代数と幾何 II：学習計画

目的と対象者

このコースは、代数と幾何 I：数・関数・平面幾何に始まる道のりの後半にあたる。コース I は、ペアノの公理から出発して、代数形式の複素数に至るまでの数の体系、多項式の代数、実関数とそのグラフ、ベクトルと円錐曲線を備えた平面の解析幾何、そして指数関数、対数関数、双曲線関数を構成した。コース II はこれらの対象を受け取り、三つの新しい領域へと進める。角を測り、回転を計算に変える三角法。その計算が掛け算になる極形式の複素数。そして、連立一次方程式と変換を整理し、ベクトルとともに、コースの最後に学ぶ空間の解析幾何を支える行列である。

その目的はコース I と同じである。計算の仕方を教えるだけでなく、各計算がどこから来るのかを示すことである。用いる結果はすべて述べて証明するか、その証明が別のコースに属するときは、認めることを明示する。たとえば、代数学の基本定理や弧の長さの性質がそうであり、これらは微分積分学を必要とする。

このコースは、コース I を修了した人、またはほかの方法でその内容を身につけた人を対象とする。すなわち、大学入学の準備をしている学校教育の最終学年の生徒、理学、工学、経済学、数学教育を専攻する大学一年生、そして、かつて決まった手順の寄せ集めとして学んだ数学を厳密に組み立て直したいすべての人である。そうであれば、このコースは、実数の完備性、逆関数とグラフの変換を含む関数の研究、平面の直線、ベクトル、内積、円錐曲線、指数関数と対数、そして代数形式の複素数の計算を既知とする。これらの点のどれかに不安がある人は、始める前に、コース I の該当する単元のまとめの課に戻り、その挑戦課題を解くことができる。

さて、このコースは橋渡しの位置も占める。これは微分積分学 I：微分法の前提となるコースである。そのコースは第 1 単元で証明した不等式 $\sin x < x < \tan x$ から出発して三角関数を微分し、さらに力学の基礎と微分積分学 II：積分法へ通じている。これらのコースでは、円運動、三角関数による置換、極座標での面積がふたたび現れる。

全体的な学習目標

以下の目標は、コースを修了した受講者ができるようになるべきことを述べる。各目標は観察可能な行為として定式化され、具体的な課題で確かめられるようにしてある。各課はそれぞれ固有の目標を掲げる。そして締めくくりの課は、課ごとに、それぞれの課がこの七つの目標のどれに割り当てられたかを示す。目標には、その課で引用できるように番号を付ける。

1. 目標 1. 明示的な演繹的推論によって三角法、複素数と行列の代数、解析幾何の命題を証明する。その際、直接証明、対偶による証明、背理法、帰納法を用い、各証明において導かれたことと認めたことを区別する。
2. 目標 2. 三角法を角と三角形の測定に応用し、三角関数とその逆関数を調べ、恒等式を証明し、三角方程式と三角関数の不等式をその一般解を与えて解き、極座標で曲線を記述する。
3. 目標 3. コースの道具で平面の幾何を学ぶ。直線どうしのなす角を計算し、座標軸の回転によって二次方程式の交差項を消去して、それが定める円錐曲線を分類し、回転、位似変換、対称移動、射影を三角法、複素数、行列によって表す。
4. 目標 4. 極形式と指数形式の複素数を計算し、そのべきと累乗根を求め、その演算を幾何的に解釈し、複素数の体で多項式の方程式を解く。
5. 目標 5. 行列を用いて、ガウス・ジョルダンの消去法、階数、行列式、逆行列によって連立一次方程式を解き、数の体系、多項式、行列、$n$ を法とする剰余類の中に群、環、体の構造を見いだす。
6. 目標 6. 空間の点、ベクトル、直線、平面を座標と方程式で表し、内積、外積、スカラー三重積を計算し、それらを用いて角、距離、面積、体積を求め、直線と平面の位置関係を連立一次方程式によって判定する。
7. 目標 7. 科学、技術、日常生活の状況を、コースの道具によって数学的にモデル化し、問題の立式、計算、証明を、正しい記法、完全な論証、結果の妥当性の検討を伴って文章で伝える。

