代数与几何 II：课程计划

宗旨与对象

本课程是一个历程的后一半，这个历程始于代数与几何 I：数、函数与平面几何。课程 I 从佩亚诺公理出发，构造了直到代数形式复数为止的各个数系、多项式代数、实函数及其图像、带有向量和圆锥曲线的平面解析几何，以及指数函数、对数函数和双曲函数。课程 II 接过这些对象，把它们带入三个新的领域：三角学，它度量角，把旋转变成一种演算；极坐标形式的复数，在那里这种演算变成乘法；以及矩阵，它把线性方程组和变换组织起来，并与向量一起支撑起本课程最后讲授的空间解析几何。

它的宗旨与课程 I 相同：不仅教人计算，还要说明每一种计算从何而来。所用的每个结果都加以陈述和证明；若其证明属于另一门课程，则明确声明予以承认。例如，代数基本定理和弧长的性质就是如此，它们需要微积分。

本课程面向学完课程 I 或通过其他途径掌握了其内容的人：准备升入大学的中学最后几个年级的学生，理科、工科、经济学或数学教育专业的大学一年级学生，以及任何想要严格地重建自己当初作为一套套诀窍学到的数学的人。若是如此，本课程就预设以下内容为已知：实数的完备性，函数的研究及其反函数和图像变换，平面上的直线、向量和数量积，圆锥曲线，指数函数和对数，以及代数形式复数的算术。对其中某一点没有把握的人，可以在开始之前回到课程 I 相应单元的总结课，做一做其中的挑战题。

另一方面，本课程也处在承上启下的位置。它是微积分 I：微分学的先修课程；该课程从第 1 单元证明的不等式 $\sin x < x < \tan x$ 出发对三角函数求导，并进而通向力学基础和微积分 II：积分学，在这两门课程中，圆周运动、三角代换和极坐标下的面积会再次出现。

总体学习目标

下列目标描述了学完本课程的学生应当能够做到的事情。每一项都表述为可观察的表现，以便能用一项具体任务加以检验；每一节课又各自声明自己的目标，而结课的那一课则逐课显示每节课被归入这七项目标中的哪一项。各项目标都编了号，以便在那一课中引用。

1. 目标 1. 通过明确的演绎推理证明三角学、复数与矩阵的代数以及解析几何中的命题，运用直接证明、逆否证明、反证法和归纳法，并在每个证明中区分推出的内容与承认的内容。
2. 目标 2. 把三角学应用于角和三角形的度量，研究三角函数及其反函数，证明恒等式，求解三角方程和三角函数不等式并给出其通解，用极坐标描述曲线。
3. 目标 3. 用本课程的工具研究平面几何：计算直线之间的夹角，通过坐标轴的旋转消去二次方程的交叉项并对它所确定的圆锥曲线进行分类，用三角学、复数和矩阵表示旋转、位似、反射和投影。
4. 目标 4. 进行极坐标形式和指数形式的复数运算，计算复数的幂和根，从几何上解释复数的运算，并在复数域中求解多项式方程。
5. 目标 5. 用矩阵求解线性方程组，借助高斯-若尔当消元法、秩、行列式和逆矩阵，并在数系、多项式、矩阵和模 $n$ 的剩余类中识别群、环和域的结构。
6. 目标 6. 用坐标和方程表示空间中的点、向量、直线和平面，进行数量积、向量积和混合积的运算，并用它们计算角、距离、面积和体积，借助线性方程组判定直线和平面的位置关系。
7. 目标 7. 用本课程的工具为科学、技术和日常生活中的情境建立数学模型，并以正确的记号、完整的论证和对结果合理性的检查，书面表达问题的建立、计算和证明。

目标 2 至 6 大体上对应于本课程的几大主题：目标 2 对应第 1 和第 2 单元，目标 4 对应第 3 单元，目标 5 对应第 4 单元，目标 6 对应第 5 单元；而目标 3 汇集了一条贯穿第 1 至 4 单元的线索，即依次用正弦和余弦、用复数、用矩阵来看待的平面几何。反之，第一项和第七项目标是贯穿性的：它们不属于某一个单元，而是在所有单元中都得到练习。由此可知，它们的达成不能归于某一节特定的课，宜在整个课程中加以培养。不过，两者也都有主要为其服务的课：第一项是各单元的总结课，其核心内容重建每个单元的演绎链；第七项是以建立问题本身为内容的课，即关于两直线夹角及其应用的那一课和关于线性方程组的那一课。

