代数与几何 I：课程计划

宗旨与对象

本课程是两门课程中的第一门，这两门课程汇集了微积分和大学数学之前的代数与几何。它的宗旨不只是教人计算，而是要表明每一种计算从何而来：课程构造自己的对象，而不是假定它们已知；它从关于自然数的少数几条公理出发，经过一次又一次的扩充，由此推出整数、有理数、实数和代数形式的复数的算术，多项式的代数与代数函数，平面解析几何，最后是指数函数、对数函数与双曲函数。所用的每一个结果都会加以陈述和证明；若其证明属于另一门课程，则明确声明为承认的结果。

本课程面向希望在进入大学之前打下扎实基础的中学最后几个年级的学生，面向理科、工科、经济学或数学教育专业的大学一年级学生，也面向任何想要严格地重建自己当初作为一套套诀窍学到的数学的人。它所预设的不过是中小学算术：会进行整数与分数的运算，能认出平面几何的基本图形。然而，由于本课程几乎证明它所断言的一切，建议事先学习或同时学习数理逻辑 I：命题逻辑课程，该课程教人用明确的联结词、量词和推理规则来阅读和构造证明。

既然如此，本课程在本站处于入门的位置，有三门课程依赖于它。金融数学和使用 R 进行数据分析以它为唯一的先修课程，因为它们要用到这里构造的数列、计数、方程与线性方程组、指数函数和对数。第三门是它的续篇代数与几何 II：三角学、复数与空间几何，这门课程在这里所取得成果的基础上，研究三角函数、复数的极坐标形式、矩阵和空间解析几何。由此可知，有志于学习微积分 I的人必须学完这两门课程，因为那门课程以第二门为先修课程。

总体学习目标

下列目标描述了学完本课程的学生应当能够做到的事情。每一项都表述为可观察的表现，以便能用一项具体任务加以检验；每一节主题课又各自声明自己的目标，这些目标服务于一项或几项总体目标，而结课的那一课则显示每一项目标在哪些单元和哪些课中得到训练。八项目标都编了号，以便引用。

1. 目标 1. 通过明确的演绎推理证明算术、代数和几何中的命题，运用直接证明、逆否证明、反证法、各种形式的归纳法和良序原理，并在每个证明中区分推出的内容与承认的内容。
2. 目标 2. 用集合、关系与函数的语言构造各个数系：由皮亚诺公理定义的自然数，作为等价类的整数和有理数，作为完备有序域的实数，以及作为实数对的复数；说明每一次扩充是由哪个无解的方程推动的，以及在扩充中得到或失去了什么性质。
3. 目标 3. 证明并运用整数的算术：带余除法与整除性，素数与唯一分解，最大公因数与线性丢番图方程，同余，位值记数法以及组合计数。
4. 目标 4. 变换代数式（幂、根式、多项式和分式），并求解一次的、多项式的、有理的、含根式的和含绝对值的方程、不等式与方程组，论证每次变形的等价性，并检验所得的解。
5. 目标 5. 分析实变量的实函数，确定其定义域、值域、符号、零点、渐近线、反函数与复合，并作出其图像，特别是通过已知图像的变换来作图。
6. 目标 6. 用方程表示平面上的轨迹，反过来，识别一个方程所确定的曲线：笛卡儿形式、向量形式和参数形式的直线，圆，以及对称轴平行于坐标轴的抛物线、椭圆和双曲线，还有由不等式确定的区域。
7. 目标 7. 用指数函数、对数函数与双曲函数解决问题，从它们的定义推出它们的性质，并求解含有它们的方程与不等式。
8. 目标 8. 用课程中的工具（线性方程组、线性规划、增长与衰减模型）为科学、技术、经济和日常生活中的情境建立数学模型，并以正确的记号、完整的论证和对结果合理性的检查，书面表达问题的建立、计算和证明。

目标 2 至 7 大体上对应课程的几大主题；而第一项和第八项则是贯穿性的：它们不属于某一个单元，而是在所有单元中都得到训练。由此可知，它们的达成不能归功于某一节课，宜在整个课程中持续培养。然而，这两项目标也都有主要为之服务的课：服务于第一项的，是第 1 单元的导言（它说明为什么有限次的验证都不能证明一个关于所有自然数的断言）和五节总结课（其核心部分重建每个单元的演绎链）；服务于第八项的，是那些以问题的建立本身为内容的课：为情境建模的线性方程组、线性规划和增长模型。

