代数与几何 II：最终回顾

课程的宗旨

课程诞生时有一个总目标：把在代数与几何 I中构建的数、函数和平面几何推进到三角学、极坐标形式的复数、矩阵，最后推进到三维空间，并证明所用到的每一个结果，使学完课程的人不仅会计算，而且知道每个计算从何而来。关于课程计划的那一课把这一总目标展开为七项总体学习目标；不妨把它们连同图中引用它们时所用的编号一起放在眼前：

1. 以明确的演绎推理进行证明，区分推导出的内容与承认的内容。
2. 把三角学应用于角和三角形，证明恒等式，求解三角方程，并描述极坐标曲线。
3. 借助直线之间的夹角、坐标轴的旋转以及用三角学、复数和矩阵表示的变换研究平面几何。
4. 进行极坐标形式和指数形式的复数运算，并从几何上解释复数的运算。
5. 用矩阵、行列式和逆矩阵求解线性方程组，并识别群、环和域。
6. 表示空间中的直线和平面，并用数量积、向量积和混合积计算角、距离、面积和体积。
7. 为科学、技术与日常生活中的情境建立模型，并以书面形式表达问题的建立、计算与证明。

此外，课程的每节课都声明了自己的具体目标。各课并没有说明每一项具体目标服务于哪一项总体目标；这种对应是从外部所作的解读，采用与课程 I 相同的方法。每一项具体目标被归入一项主要的总体目标，如果还涉及其他总体目标，则也归入这些次要目标；每一项具体目标在其主要目标中计为一整份，在每个次要目标中计为半份，而一节课以获得权重最大的那项总体目标为主要目标，并以其余获得一定权重的目标为次要目标。总结课遵循两门课程共同的标准：它们的主要目标是目标 1，因为它们的核心重建了本单元的演绎链。最后，有两节课的习题大多属于建立问题的类型，即关于两直线夹角及其应用的课和关于线性方程组的课，它们的主要目标是目标 7。若是如此，整门课程便可呈现为一条脊柱的形态：头部是总目标；中轴是各单元的顺序，每个单元有自己的一截；每节课是这一截上的一个节点，与它的主要目标相连；七项目标围绕中轴浮动，由滋养它们的各课支撑。