内容

本课程分为七个单元。第一个和最后一个单元为整个历程提供框架；中间的五个单元展开内容。其中每个单元都以一节导言课开始，介绍本单元的各课、其思想的历史背景、催生它们的问题以及它们的意义；并以一节总结课结束，重建本单元的演绎链，把它与本课程的其余内容以及课程 I 联系起来，并提出十道难度高于各课问题的挑战题。

第 0 单元 课程介绍

本单元由这一课组成，它确定课程的宗旨、总体目标、内容、学习量和设计。

第 1 单元 三角函数与极坐标

本单元的目标是在单位圆上定义三角函数，研究它们的图像和反函数，解三角形，并用极坐标描述曲线。

1. 三角函数与极坐标：导言。
2. 角及其度量：角度制与弧度制。
3. 三角比与单位圆。
4. 三角函数及其图像。
5. 反三角函数。
6. 解三角形：正弦定理与余弦定理。
7. 极坐标与极坐标曲线。
8. 三角函数与极坐标：总结与挑战。

第 2 单元 解析三角学

本单元的目标是把三角函数变成一种代数演算，包括恒等式、加法公式、方程和不等式，并把它应用于直线之间的夹角和轴倾斜的圆锥曲线。

1. 解析三角学：导言。
2. 基本三角恒等式。
3. 两角和与差、二倍角与半角公式。
4. 和差化积与辅助角公式。
5. 三角方程与三角函数不等式。
6. 两直线的夹角与三角学的应用。
7. 坐标轴的旋转与一般二次方程。
8. 解析三角学：总结与挑战。

第 3 单元 复数的极坐标形式

本单元的目标是用模和辐角来描述每个复数，使乘积可以读作带伸缩的旋转，幂可以读作角的倍数，根可以读作正多边形，并以此求解多项式方程。它回到课程 I 第 2 单元所构造的代数形式的复数。

1. 复数的极坐标形式：导言。
2. 复数的极坐标形式。
3. 棣莫弗公式与复数的乘方。
4. 复数的 n 次方根与单位根。
5. 复指数函数与欧拉公式。
6. 借助复数的几何。
7. 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式。
8. 复数的极坐标形式：总结与挑战。

第 4 单元 矩阵与代数结构

本单元的目标是把线性方程组的系数表变成一个具有自身运算的对象，用它求解方程组，把矩阵读作变换，并把两门课程的计算中的共同之处凝练为群、环和域的概念。

1. 矩阵与代数结构：导言。
2. 矩阵及其运算。
3. 线性方程组与高斯-若尔当消元法。
4. 行列式：性质与克拉默法则。
5. 逆矩阵。
6. 作为平面变换的矩阵。
7. 作为矩阵的复数。
8. 代数结构：群、环与域。
9. 矩阵与代数结构：总结与挑战。

第 5 单元 空间解析几何

本单元的目标是把课程 I 第 4 单元所学的平面解析几何推广到空间：从一份明确列出的、所承认的空间欧几里得几何事实出发，用三个坐标描述点和向量；用数量积度量长度和角，并证明这样定义的角就是初等几何中的角；从三阶行列式得出向量积和混合积，并把它们解读为面积、体积和共面判定法；用方程写出直线和平面，并借助第 4 单元的秩和鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理判定它们的位置关系；计算距离、角、投影以及两条异面直线的公垂线，并给出在力学、晶体学、航空导航和卫星定位中的应用。本单元研究球面，但不研究其他二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面以及二次锥面和二次柱面），本课程不讨论它们；按照本站目前的组织，对它们的研究属于微积分 III。

1. 空间解析几何：导言。
2. 空间向量与数量积。
3. 向量积与混合积。
4. 空间中的直线与平面。
5. 空间中的距离、角与体积。
6. 空间解析几何：总结与挑战。

第 6 单元 课程总结

本单元由代数与几何 II：最终回顾一课组成，这一课回顾七项总体目标，用一幅图显示本课程的每节课被归入哪一项目标、每个单元达到了哪些具体目标，并按目标汇集各次结业测评的第一次作答。

学习量与学分

一门课程的学习量不是用讲授的学时来衡量的（异步课程中并没有讲授学时），而是用学生的全部工作来衡量：阅读、跟随证明、解题和复习。这一估计计入每节课正文的阅读时间，每道例题二十分钟，每道练习题三十五分钟，每道挑战题四十五分钟，每次入门测评或结业测评十二分钟，并另加十分之一的余量用于复习。

结果

第 1 至 5 单元的各课合计包含 $145$ 道例题、$145$ 道练习题和 $50$ 道挑战题。各单元的估计学习量（按小时取整）如下：

• 第 0 单元，课程介绍：$1$ 小时。
• 第 1 单元，三角函数与极坐标：$46$ 小时。
• 第 2 单元，解析三角学：$46$ 小时。
• 第 3 单元，复数的极坐标形式：$46$ 小时。
• 第 4 单元，矩阵与代数结构：$54$ 小时。
• 第 5 单元，空间解析几何：$36$ 小时。
• 第 6 单元，课程总结：不到一小时。