内容

本课程分为七个单元。第一个和最后一个单元为整个历程提供框架；中间的五个单元展开内容。其中每个单元都以一节导言课开始，介绍本单元的各课、其思想的历史背景、催生它们的问题以及它们的意义；并以一节总结课结束，重建本单元的演绎链，把它与课程的其余部分联系起来，并提出十道难度高于各课问题的挑战题。

第 0 单元 课程介绍

本单元由这一课组成，它确定课程的宗旨、总体目标、内容、学习量和设计。

第 1 单元 自然数

它的目标是确立集合、关系与函数的语言，从皮亚诺公理推出自然数和整数的算术，直至同余，并确立归纳法作为本课程的证明工具。

1. 自然数：导言。
2. 集合、关系与函数。
3. 自然数与皮亚诺公理。
4. 自然数的基本运算与序关系。
5. 求和、数列与归纳法。
6. 整除与带余除法。
7. 素数与算术基本定理。
8. 最大公因数与最小公倍数。
9. 同余与模算术。
10. 进位记数制。
11. 初等组合学与二项式定理。
12. 自然数：总结与挑战。

第 2 单元 数集

它的目标是把自然数扩充到复数，每一次都是为了求解一个原本无解的方程，并掌握序、绝对值、幂和一次方程。

1. 数集：导言。
2. 数集：从自然数到复数。
3. 整数：构造、符号与序。
4. 有理数：分数及其运算。
5. 有理数的小数表示。
6. 实数轴：序、区间与绝对值。
7. 有理数指数幂与根式。
8. 一次方程、一次不等式与线性方程组。
9. 复数：运算与方程。
10. 数集：总结与挑战。

第 3 单元 代数函数与多项式

它的目标是使因式分解成为决定代数函数的根、符号、不等式、定义域、渐近线和图像的工具。

1. 代数函数与多项式：导言。
2. 实变量的代数函数。
3. 函数的运算、反函数与图像变换。
4. 实系数多项式的代数。
5. 二次多项式与 2n 次三项式的因式分解。
6. 高次多项式的根与综合除法。
7. 分式与部分分式。
8. 符号表与不等式。
9. 有理函数：渐近线与图像。
10. 含根式的函数：定义域、符号与图像。
11. 代数函数与多项式：总结与挑战。

第 4 单元 平面解析几何

它的目标是把几何性质转化为方程，把方程转化为曲线，从直线到圆锥曲线，再到线性规划的区域。它们在空间中的类比，即二次曲面，本课程和第 II 门课程都不讨论（后者只研究其中的球面）；按照本站目前的组织，对它们的研究属于微积分 III。

1. 平面解析几何：导言。
2. 直线的方程与笛卡儿坐标系。
3. 平面向量与直线的参数方程。
4. 抛物线的方程：定义与性质。
5. 抛物线的刻画及其图像。
6. 椭圆与圆的方程。
7. 圆：切线、位置关系与点的幂。
8. 双曲线的方程及其推导。
9. 圆锥曲线：抛物线、椭圆与双曲线的刻画及图像。
10. 平面上的不等式与线性规划。
11. 平面解析几何：总结与挑战。

第 5 单元 指数函数、对数函数与双曲函数

它的目标是定义把和化为积、把积化为和的函数，推出它们的性质，并把它们用于增长的建模。

1. 指数函数、对数函数与双曲函数：导言。
2. 指数函数与实数指数幂。
3. 数 e 与自然指数函数。
4. 对数函数及其性质。
5. 指数与对数的方程和不等式。
6. 指数增长与指数衰减的模型。
7. 双曲函数。
8. 指数函数、对数函数与双曲函数：总结与挑战。

第 6 单元 课程总结

本单元由代数与几何 I：最终回顾一课组成，这一课回顾八项总体目标，用一幅图显示每项目标在哪些单元和哪些课中得到训练，按目标汇集各次结业测评的第一次作答，并指出学习从这里通往何处。

学习量与学分

一门课程的学习量不是用讲授的学时来衡量的（异步课程中并没有讲授学时），而是用学生的全部工作来衡量：阅读、跟随证明、解题和复习。这一估计考虑了阅读的时间、研读例题的时间、做练习题和挑战题的时间以及回答单元测评的时间，并为复习留出余量。

结果

本课程各课合计包含 $212$ 道例题、$210$ 道练习题和 $50$ 道挑战题。各单元的估计学习量（按小时取整）如下：

• 第 0 单元，课程介绍：$1$ 小时。
• 第 1 单元，自然数：$69$ 小时。
• 第 2 单元，数集：$58$ 小时。
• 第 3 单元，代数函数与多项式：$63$ 小时。
• 第 4 单元，平面解析几何：$62$ 小时。
• 第 5 单元，指数函数、对数函数与双曲函数：$46$ 小时。
• 第 6 单元，课程总结：不到一小时。

