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Topos Uranos
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空间解析几何：总结与挑战

摘要

这一课结束关于空间解析几何的单元，这也是本课程的最后一个单元。它把四节内容课的收获汇成一条演绎之链：两点间的距离，由两次应用勾股定理得到；数量积、柯西-施瓦茨不等式和两向量的夹角，这个夹角与初等几何中的角一致；向量积与混合积，它们诞生于三阶行列式，并可解读为面积、体积和共面的判定；直线与平面的方程，以及用鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理对它们位置关系的分类；最后是距离、角、投影和球面。它说明本单元从前面各单元和课程 代数与几何 I 中得到了什么，哪些内容未加证明而承认，以及本单元通向何处。它在结业测评中重复导言里入门测评的各项技能，最后给出十道挑战题，难度高于各课中的题目，每道都综合了其中几课的内容。

学习目标

  1. 重建本单元的定义与定理之链，从两点间的距离直到公垂线和球面，并在每个环节指出其证明所用到的前面的结果。
  2. 区分本单元中已证明的与承认的内容，并把它的结果与关于矩阵的单元中的行列式和方程组、与课程 I 的平面解析几何联系起来。
  3. 解决把数量积、向量积、混合积与直线、平面、球面的方程结合起来的问题，在每种情形中选择最合适的工具和坐标轴。
  4. 用空间几何为晶体学、工程制图、光学和导航中的情境建模，并完整表述解答：建立模型、进行计算、检验合理性。

本单元的收获

坐标与数量积

本单元一开始就声明了它不打算证明的内容。关于空间向量与数量积的课把所承认的空间欧几里得几何事实列成一张清单，并用两次应用的勾股定理得到了距离公式。向量被定义为三元组，数量积保留了它在平面中的性质，连同柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。然而，在空间中没有一个能容纳一切的平面图形，于是顺序颠倒过来：角先由它的余弦来定义，柯西-施瓦茨不等式保证这个余弦介于 −1-1 与 11 之间，然后再证明它度量的正是初等几何所说的角，因为数量积只依赖于三角形各边的长度。由此得到正交投影、方向余弦，以及保持长度和角的矩阵。

向量积与混合积

在关于向量积与混合积的课中，寻找一个与两个给定向量都垂直的向量，引出了三个二阶行列式。既然如此，行列式的性质立即给出了反交换性和双线性；拉格朗日恒等式给出了作为平行四边形面积的模；而取代结合律的二重向量积公式证明了：与两个不平行向量都垂直的向量，恰是它们的向量积的倍数。混合积原来是一个三阶行列式：它为零当且仅当三个向量共面，它的绝对值是平行六面体的体积，它的平方是格拉姆行列式。最后，这一课在向量积的指向问题上，把可以证明的内容，与画坐标轴时约定的内容（右手系）以及承认的内容（右手法则）区分开来。

直线与平面

关于空间中的直线与平面的课把点属于平面归结为一个条件 n⃗⋅AP⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0，其中 n⃗\vec{n} 是两个方向向量的向量积，并由此得到在相差一个因子的意义下唯一的一般式方程。这样，几个平面的公共点就是一个线性方程组的解，鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理也得到了它的几何解释：三个未知量的相容方程组的解，按秩的不同构成一个点、一条直线或一个平面。由此推出了平面与直线的位置关系，以混合积 AB⃗⋅(u⃗×v⃗)\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) 作为区分相交直线与异面直线的判据，并推出了平面束。

度量

关于空间中的距离、角与体积的课把三种乘积与方程结合起来。它通过向法向量或向直线作投影，证明了点到平面和点到直线的距离公式，垂足是唯一的最近点；并证明了本单元的核心定理：两条异面直线有唯一的公垂线，其长度是一个混合积除以一个模。这正是导言提出的两条地铁隧道问题的答案。随后它证明了用数量积定义的直线与平面之间的角与初等几何中的角一致，平面多边形投影的面积等于它的面积乘以二面角的余弦，并研究了球面及其切平面。

因此，本单元构成一条链：承认的事实给出距离；距离和数量积的性质给出角；行列式给出向量积与混合积；这两种乘积把点属于平面变成一个线性方程；线性方程组对位置关系进行分类；而应用于这些方程的正交投影进行度量。下图把四段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依据它的环节，用虚线连到确立它的那个环节；未加证明而承认的支柱，以及来自前面各单元或课程 I 的支柱除外，它们画成空心圆。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