第 5 单元的课数最少，但它的四节内容课属于本课程中篇幅最长的课。总计约为 $230$ 小时的学生学习时间。这个数字应当按其本来面目来理解：它是对一个研读全部证明、做完全部问题和挑战题的学生的估计。已经掌握部分内容的人，或者只做练习题而不碰挑战题的人，所需时间会少得多；初次学习这些内容、又没有证明习惯的人，可能需要更多时间。

然而，$230$ 小时这个数字是名义上的：课程的学分正是由它确定的，它假定以恒定的速度阅读正文，并且每道挑战题用四分之三小时。在用真实的学生测量之前，宜给它附加一个现实的区间。如果阅读的速度只有假定速度的一半（每个证明都用纸和笔重写一遍时就是如此），而每道挑战题需要七十五分钟而不是四十五分钟，同样的方法就会得到约 $298$ 小时。因此，可以预期的学习量约在 $230$ 至 $300$ 小时之间。上端是一个审慎的界限，而不是测量结果；等到知道学习本课程的人实际所用的时间，这个区间就会得到修正，在此之前，学分按名义数字计算。

建议节奏

为了给各种节奏命名，本计划和课程 I 的计划采用同一标准：全日制学习相当于一个 $60$ 学分的学年，约 $1650$ 小时，分布在约四十周内，即每周约 $40$ 小时；半日制为其一半，即每周约 $20$ 小时。由此得出建议的节奏：一个十六周的学期，每周学习约 $14$ 小时，略多于全日制的三分之一，因而少于半日制；按现实区间计算，每周 $14$ 至 $19$ 小时，接近半日制但达不到。这样，课程 I 和课程 II 占用两个相连的学期。更宽松的节奏，每周约 $7$ 小时，把本课程分在两个学期学完；集中的节奏，每周约 $29$ 小时，略少于全日制的四分之三，可在八周内学完，这相当于在同一时期不修读任何其他高要求科目的学生的学习量。

学分

本站的学分衡量一门课程要求学习者付出的全部学习量（阅读、解题、挑战题和复习），而不是课堂学时。一个学分相当于约 $27.5$ 小时的学习，一年的全日制学习相当于 $60$ 学分，即约 $1650$ 小时；这与前面那一小节为各种学习节奏命名时所用的标准相同。

然而，把估计的 $230$ 小时除以 $27.5$，得到 8.4，取整为 $8$。若允许每学分在 $25$ 至 $30$ 小时的学习之间浮动，本课程的学分数 $C$ 介于 7.7 与 9.2 之间：

因此，本课程为 $8$ 学分，略多于一个全日制学年的八分之一。只想学习本课程中某几个单元的人，可以利用各单元的学时列表：例如，第 0 至 4 单元合计约 $193$ 小时，即约 $7$ 学分。

学分的用处是实际的：借助学分，可以比较本站各门课程的学习负担，并决定同时修读几门课程才不会超出可用的时间。例如，以半日制学习一个十六周的学期，即约有 $320$ 小时的人，可以修读合计约 $12$ 学分的课程；若同一学期全日制学习，则约 $23$ 学分。

这些学分是本站为规划学习而采用的自有计量：它们不对应任何官方学分体系，也不意味着任何机构的学术认可。

课程设计

学习形式

本课程是异步的、在线的、自定进度的：它没有日期、直播课和期限，每个学生都以自己的准备和时间所允许的速度前进。它以本站的十四种语言提供，各语言中的数学完全相同：每个版本中的公式和证明的步骤都一致，只翻译文字。各课都声明事先宜学习哪些其他课，也包括它们所依赖的课程 I 中的课，因此推荐的顺序是明确的，并且可以核查。

一节课的结构

所有主题课都采用相同的结构。它们以摘要和一份自己的学习目标清单开始，目标表述为可观察的表现。接着是理论，包括定义、准确陈述的定理及其证明，以及示例。证明和示例以分步播放器的形式呈现：每一步写出推理的一行，突出显示所涉及的项，当它依据前面的某个结果时，就回到那个结果并在阅读时将其突出显示，使推理的记忆一直呈现在眼前；许多示例还配有随每一步变化的图。每节课最后是五道例题，附有逐步的解答，以及五道练习题，每道都附有折叠的提示，之后是最终答案，以便学生检验自己的结果而不被透露解题的途径；证明类的练习题还在答案之后折叠附有一份详细解答，宜在写好自己的解答之后再打开。