总计约为 $299$ 小时的学生学习时间。这个数字应当按其本来面目来理解：它是对一个研读全部证明、做完全部问题和挑战题的学生的估计。已经掌握部分内容的人，或者只做练习题而不碰挑战题的人，所需时间会少得多；初次学习这些内容、又没有证明习惯的人，可能需要更多时间。

然而，$299$ 小时这个数字是名义上的：课程的学分正是由它确定的，它假定以恒定的速度阅读正文，并且每道挑战题用四分之三小时。在用真实的学生测量之前，宜给它配上一个现实的区间。如果阅读的速度只有假定速度的一半（每个证明都用纸和笔重写一遍时就是如此），而每道挑战题需要七十五分钟而不是四十五分钟，同样的估计就会得到约 $370$ 小时。因此，可以预期的学习量约在 $300$ 至 $370$ 小时之间。上端是一个审慎的界限，而不是测量结果；等到知道学习本课程的人实际所用的时间，这个区间就会得到修正，在此之前，学分按名义数字计算。

建议节奏

为了给各种节奏命名，本计划和第 II 门课程的计划采用同一标准：全日制学习相当于一个 $60$ 学分的学年，约 $1650$ 小时，分布在约四十周内，即每周约 $40$ 小时；半日制为其一半，即每周约 $20$ 小时。由此得出建议的节奏：一个十六周的学期，每周学习约 $18$ 或 $19$ 小时，略少于半日制；按现实区间计算，每周 $19$ 至 $23$ 小时，大致相当于半日制。随后的那个学期就可以用来学习代数与几何 II 课程。作为更宽松的选择，为了与其他要求较高的科目兼顾，本课程可以分在两个学期学完，每周约 $9$ 小时：前一半，即第 0 至 2 单元，约占 $128$ 小时，后一半，即第 3 至 6 单元，约占 $171$ 小时，所以第二个学期开始时宜有一些超前。

折合可转换学分

可转换学分体系按课程要求学生付出的全部工作来衡量一门课程，而不是按面授学时来衡量，目的是使在一所院校完成的学业能够在另一所院校得到承认。欧洲学分转换与累积体系由欧洲各大学在《博洛尼亚宣言》之后采用，它为一个全日制学年分配 $60$ 学分，并规定每个学分对应 $25$ 至 $30$ 小时的工作。智利可转换学分体系由智利各大学按类似的设计采用，它同样为一个学年分配 $60$ 学分，并规定每个学分对应 $24$ 至 $31$ 小时的工作。

然而，把估计的 $299$ 小时分别除以各区间的两端，本课程大约相当于 $10$ 至 $12$ 个欧洲学分（10.0 至 12.0），以及 $10$ 至 $12$ 个智利可转换学分（9.6 至 12.5）。以两个区间的中间值，即每学分 27.5 小时为参照，两种体系得到同一个数，即 10.9，它取整为 11。对欧洲学分而言，学分数 $C$ 的范围如下：

因此，建议为本课程分配 $11$ 个欧洲学分和 $11$ 个智利可转换学分，即略多于一个全日制学年的六分之一。这一数字高于一门普通的一学期代数课程，原因在于要求研读所有的证明，以及构造数系，而通常的教学计划往往略去这些内容。

课程设计

学习形式

本课程是异步的、在线的、自定进度的：它没有日期、直播课和期限，每个学生都以自己的准备和时间所允许的速度前进。它以本站的十四种语言提供，各语言中的数学完全相同：每个版本中的公式和证明的步骤都一致，只翻译文字。各课都声明事先宜学习哪些其他课，因此推荐的顺序是明确的，并且可以核查。

一节课的结构

所有主题课都采用相同的结构。它们以摘要和一份自己的学习目标清单开始，目标表述为可观察的表现。接着是理论，包括定义、准确陈述的定理及其证明，以及示例。证明和示例以分步播放器的形式呈现：每一步写出推理的一行，突出显示所涉及的项，当它依据前面的某个结果时，就回到那个结果并在阅读时将其突出显示，使推理的记忆一直呈现在眼前；许多示例还配有随每一步变化的图。每节课最后是五道例题（第 3 单元有两节课各有六道），附有逐步的解答，以及五道练习题，每道都附有折叠的提示，之后是最终答案，以便学生检验自己的结果而不被透露解题的途径；证明类的练习题还在答案之后折叠附上一份详细解答，宜在写好自己的解答之后再打开。

