三角関数と極座標：導入

要約

この課は、コース「代数と幾何 II」とその最初の単元を開く。この単元は三角関数と極座標を扱う。導入テストを用意し、単元の六つの課と、単元がコース I から既知とするものについて、出発点を測る。コース I が確立したことをまとめ、単元の六つの課を学ぶ順に紹介する。その範囲は角の大きさの測り方から、極方程式の曲線と焦点が極にある 2 次曲線までであり、それぞれの課が何を証明し、なぜ重要なのかを説明する。続いて歴史的背景を再構成する。到達できないものを測る必要があり、弧に対する弦を表にしたギリシャの天文学。インドの天文学者が計算の中心に置き、アラビア語訳とラテン語訳を経て「正弦」の名を得た、二倍の弧に対する弦の半分。独立した学問としての三角法と、18 世紀におけるその実変数の関数の研究への変容。三角法を生んだ問題、すなわち角から距離を計算する問題をサモスのアリスタルコスの三角形によって定式化し、最後に、これらの考えがコースの残りの部分、サイトのほかのコース、科学と技術のどこで使われるかを示す。

学習目標

単元の内容を記述し、その各課を、角の大きさの測り方から極方程式の曲線へと至る流れのなかに位置づける。
三角法と極座標の天文学的・測地学的な起源を説明し、弦の表から実変数の関数に至るまでの主な時期を見分ける。
弧に対する弦を半分の弧の正弦によって表し、アリスタルコスの問題を、一つの角から距離の比を計算する問題として立てる。
コース、ほかのコース、科学と技術のなかで、三角関数と極座標が用いられる場所を特定する。

導入テスト

単元に取りかかる前に、採点とは無関係に、出発点を測っておくとよい。最初の十問は単元の六つの内容の課を扱う。コースの残りの部分がもっとも多く依拠する課である逆関数の課と三角形の解法の課にそれぞれ二問、三角関数とそのグラフに二問で、そのうち一問は自分で式を立てる必要がある文脈のなかの問題である。極座標に二問で、そのうち一問は 2 次曲線の極方程式についてのものである。残りの二つの課にはそれぞれ一問である。同じ技能は、最後にまとめの課で改めて測る。最後の六問は、コースがコース I から既知とするものを確かめる。実数の完備性、関数の逆関数、円の接線と内積、楕円の離心率、双曲線余弦を通じた指数関数と対数、代数形式による二つの複素数の商である。そのどれかを誤った人は、始める前にコース I のどの課に戻るべきかがわかり、最初の十問のどれかを誤った人は、単元のどの課で立ち止まるべきかがわかる。

単元の内容

この単元でコース「代数と幾何 II」が始まる。このコースは、コース代数と幾何 I を修了していることを前提とする。そこから五つのことを受け継ぎ、ここでは証明し直さずに用いる。第一は完備な順序体としての実数であり、アルキメデスの性質と有理数の稠密性を伴う。これらによって、すべての角を 1 周目に帰着させ、有理数について証明したことをすべての角に拡張できるようになる。第二は関数の研究、すなわち定義域、値域、合成、全単射の関数の逆関数、グラフの変換であり、符号表と多項式の因数分解を伴う。第三は平面の解析幾何、すなわち距離、直交座標の形と媒介変数の形の直線、内積をもつベクトル、円、焦点と準線をもつ 2 次曲線である。第四は指数関数、対数関数、双曲線関数であり、その双曲線の媒介変数表示は円の媒介変数表示を先取りしている。第五は代数形式の複素数で、平面の点として表される。この単元は、それを絶対値と角で書くための準備をする。

しかし、これらの道具のどれも、非常に古い問いには答えない。角が与えられたとき、その角を含む直角三角形の辺どうしの比はいくらか。この単元はこの問いに答え、その答えから、実変数の六つの関数、それらの逆関数、すべての三角形の解法、平面の点を名指す第二の方法が生まれる。課は以下の順に続く。

角とその大きさの課は、回転をその向きとともに測り、一回転を超えることもある有向角を定義し、単元全体の土台となる弧長に沿った移動の公理を述べ、それによってラジアンでの大きさを単位円の弧の長さとして定義する。弧と扇形の公式、円周角の定理、すべての角の 1 周目への帰着を証明する。この帰着は実数の $2\pi$ による余りのある割り算である。重要なのは、ラジアンがその後のすべての公式を簡単にする大きさの測り方だからである。
三角比と単位円の課は、正弦、余弦、正接をまず直角三角形で定義し、相似によってそれらが三角形のとり方によらないことを証明したうえで、すべての実数に対して単位円上の点の座標として定義する。ピタゴラスの恒等式、主な角の値、対称性を証明する。これは単元の決定的な転換点であり、幾何学的な比を、どんな角に対しても定義された量に変える。
三角関数とそのグラフの課は、正弦、余弦、正接を関数として調べ、その最小周期を証明し、グラフをかき、面積を比べることで不等式 $\sin x < x < \tan x$ を証明する。正弦曲線によって、あらゆる周期現象のモデルを与える。
逆三角関数の課は、移動の公理から余弦と正弦がある区間で狭義単調であることを導き、関数をそこに制限し、逆正弦、逆余弦、逆正接を定義して、一回転の範囲で基本的な三角方程式を解く。既知の比からそれを生む角へという、逆の道をたどることを可能にする。
三角形の解法の課は、二辺とその間の角による面積、正弦定理、余弦定理、ヘロンの公式を証明し、あいまいな場合を論じる。直角三角形の三角法をすべての三角形に広げ、内積によって二つのベクトルのなす角を測る。
極座標と極方程式の曲線の課は、各点を極からの距離と角で名指し、直交座標への変換公式を導き、カージオイド、バラ曲線、渦巻線、蝸牛線をかき、焦点が極にある 2 次曲線の極方程式を求める。複素数の極形式と軌道の記述を準備する。