导言课和总结课有各自的结构。导言介绍本单元、它的历史、催生它的问题以及它的意义；总结用一幅图重建本单元的演绎链，标出它所重用的结果和它所证明的环，把它与前面的单元以及课程 I 联系起来，并提出十道挑战题，每道都附有提示、最终答案和一份折叠的详细解答；这些挑战题综合了几节课的内容，比练习题要求更多的创造性。

语音朗读

每节课都可以用本站的朗读功能出声收听，它使用设备自身的语音：正文按书写的样子朗读，公式则用文字读出。这样就可以离开屏幕复习一节课，一边看着分步播放器一边听着跟随一个证明，也可以在视力受限的情况下学习。

评估

本课程不打分，也不提供认证：它在本站的检验是形成性的。练习题可用来检验每节课目标的达成，挑战题可用来检验每个单元目标的达成。此外，五个单元中的每一个都在导言中设有入门测评，在总结中、挑战题之前设有结业测评：这些都是简短的自我检查，在浏览器中批改，不打分；入门测评有关于本单元的九个或十个问题，另加二至六个关于本单元从前面单元或课程 I 所预设的知识的问题，结业测评有十一个或十二个问题；两者都针对每个错误指出宜复习哪一课，并相互比较以显示进步。最终回顾把每次结业测评的第一次作答汇集为按总体目标划分的概况，它和这些测评一样，只保存在学生的浏览器中。具有认证效力的技能认定以后将在本站之外的另一个平台上进行。

对于总体目标，另建议以下的达成证据，每个学生都可以自己做出：

• 目标 1：不查阅课文，写出本课程中某个定理的证明，例如余弦定理、棣莫弗公式或逆矩阵的唯一性。
• 目标 2：证明一个非平凡的三角恒等式，并求解一个三角方程，给出其通解。
• 目标 3：通过旋转坐标轴，对一个含交叉项的二次方程所确定的圆锥曲线进行分类，并把平面的一个旋转表示为与一个复数的乘积以及一个矩阵。
• 目标 4：计算一个复数的 $n$ 次方根，在平面上把它们表示出来，并用卡尔达诺公式求解一个三次方程。
• 目标 5：求解一个含参数的线性方程组，按秩讨论各种情形，并判定一个给定的结构是群、环还是域。
• 目标 6：求空间中两条直线的位置关系及它们之间的距离，以及由顶点给出的四面体的体积。
• 目标 7：写出一个建模问题的完整解答，包括问题的建立、求解过程、答案和合理性检查，使另一个人无需额外解释就能看懂。

如何学习本课程

本课程是为按顺序学习而设计的。每个单元都以前面的单元和课程 I 为前提，许多证明引用这一门或那一门课程中前面各课的结果；跳过一节课，迟早不得不回头再学。

每个单元都有两个检查点。入门测评在导言的开头，是起点：宜在学习本单元之前不查阅任何资料作答，并记下错误所指向的那些课，它们正是需要更加留心的课。结业测评在总结中、挑战题之前，是对照：在学完各课之后作答，同样不查阅资料，并与入门测评相比较，看看有什么变化、哪些课宜复习。两次测评都以第一次作答为准，被比较的是它，汇入最终回顾概况的也是它；之后的作答都是在看过反馈之后进行的。挑战题使检验更加完整，因为它们要求综合运用并书面表达那些简短问题只是触及的内容。由此可知，自认为已经掌握某个单元的人，不应凭一次测试就作出判断：如果结业测评的结果扎实，又能解出总结中的挑战题，就可以进入后面的单元；否则，宜学习两者所指出的那些课。

在每节课中，宜先读摘要和目标，它们说明要达到什么；然后用纸和笔研读理论，力求在播放器写出证明的每一步之前预先想到它；在看例题的解答之前先尝试自己解，并在没有帮助的情况下解练习题，只有在尝试已经穷尽时才打开提示，只有在最后才打开答案，用来检验。一道在尝试之前就查看了答案的题目并没有被解出，而只是被读过了。

挑战题比各课的问题更难，有些需要在不同的日子里尝试多次，这是正常的。不宜无休止地停留在某一道题上：把它记下来，继续往前学，以后再回到它，往往是最短的路。然而，估计的学习量假定每一道都认真尝试过，而本课程所能教给人的东西，很大一部分就取决于这种努力。

最后，宜动笔写。写出一个证明或一份完整的解答，连同其前提和结论，是知道自己是否真正理解的唯一方法，也是本课程的第七项目标。一本学习笔记，用自己的话重写每个单元的定义和定理，是本课程所能留下的最好的复习材料，到了微积分 I 更是如此，因为那门课程将回到这里所证明的几乎一切。