导言课和总结课有各自的结构。导言介绍本单元、它的历史、催生它的问题以及它的意义；总结重建本单元的演绎链，把它与前面和后面的单元联系起来，并提出十道挑战题，每道都附有提示、最终答案和一份折叠的详细解答；这些挑战题综合了几节课的内容，比练习题要求更多的创造性。

语音朗读

每节课都可以用本站的朗读功能出声收听，它使用设备自身的语音：正文按书写的样子朗读，公式则用文字读出。这样就可以离开屏幕复习一节课，一边看着分步播放器一边听着跟随一个证明，也可以在视力受限的情况下学习。

评估

本课程不打分：它的评估是形成性的，依靠自我评估。练习题可以用来检验每节课目标的达成，挑战题则可以用来检验每个单元目标的达成。

此外还有单元测评。入门测评在导言的开头，是一份简短的自我评估，包含关于本单元的十个问题，从第 2 单元起还加上关于本单元从前面单元所预设的知识的三个问题，它衡量起点；结业测评在总结中、挑战题之前，有十二个问题，衡量所取得的成果，并与入门测评相比较。两者都在浏览器中当场批改：每个回答都会得到解释，每个典型错误都会得到一条指出它的说明，每个问题都会指向宜复习的那一课。两者都不打分，也不提供认证，其结果只保存在学生的浏览器中；对所获技能的认定以后将在另一个平台上进行。五个单元都包含这两种测评，最终回顾把每次结业测评的第一次作答汇集为按总体目标划分的概况。

对于总体目标，建议以下的达成证据：

• 目标 1：不查阅课文，写出本课程中某个定理的证明，例如素数的无穷性或带余除法的唯一性，以及一道需要归纳法的挑战题的证明。
• 目标 2：书面说明从自然数到复数的每一次扩充是由哪个方程推动的，并证明通过自然数对的类定义的整数加法是良定义的。
• 目标 3：求解一个带约束条件的线性丢番图方程，并用同余计算一个大幂次的余数。
• 目标 4：求解一个有理不等式，或一个含根式和绝对值的不等式，论证每次等价变形并检验所得的解。
• 目标 5：完整地研究一个有理函数或一个含根式的函数，不借助计算工具画出其图像，之后再用计算工具加以检验。
• 目标 6：识别一个不含 $xy$ 项的二次方程所确定的圆锥曲线及其全部要素，并用不等式描述一个由直线和圆锥曲线围成的区域。
• 目标 7：求解一个对数方程并检验定义域，从定义出发证明一个双曲恒等式。
• 目标 8：建立并求解一个线性规划问题，或用一些数据拟合一个指数模型，并写出完整的解答，包括问题的建立、求解过程、答案和合理性检查，使另一个人无需额外解释就能看懂。

如何学习本课程

本课程是为按顺序学习而设计的。每个单元都以前面的单元为前提，许多证明引用前面各课的结果；跳过一节课，迟早不得不回头再学。

每个单元都有两个检查点。入门测评在导言的开头，是起点：宜在学习本单元之前不查阅任何资料作答，并记下错误所指向的那些课，它们正是需要更加留心的课。结业测评在总结中、挑战题之前，是对照：在学完各课之后作答，同样不查阅资料，并与入门测评相比较，看看有什么变化、哪些课宜复习。两次测评都以第一次作答为准，被比较的是它，汇入最终回顾概况的也是它；之后的作答都是在看过反馈之后进行的。挑战题使检验更加完整，因为它们要求综合运用并书面表达那些简短问题只是触及的内容。由此可知，自认为已经掌握某个单元的人，不应凭一次测试就作出判断：如果结业测评的结果扎实，又能解出总结中的挑战题，就可以进入后面的单元；否则，宜学习两者所指出的那些课。

在每节课中，宜先读摘要和目标，它们说明要达到什么；然后用纸和笔研读理论，力求在播放器写出证明的每一步之前预先想到它；在看例题的解答之前先尝试自己解，并在没有帮助的情况下解练习题，只有在尝试已经穷尽时才打开提示，只有在最后才打开答案，用来检验。一道在尝试之前就查看了答案的题目并没有被解出，而只是被读过了。

挑战题比各课的问题更难，有些需要在不同的日子里尝试多次，这是正常的。不宜无休止地停留在某一道题上：把它记下来，继续往前学，以后再回到它，往往是最短的路。然而，估计的学习量假定每一道都认真尝试过，而本课程所能教给人的东西，很大一部分就取决于这种努力。

最后，宜动笔写。写出一个证明或一份完整的解答，连同其前提和结论，是知道自己是否真正理解的唯一方法，也是本课程的第八项目标。一本学习笔记，用自己的话重写每个单元的定义和定理，是本课程所能留下的最好的复习材料。