目標 2 から目標 6 は、おおむねコースの大きな主題に対応する。目標 2 は第 1 単元と第 2 単元に、目標 4 は第 3 単元に、目標 5 は第 4 単元に、目標 6 は第 5 単元に対応し、目標 3 は第 1 単元から第 4 単元を貫く一本の糸、すなわち正弦と余弦で、複素数で、行列で、順に見た平面の幾何をまとめる。これに対して、第一と第七の目標は横断的である。どれか一つの単元に属するのではなく、すべての単元で練習される。したがって、その達成を特定の課に帰することはできず、コース全体を通じて養うのがよい。とはいえ、どちらにも主としてそれに資する課がある。第一の目標には、各単元の演繹の鎖を中心部分で再構成するまとめの課が、第七の目標には、問題の立式そのものが題材である課、すなわち二直線のなす角とその応用の課と、連立一次方程式の課がそれにあたる。

内容

コースは七つの単元からなる。最初と最後の単元は全体の道のりの枠組みをなし、中間の五つの単元が内容を展開する。これらの各単元は導入の課で始まる。導入の課は単元の各課、その考え方の歴史的背景、それらを生んだ問題、その意義を示す。そして単元はまとめの課で閉じる。まとめの課は単元の演繹の鎖を再構成し、それをコースのほかの部分およびコース I と結びつけ、各課の問題よりも難しい十の挑戦課題を出す。

第 0 単元 コースの紹介

この単元はこの課からなり、この課がコースの目的、全体目標、内容、学習量、設計を定める。

第 1 単元 三角関数と極座標

その目標は、単位円の上で三角関数を定義し、そのグラフと逆関数を調べ、三角形を解き、極座標で曲線を記述することである。

1. 三角関数と極座標：導入。
2. 角とその大きさ：度数法と弧度法。
3. 三角比と単位円。
4. 三角関数とそのグラフ。
5. 逆三角関数。
6. 三角形の解法：正弦定理と余弦定理。
7. 極座標と極方程式の曲線。
8. 三角関数と極座標：まとめと挑戦課題。

第 2 単元 解析的三角法

その目標は、恒等式、加法定理、方程式、不等式によって三角関数を代数的な計算に変え、それを直線どうしのなす角と、軸が傾いた円錐曲線に応用することである。

1. 解析的三角法：導入。
2. 三角関数の基本恒等式。
3. 加法定理と二倍角・半角の公式。
4. 和積の公式と三角関数の合成。
5. 三角方程式と三角関数の不等式。
6. 二直線のなす角と三角法の応用。
7. 座標軸の回転と一般の二次方程式。
8. 解析的三角法：まとめと挑戦課題。

第 3 単元 極形式の複素数

その目標は、各複素数を絶対値と偏角で記述し、積を拡大を伴う回転として、べきを角の倍数として、累乗根を正多角形として読めるようにし、それによって多項式の方程式を解くことである。この単元は、コース I の第 2 単元で構成した代数形式の複素数に立ち返る。

1. 極形式の複素数：導入。
2. 複素数の極形式。
3. ド・モアブルの公式と複素数の累乗。
4. 複素数の n 乗根と 1 の累乗根。
5. 複素指数関数とオイラーの公式。
6. 複素数による幾何。
7. 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式。
8. 極形式の複素数：まとめと挑戦課題。

第 4 単元 行列と代数的構造

その目標は、連立一次方程式の係数の表を固有の演算をもつ対象とし、それによって連立方程式を解き、行列を変換として読み、二つのコースの計算に共通するものを群、環、体の概念に凝縮することである。

1. 行列と代数的構造：導入。
2. 行列と行列の演算。
3. 連立一次方程式とガウス・ジョルダンの消去法。
4. 行列式：性質とクラメルの公式。
5. 逆行列。
6. 平面の変換としての行列。
7. 行列としての複素数。
8. 代数的構造：群・環・体。
9. 行列と代数的構造：まとめと挑戦課題。