  • A空间的欧几里得事实. 承认过不共线三点的平面存在且唯一，过一点垂直于一条直线的平面存在且唯一，可以自由选择坐标轴，以及点与三元组之间的对应。 本单元中不加证明而采用。
  • B初等的面积与体积. 承认平行四边形和平行六面体的面积与体积为底乘高，三角形的面积为这个面积的一半，棱锥的体积为底乘高的三分之一，以及面积的可加性；它们的依据是积分学。 本单元中不加证明而采用。
  • C平面几何. 距离、数量积的性质、两向量的夹角、相等向量与平行四边形的引理、配方，以及二次多项式的符号与判别式的关系，均已在课程 I 中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • D三角学. 反余弦作为从 [−1,1]\icc{-1}{1} 到 [0,π]\icc{0}{\pi} 的双射、恒等式 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 以及余弦定理，均已在第 1、2 单元中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • E矩阵与行列式. 乘积的转置、单侧逆矩阵、行列式的性质、克拉默法则，以及 det⁡A≠0\det A \neq 0 与满秩的等价性，均已在第 4 单元中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • F鲁歇-弗罗贝尼乌斯. 方程组 AX=BAX = B 相容当且仅当 rank⁡(A)=rank⁡(M)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)，此时自由未知量的个数等于未知量的个数减去秩；已在第 4 单元中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • G正交投影. 若 v⃗\vec{v} 不为零，则每个向量都能唯一地写成 v⃗\vec{v} 的倍数再加一个与 v⃗\vec{v} 正交的向量，并且它的模的平方等于这两个分向量的模的平方和。 确立于: 6. 正交投影.
  • H与两个向量都垂直. 若 u⃗\vec{u} 与 v⃗\vec{v} 都不为零且不平行，则与两者都垂直的向量恰是 u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} 的倍数。 确立于: 14. 与两个向量都垂直.

  1. 第 1 段 坐标与数量积

    • 在空间中确定点的位置并计算距离，用勾股定理说明距离公式的根据。
    • 进行空间向量的运算，并用它们证明平行四边形和平行六面体的性质。
    • 证明柯西-施瓦茨不等式和三角不等式，并用它们定义两向量的夹角。
    • 计算正交投影和方向余弦，并识别保持长度和角的矩阵。

    1. 两点间的距离. (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) 与 (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) 之间的距离是 (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}，这由先在水平平面、再在竖直平面中应用勾股定理得到。

      依据: A (空间的欧几里得事实), C (平面几何). 证明于: 空间向量与数量积.

    2. 向量与标准基. 三元组构成向量空间，每个向量都能唯一地表示为 i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}、k⃗\vec{k} 的组合；若 PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} 且四点不共线，则它们在同一平面内且 PQSRPQSR 是平行四边形，反之亦然。

      使用: 1. 两点间的距离. 依据: A (空间的欧几里得事实), C (平面几何). 证明于: 空间向量与数量积.

    3. 数量积的性质. 数量积满足交换律和分配律，数可以提到外面，并且满足 u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2；因此 ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2{\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2。

      使用: 2. 向量与标准基. 依据: C (平面几何). 证明于: 空间向量与数量积.

    4. 柯西-施瓦茨与三角不等式. ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} 与 ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}} 成立，并且前者取等号当且仅当一个向量是另一个的倍数。

      使用: 3. 数量积的性质. 依据: C (平面几何). 证明于: 空间向量与数量积.

    5. 这个角就是几何角. 数 θ\theta（属于 [0,π]\icc{0}{\pi} 且满足 cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}）是从同一起点画出的 u⃗\vec{u} 与 v⃗\vec{v} 的箭头所成角的度量；特别地，两个非零向量垂直当且仅当它们的数量积为零。

      使用: 1. 两点间的距离, 3. 数量积的性质, 4. 柯西-施瓦茨与三角不等式. 依据: A (空间的欧几里得事实), C (平面几何), D (三角学). 证明于: 空间向量与数量积.

    6. 正交投影. 若 v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}，则每个 u⃗\vec{u} 都能唯一地写成 p⃗+w⃗\vec{p} + \vec{w}，其中 p⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}，且 w⃗\vec{w} 与 v⃗\vec{v} 正交，并且 ∥u⃗∥2=∥p⃗∥2+∥w⃗∥2{\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2。

      使用: 3. 数量积的性质, 5. 这个角就是几何角. 证明于: 空间向量与数量积.

    7. 正交矩阵. (Au⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(ATv⃗)\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right) 成立；若 AA 的各列是彼此正交的单位向量，则 ATA=IA^{\mathsf{T}} A = I，并且 AA 保持模、距离和角。

      使用: 3. 数量积的性质. 依据: E (矩阵与行列式). 证明于: 空间向量与数量积.

  2. 第 2 段 向量积与混合积

    • 用形式行列式定义向量积，并用行列式证明它满足反交换律和双线性，但不满足结合律。
    • 证明垂直性、拉格朗日恒等式、平行的判定和二重向量积公式。
    • 把混合积等同于三阶行列式，并把它解读为体积和共面的判定。
    • 在向量积的指向问题上，把可以证明的内容与右手系的约定以及被承认的右手法则区分开来。

    1. 代数性质. 向量积的分量是三个二阶行列式，它满足反交换律和双线性，满足 u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}，但不满足结合律。

      依据: E (矩阵与行列式). 证明于: 向量积与混合积.

