTasso di variazione

Sia $f$ una funzione definita in un intervallo aperto $I$ , che esprime una grandezza $y = f(x)$ in funzione di un’altra grandezza $x$ , e siano $a$ e $a + h$ punti di $I$ , con $h \neq 0$ . Il tasso di variazione medio di $y$ rispetto a $x$ tra $a$ e $a + h$ è il quoziente

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Se $f$ è derivabile in $a$ , il tasso di variazione istantaneo (o semplicemente tasso di variazione) di $y$ rispetto a $x$ in $a$ è $f'(a)$ ; se inoltre $f(a) \neq 0$ , il tasso di variazione relativo in $a$ è il quoziente $\frac{f'(a)}{f(a)}$ .

Il tasso medio è il coefficiente angolare di una secante, e quello istantaneo, il suo limite: il coefficiente angolare della tangente. Entrambi si misurano in unità di $y$ per unità di $x$ : metri al secondo, se $y$ è una lunghezza e $x$ un tempo; chilogrammi al metro, se $y$ è la massa di un pezzo di sbarra e $x$ la sua lunghezza. In quest’ultimo caso, se $M(x)$ è la massa del pezzo compreso tra un estremo e il punto a distanza $x$ , il tasso di variazione $M'(x)$ è la densità lineare della sbarra in quel punto: la massa per unità di lunghezza che avrebbe un pezzo molto corto attorno a esso. Il tasso relativo, invece, si misura solo in unità reciproche di $x$ (al secondo, al giorno): non dipende dall’unità in cui si misura $y$ , e per questo permette di confrontare la variazione di grandezze di natura diversa o di dimensioni diverse. È la derivata logaritmica della lezione sulla variabile all’esponente, e si esprime spesso in percentuale: un tasso relativo di $0{,}03$ al giorno è del 3 per cento al giorno.

Un esempio geometrico mostra come si legge un tasso di variazione. L’area del cerchio di raggio $r$ è $A = \pi r^2$ , e il suo tasso di variazione rispetto al raggio è $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ , la lunghezza della circonferenza, come chiede di verificare il problema proposto 1 della lezione sulla derivata come limite. La ragione è chiara: quando il raggio aumenta di $h$ , l’area aumenta di una corona circolare di larghezza $h$ , la cui area è quasi quella della lunghezza della circonferenza per $h$ .

ProposizioneCrescita a tasso relativo costante

Siano $y_0 > 0$ e $k \neq 0$ numeri reali, e sia $y(t) = y_0 e^{kt}$ per ogni reale $t$ . Allora il tasso di variazione relativo di $y$ vale $k$ in ogni istante, e per ogni $t$ e ogni $T$ :

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

In particolare, se $k > 0$ , la grandezza raddoppia in ogni intervallo di tempo di durata $\frac{\ln 2}{k}$ , qualunque sia l’istante in cui comincia; e se $k < 0$ , si dimezza in ogni intervallo di durata $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .

Dimostrazione

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
Per il corollario delle composizioni con l’esponenziale e il logaritmo, della lezione sulla variabile all’esponente, con $u(t) = kt$ , la funzione $y$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$ e la sua derivata è $k$ volte la funzione stessa, che non si annulla.
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
Per la proprietà delle potenze, il quoziente tra i valori separati da un intervallo di durata $T$ non dipende da $t$ .
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
Poiché l’esponenziale è iniettiva, il quoziente vale $2$ se e solo se $kT = \ln 2$ , e vale $\frac{1}{2}$ se e solo se $kT = -\ln 2$ .

Una popolazione di batteri in un ambiente senza restrizioni o una massa di materiale radioattivo variano, con buona approssimazione, a tasso relativo costante, e la proposizione spiega perché hanno un tempo di raddoppio o un tempo di dimezzamento fisso. Che le funzioni $y_0 e^{kt}$ siano le sole con tasso relativo costante $k$ è vero, ma la sua dimostrazione richiede di sapere che una funzione con derivata nulla in un intervallo è costante, conseguenza del teorema del valor medio della prossima unità.