第 5 単元 空間の解析幾何

その目標は、コース I の第 4 単元で学んだ平面の解析幾何を空間へ拡張することである。すなわち、空間のユークリッド幾何について認めた事実を明示的に列挙したうえで、点とベクトルを三つの座標で記述すること。内積で長さと角を測り、こうして定めた角が初等幾何の角であることを証明すること。三次の行列式から外積とスカラー三重積を導き、それらを面積、体積、同一平面上にある条件として読むこと。直線と平面を方程式で書き、第 4 単元の階数とルーシェ・フロベニウスの定理によってそれらの位置関係を判定すること。そして、距離、角、射影、ねじれの位置にある 2 直線の共通垂線を求め、力学、結晶学、航空航法、衛星測位に応用することである。この単元は球面を学ぶが、ほかの二次曲面（楕円面、放物面、双曲面、二次の錐面と柱面）は学ばない。これらはこのコースでは扱わない。サイトの現在の構成では、その研究は微分積分学 IIIに属する。

1. 空間の解析幾何：導入。
2. 空間のベクトルと内積。
3. 外積とスカラー三重積。
4. 空間の直線と平面。
5. 空間の距離・角・体積。
6. 空間の解析幾何：まとめと挑戦課題。

第 6 単元 コースのまとめ

この単元は代数と幾何 II：最終総括の課からなる。この課は七つの全体目標を振り返り、コースの各課がそのどれに割り当てられたか、各単元がどの個別目標を達成したかを図で示し、まとめテストの最初の解答を目標ごとにまとめる。

学習量と単位

コースの学習量は講義の時間で測るのではない。非同期のコースには講義の時間がないからである。測るのは受講者の作業の総量、すなわち読むこと、証明をたどること、問題を解くこと、復習することである。見積もりは、各課の本文を読む時間、例題一題につき二十分、演習問題一題につき三十五分、挑戦課題一題につき四十五分、導入テストまたはまとめテスト一回につき十二分を数え、復習のために十分の一の余裕を加える。

結果

第 1 単元から第 5 単元までの課は全体で、例題 $145$ 題、演習問題 $145$ 題、挑戦課題 $50$ 題を含む。単元ごとの見積もり学習量は、時間単位に丸めると次のとおりである。

• 第 0 単元、コースの紹介：$1$ 時間。
• 第 1 単元、三角関数と極座標：$46$ 時間。
• 第 2 単元、解析的三角法：$46$ 時間。
• 第 3 単元、極形式の複素数：$46$ 時間。
• 第 4 単元、行列と代数的構造：$54$ 時間。
• 第 5 単元、空間の解析幾何：$36$ 時間。
• 第 6 単元、コースのまとめ：一時間未満。

第 5 単元は課の数では最も短いが、その四つの内容の課はコースの中でも最も長いものに属する。合計はおよそ $230$ 時間の受講者の作業である。この数字は、あるがままに読むべきである。すなわち、すべての証明を学び、すべての問題と挑戦課題を解く受講者についての見積もりである。内容の一部をすでに身につけている人や、挑戦課題に取り組まず演習問題にとどめる人は、かなり少ない時間で済む。この主題を初めて学び、証明する習慣のない人は、より多くの時間を要するかもしれない。

ただし、$230$ 時間という数字は名目上のものである。コースの単位はこの数字で決まり、本文を一定の速さで読むこと、挑戦課題一題に四分の三時間をかけることを前提とする。実際の受講者で測定されるまでは、現実的な幅を添えておくのがよい。各証明を紙と鉛筆で書き直すときのように読む速さが想定の半分になり、挑戦課題一題に四十五分ではなく七十五分かかるとすれば、同じ方法でおよそ $298$ 時間になる。したがって、見込まれる学習量はおよそ $230$ 時間からおよそ $300$ 時間の間にある。上限は慎重な見積もりであって測定値ではない。この幅は、このコースを学ぶ人が実際にかける時間がわかった時点で修正し、それまでは名目上の数字で単位を計算する。

推奨するペース

ペースを呼び分けるため、この計画とコース I の計画は同じ基準を使う。フルタイムとは $60$ 単位の一学年の学習量、すなわちおよそ四十週にわたるおよそ $1650$ 時間、つまり週におよそ $40$ 時間であり、パートタイムはその半分、週におよそ $20$ 時間である。ここから、推奨するペースは十六週の一学期で、週におよそ $14$ 時間の学習となる。これはフルタイムの三分の一を少し上回り、したがってパートタイムに満たない。現実的な幅をとれば、週 $14$ 時間から $19$ 時間で、パートタイムに近づくが達しない。こうして、コース I とコース II は連続する二つの学期を占める。よりゆとりのあるペース、週およそ $7$ 時間なら、コースは二学期にわたる。集中的なペース、週およそ $29$ 時間は、フルタイムの四分の三をやや下回り、八週間でコースを終える。これは、同じ時期にほかの要求の高い科目を一つも履修しない受講者の学習量にあたる。