    2. 垂直性. u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 与 v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 成立：向量积与它的两个因子都垂直。

      使用: 3. 数量积的性质, 8. 代数性质. 证明于: 向量积与混合积.

    3. 拉格朗日恒等式. 对所有向量都有 ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2。

      使用: 3. 数量积的性质, 8. 代数性质. 证明于: 向量积与混合积.

    4. 平行四边形的面积. 模 ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta 是以 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 为边的平行四边形的面积，三角形 ABCABC 的面积为 12∥AB⃗×AC⃗∥\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}。

      使用: 5. 这个角就是几何角, 10. 拉格朗日恒等式. 依据: B (初等的面积与体积), D (三角学), G (正交投影). 证明于: 向量积与混合积.

    5. 乘积为零与平行. u⃗×v⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} 成立当且仅当两个向量之一是另一个的倍数。

      使用: 8. 代数性质. 证明于: 向量积与混合积.

    6. 二重向量积. u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w} 与雅可比恒等式成立。

      使用: 3. 数量积的性质, 8. 代数性质. 证明于: 向量积与混合积.

    7. 与两个向量都垂直. 若 u⃗\vec{u} 与 v⃗\vec{v} 都不为零且不平行，则一个向量与两者都垂直当且仅当它是 n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} 的倍数，此时它等于 x⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}。

      使用: 9. 垂直性, 12. 乘积为零与平行, 13. 二重向量积. 证明于: 向量积与混合积.

    8. 混合积是行列式. 混合积 u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) 是以 u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v}、w⃗\vec{w} 为行的矩阵的行列式；轮换因子时它不变，交换两个因子时它变号，并且点乘与叉乘可以互换位置。

      使用: 3. 数量积的性质, 8. 代数性质. 依据: E (矩阵与行列式). 证明于: 向量积与混合积.

    9. 共面判定法. 三个向量共面，即存在系数不全为零的组合使其为零，当且仅当它们的混合积为零。

      使用: 15. 混合积是行列式. 依据: E (矩阵与行列式). 证明于: 向量积与混合积.

    10. 体积与格拉姆矩阵. 以 u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v}、w⃗\vec{w} 为棱的平行六面体的体积为 ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}，四面体的体积是它的六分之一，而混合积的平方是格拉姆行列式。

      使用: 11. 平行四边形的面积, 12. 乘积为零与平行, 15. 混合积是行列式, 16. 共面判定法. 依据: B (初等的面积与体积), G (正交投影), E (矩阵与行列式). 证明于: 向量积与混合积.

    11. 刻画与定向. 若 u⃗\vec{u} 与 v⃗\vec{v} 都不为零且不平行，则 u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} 是唯一一个与两者都垂直、模等于面积且混合积为正的向量；它指向右手拇指所指的方向，这一点在约定了坐标轴的画法之后被承认。

      使用: 11. 平行四边形的面积, 15. 混合积是行列式. 依据: H (与两个向量都垂直). 证明于: 向量积与混合积.

  3. 第 3 段 直线与平面

    • 把直线写成向量式、参数式和对称式，把平面写成参数式和一般式，并借助向量积在不同形式之间转换。
    • 证明每个平面都有在相差一个因子的意义下唯一的一般式方程，并且每个一次方程都表示一个平面。
    • 用线性方程组的秩和混合积判定平面与直线的位置关系。
    • 用平面束构造包含一条直线并满足另一条件的平面。

    1. 过两点的直线. 过两个不同的点 AA 与 BB 有唯一一条直线，即 A+tAB⃗A + t \vec{AB}。

      使用: 2. 向量与标准基. 证明于: 空间中的直线与平面.

    2. 两个向量的组合. 若 u⃗\vec{u} 与 v⃗\vec{v} 都不为零且不平行，则 w⃗\vec{w} 是它们的组合当且仅当 (u⃗×v⃗)⋅w⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0，此时系数唯一。

      使用: 9. 垂直性, 15. 混合积是行列式. 依据: F (鲁歇-弗罗贝尼乌斯), E (矩阵与行列式). 证明于: 空间中的直线与平面.

    3. 平面的一般式方程. 一点在平面 A+λu⃗+μv⃗A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} 上当且仅当 (u⃗×v⃗)⋅AP⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0；每个平面都有一个方程 ax+by+cz=dax + by + cz = d，在相差一个因子的意义下唯一，并且每个这样的方程都表示一个平面。

      使用: 12. 乘积为零与平行, 20. 两个向量的组合. 依据: H (与两个向量都垂直). 证明于: 空间中的直线与平面.