単位

このサイトの単位は、コースが学ぶ人に求める学習の総量（読むこと、問題、挑戦課題、復習）を測るものであり、授業の時間を測るものではない。一単位はおよそ $27.5$ 時間の学習にあたり、フルタイムの一年は $60$ 単位、すなわちおよそ $1650$ 時間にあたる。これは、前の項でペースを呼び分けるのに用いたのと同じ基準である。

さて、見積もった $230$ 時間を $27.5$ で割ると 8.4 が得られ、これを丸めて $8$ とする。一単位の幅を $25$ 時間から $30$ 時間の学習と認めるなら、このコースの単位数 $C$ は 7.7 と 9.2 のあいだに挟まれる。

したがって、このコースは $8$ 単位であり、フルタイムの一学年の八分の一を少し上回る。コースの一部だけを学びたい人は、単元ごとの時間の一覧を使うことができる。たとえば、第 0 単元から第 4 単元までで合計およそ $193$ 時間、すなわちおよそ $7$ 単位になる。

単位の効用は実際的なものである。単位によって、サイトのコースどうしの負担を比べ、使える時間を超えずに同時にいくつ学ぶのがよいかを決めることができる。たとえば、十六週の一学期をパートタイムで、すなわちおよそ $320$ 時間を使える人は、合計およそ $12$ 単位のコースに取り組むことができる。同じ学期をフルタイムで使えるなら、およそ $23$ 単位である。

これらの単位は、学習を計画するためにこのサイトが独自に用いる尺度であり、いかなる公的な単位制度にも対応せず、いかなる機関による学術的な認定を意味するものでもない。

コースの設計

形態

コースは非同期、オンライン、自分のペースで進めるものである。日程もライブ授業も締め切りもなく、受講者はそれぞれの準備と時間が許す速さで進む。コースはサイトの十四の言語で提供され、どの言語でも数学は同じである。数式と証明の各ステップはどの版でも同一で、訳されるのは本文だけである。各課は、先に学んでおくとよいほかの課を、依拠するコース I の課も含めて示すので、推奨される順序は明示されており、確かめることができる。

一つの課の構成

テーマを扱う課はすべて同じ構成をとる。まず概要と、観察可能な行為として定式化した固有の学習目標の一覧がある。続いて理論があり、定義、正確に述べられた定理とその証明、そして例からなる。証明と例はステップ再生器として示される。各ステップは推論の一行を書き、関わる項を強調し、先の結果に依拠するときはその結果に立ち返って、読んでいる間それを強調する。こうして推論の記憶が目に見える形で残る。多くの例には、ステップごとに変わる図が添えられる。課の最後には、ステップごとの解答付きの例題が五題と、演習問題が五題ある。演習問題にはそれぞれ折りたたまれたヒントがあり、そのあとに最終的な答えが示されるので、受講者は解き方を明かされることなく自分の結果を確かめられる。証明を求める演習問題には、答えのあとに折りたたまれた詳しい解答が加わる。これは自分の解答を書き上げてから開くのがよい。

導入の課とまとめの課には固有の構成がある。導入は単元、その歴史、それを生んだ問題、その意義を示す。まとめは単元の演繹の鎖を、再利用する結果と証明する環とともに図で再構成し、それをそれより前の単元およびコース I と結びつけ、十の挑戦課題を出す。挑戦課題にはそれぞれヒント、最終的な答え、折りたたまれた詳しい解答があり、いくつかの課を組み合わせ、演習問題よりも多くの創意を求める。

音声読み上げ

各課は、端末自身の音声を使うサイトの読み上げ機能で、声に出して聞くことができる。本文は書かれたとおりに読まれ、数式は言葉で発音される。これにより、画面から離れて課を復習したり、ステップ再生器を見ながら聞いて証明をたどったり、視覚に制限があっても学んだりすることができる。