    4. 平面的位置关系. 关于未知量 xx、yy、zz 的相容方程组的解，按秩为 33、22 或 11，分别构成一个点、一条直线或一个平面；由此得到两个平面、三个平面的位置关系，以及直线与平面的位置关系。

      使用: 19. 过两点的直线, 20. 两个向量的组合, 21. 平面的一般式方程, 15. 混合积是行列式. 依据: F (鲁歇-弗罗贝尼乌斯), E (矩阵与行列式), H (与两个向量都垂直). 证明于: 空间中的直线与平面.

    5. 两条直线的位置关系. 两条不平行的直线 A+tu⃗A + t \vec{u} 与 B+λv⃗B + \lambda \vec{v}，若 AB⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 则相交，否则异面；这个混合积为零当且仅当两直线在同一平面内。

      使用: 19. 过两点的直线, 15. 混合积是行列式, 21. 平面的一般式方程. 依据: F (鲁歇-弗罗贝尼乌斯), E (矩阵与行列式), H (与两个向量都垂直). 证明于: 空间中的直线与平面.

    6. 平面束. 包含两个相交平面的公共直线的平面，恰是这两个平面的方程以不全为零的系数所作的组合。

      使用: 20. 两个向量的组合, 22. 平面的位置关系. 证明于: 空间中的直线与平面.

  4. 第 4 段 度量

    • 证明点到平面和点到直线的距离公式，垂足是唯一的最近点。
    • 求两条异面直线的公垂线，证明它唯一，并用混合积计算它的长度。
    • 定义直线与平面之间的角，证明它们与几何角一致，并把平面图形的面积与其投影的面积联系起来。
    • 研究球面、球面与平面的交以及球面的切平面，并把这些应用于晶体学和卫星定位。

    1. 到平面的距离. (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 到平面 ax+by+cz=dax + by + cz = d 的距离是 ∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}，并且只在垂足处取到；由此得到半空间和点的对称点。

      使用: 21. 平面的一般式方程. 依据: G (正交投影). 证明于: 空间中的距离、角与体积.

    2. 到直线的距离. PP 到直线 A+tu⃗A + t \vec{u} 的距离是 ∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}，并且只在垂足处取到。

      使用: 10. 拉格朗日恒等式, 19. 过两点的直线. 依据: G (正交投影). 证明于: 空间中的距离、角与体积.

    3. 公垂线. 两条异面直线 A+tu⃗A + t \vec{u} 与 B+sv⃗B + s \vec{v} 有唯一的公垂线，它们之间的距离是 ∣AB⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∥u⃗×v⃗∥\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}，并且只在两个垂足之间取到。

      使用: 10. 拉格朗日恒等式, 15. 混合积是行列式, 23. 两条直线的位置关系. 依据: E (矩阵与行列式), H (与两个向量都垂直), G (正交投影). 证明于: 空间中的距离、角与体积.

    4. 与平面所成的角和二面角. 直线与平面所成的角，其正弦为 ∣u⃗⋅n⃗∣∥u⃗∥∥n⃗∥\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}，就是直线与它的投影所成的角；两个平面的法向量所成的角，在相差一个补角的意义下，就是二面角。

      使用: 4. 柯西-施瓦茨与三角不等式, 11. 平行四边形的面积, 13. 二重向量积, 15. 混合积是行列式, 25. 到平面的距离. 依据: D (三角学), H (与两个向量都垂直), G (正交投影). 证明于: 空间中的距离、角与体积.

    5. 投影的面积. 若面积为 SS 的多边形所在的平面所成的二面角为 α\alpha（与平面 π\pi 所成），平行时取 α=0\alpha = 0，则它在 π\pi 上的正交投影的面积为 Scos⁡αS \cos \alpha。

      使用: 11. 平行四边形的面积, 15. 混合积是行列式, 25. 到平面的距离, 28. 与平面所成的角和二面角. 依据: B (初等的面积与体积), H (与两个向量都垂直). 证明于: 空间中的距离、角与体积.

    6. 球面及其切平面. 设一个平面到球心的距离为 δ\delta，球面的半径为 RR；它截球面得半径为 R2−δ2\sqrt{R^2 - \delta^2} 的圆，条件是 δ<R\delta < R，而若 δ=R\delta = R，它只在垂足处与球面相切；在 TT 处的切平面以 CT⃗\vec{CT} 为法向量。

      使用: 1. 两点间的距离, 25. 到平面的距离. 依据: C (平面几何), G (正交投影). 证明于: 空间中的距离、角与体积.

走向微积分. 这条链终止于初等工具终止的地方。本课程的最终回顾把它放在七个总目标之中；微积分 III 将用曲面的切平面取代平面，用变换的体积因子取代行列式。