評価

このコースは成績をつけず、証明書も出さない。サイトでの確かめ方は形成的なものである。演習問題によって各課の目標の達成を、挑戦課題によって各単元の目標の達成を確かめることができる。さらに、五つの単元のそれぞれに、導入の課には導入テストが、まとめの課には挑戦課題の前にまとめテストがある。どちらも短い自己診断で、ブラウザの中で採点され、成績はつかない。導入テストは単元についての九問か十問に加えて、単元がそれより前の単元やコース I から既知とすることについての二問から六問からなり、まとめテストは十一問か十二問からなる。どちらも誤りごとに復習すべき課を示し、互いに比較して進歩を示す。最終総括は各まとめテストの最初の解答を全体目標ごとの概観にまとめ、それはテストと同じく受講者のブラウザにだけ保存される。証明書としての効力をもつ技能の認定は、のちに、このサイトの外の別のプラットフォームで行われる。

全体目標については、さらに、受講者が各自で作り出せる次のような達成の証拠を提案する。

• 目標 1：課を参照せずに、余弦定理、ド・モアブルの定理、逆行列の一意性のようなコースの定理の証明を書く。
• 目標 2：自明でない三角関数の恒等式を証明し、三角方程式をその一般解を与えて解く。
• 目標 3：交差項をもつ二次方程式が定める円錐曲線を、座標軸を回転させて分類し、平面の回転を複素数との積として、また行列として表す。
• 目標 4：複素数の $n$ 乗根を計算して平面上に表し、カルダノの公式で三次方程式を解く。
• 目標 5：パラメータを含む連立一次方程式を、階数によって場合分けして解き、与えられた構造が群か、環か、体かを判定する。
• 目標 6：空間の 2 直線の位置関係とその間の距離、および頂点で与えられた四面体の体積を求める。
• 目標 7：モデル化の問題について、立式、展開、答え、妥当性の検討を備えた完全な解答を、ほかの人が追加の説明なしにたどれるように書く。

このコースの学び方

このコースは順に学ぶように作られている。各単元はそれより前の単元とコース I を前提とし、多くの証明が、どちらかのコースの先の課の結果を引用する。課を一つ飛ばすと、遅かれ早かれそこへ戻らなければならなくなる。

各単元には二つの確認点がある。導入テストは導入の課の初めにあり、出発点である。単元を学ぶ前に何も参照せずに答え、誤りが示す課を書き留めておくのがよい。それらがより注意を要する課である。まとめテストはまとめの課で挑戦課題の前にあり、照合である。各課を学び終えたときに、やはり何も参照せずに答え、導入テストと比べて、何が変わったか、どの課を復習するとよいかを見る。どちらも最初の解答が数えられる。比較されるのも、最終総括の概観にまとめられるのもそれである。それ以降の解答は、フィードバックを見たうえで行われる。挑戦課題は確認を完全なものにする。短い問いが触れるだけの内容を、組み合わせて書き表すことを求めるからである。このことから、ある単元をすでに身につけたと考える人も、一度のテストだけでそれを判断すべきではないことが従う。まとめテストの結果が確かで、まとめの課の挑戦課題が解けるなら、その先の単元に進んでよい。そうでなければ、両者が示す課を学び直すのがよい。

各課では、まず概要と目標を読むのがよい。それらは何を目指すかを述べている。そのうえで紙と鉛筆で理論を学び、再生器が書く前に証明の各ステップを予想するようにする。例題は解答を見る前に試み、演習問題は助けを借りずに解き、ヒントは試みが尽きたときにだけ開き、答えは最後に、確かめるためにだけ開く。試みる前に答えを見てしまった問題は、解いたのではなく、読んだのである。

挑戦課題は各課の問題よりも難しく、いくつかは日を改めて何度も試みる必要があるのが普通である。一つの課題にいつまでもとどまるのはよくない。それを書き留め、先へ進み、あとで戻ってくることが、しばしば最短の道である。ただし、見積もった学習量は、すべての課題に真剣に取り組むことを前提としており、コースが教えうることの大部分は、その努力にかかっている。

最後に、書くことを勧める。前提と結論を備えた証明や完全な解答を書くことは、理解したかどうかを知る唯一の方法であり、コースの第七の目標でもある。各単元の定義と定理を自分の言葉で書き直した学習ノートは、コースが残しうる最良の復習教材であり、ここで証明することのほとんどすべてに立ち返る微分積分学 I では、なおさらそうなる。