単元はまとめと挑戦課題の課で終わる。この課は証明したことをまとめ、まとめテストによって、この課の導入テストと比べて何を達成したかを測り、より難しい十の問題を出す。

歴史的背景

三角法は代数の一章としてではなく、天文学の技術として生まれた。天体の位置を予測し、たどることのできない距離を測るために、天文学者は観測される角から計算される長さへ移る必要があった。そして、定規とコンパスで図形を作図することを知っていたギリシャの幾何学は、任意の角が与えられたときに三角形の二辺の比を計算する手段を何も提供していなかった。

弦の表

ギリシャの天文学はバビロニアの天文学から、円周を $360$ 度に分けることと六十進法による計算を受け継いだ。紀元前 3 世紀ごろ、サモスのアリスタルコスは幾何学的な議論によって太陽と月までの距離の比を見積もり、エラトステネスは一つの角から地球の周の長さを測った。これは角とその大きさの課で見ることになる。紀元前 2 世紀のニカイアのヒッパルコスに、最初の弦の表が帰せられている。各中心角について、一定の半径の円でそれに対する弦の長さを与える表である。現存するのはクラウディオス・プトレマイオスの表で、彼は紀元 2 世紀に『アルマゲスト』において、半径 $60$ の円で半度ごとの弧に対する弦を与えた。アレクサンドリアのメネラオスは、それより前の 100 年ごろ、計算を天球上にかかれた三角形に広げていた。

弦と正弦は、同じ情報を二通りに書いたものである。以下の命題はそれを精密にし、弦から正弦への移行が単なる名前の変更以上のものであった理由を示す。正弦は二倍の弧に対する弦の半分であり、直角三角形の直角をはさむ辺である。

命題弦と正弦

半径 $1$ 、中心 $O$ の円において、 $C(\theta)$ を弦の長さとする。この弦は弧の両端 $A$ と $B$ を結び、弧の中心角は $\theta$ （ただし $0 < \theta < \pi$ ）である。このとき $C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ である。

証明

$C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1$
弦は角 $\theta$ の対辺であり、その三角形の頂点は $O$ 、 $A$ 、 $B$ で、残りの二辺は半径である。
$\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}$
三角形は二等辺三角形である。 $O$ から弦に下ろした垂線は弦をその中点 $M$ で切り、中心角を二つの等しい角に分ける。頂点が $O$ 、 $M$ 、 $A$ の三角形と $O$ 、 $M$ 、 $B$ の三角形は $M$ で直角であり、元の三角形が二等辺なので $A$ と $B$ における角が等しく、辺 $OM$ を共有するからである。二角相等の相似条件により、二つの三角形は相似比 $1$ で相似である。
$\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}$
頂点が $O$ 、 $M$ 、 $B$ の直角三角形で、斜辺の長さは $1$ であり、角 $\frac{\theta}{2}$ の対辺は弦の半分である。正弦の定義により、この辺は $\sin \frac{\theta}{2}$ である。
$\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}$
$\theta = 2\alpha$ として逆に読むと、この等式は、角の正弦がその二倍の角に対する弦の半分であることを述べている。プトレマイオスの半径 $60$ の円では、すべての長さが $60$ 倍される。

半分の弧から正弦へ

インドの天文学者たちは、500 年ごろのアーリヤバタのように、二倍の弧に対する弦の半分を直接表にし、それを jya と呼んだ。こうして弦の代わりに直角三角形の直角をはさむ辺を計算の中心に置いた。この語は jiba としてアラビア語に入り、母音を書かない表記のなかで、衣服の「ひだ」または「ふところ」を意味する jaib と混同され、12 世紀のラテン語の翻訳者たちはそれを sinus と訳した。今日の名前はここに由来する。9 世紀から 11 世紀にかけてのイスラーム世界の天文学者たちは、そのなかにバッターニーやアブル・ワファーがいるが、日時計の影の研究から生まれた正接と余接の表を加えた。13 世紀には、ナスィールッディーン・トゥースィーが三角法を天文学から独立した学問として述べた。

学問としての三角法

ヨーロッパでは、レギオモンタヌスが 1464 年ごろにあらゆる種類の三角形についての論考を書き、それは 1533 年に印刷されて、平面三角形と球面三角形の解法をまとめた。trigonometria（「三角形の計測」）という語は、1595 年のバルトロメウス・ピティスクスの著作の題名に現れる。余弦定理にはより長い歴史がある。ユークリッドは『原論』第二巻で、すでに鋭角三角形と鈍角三角形についてピタゴラスの定理を、一つの辺と他の辺のその上への射影とでつくる長方形の二倍によって修正していた。これは今日、符号を除いて $2bc \cos A$ と書かれる。15 世紀にはカーシーがそれに計算に適した形を与えた。一方、ヘロンの公式は、1 世紀のアレクサンドリアのヘロンの『測量術』に見られる。

比から関数へ

何世紀もの間、角の正弦は、表によって六十とも数百万ともされた、取り決めた半径の円における長さであった。17 世紀の無限小解析は、半径を $1$ とし、角をその弧の長さで測れば公式が簡単になることを示した。レオンハルト・オイラーは 1748 年の Introductio in analysin infinitorum で、正弦と余弦を単位円の上で定義された実変数の関数として扱った。これがこの単元の立場である。対応する測定の単位を表す ラジアン という名前は、19 世紀後半につくられた。19 世紀の初めには、ジョゼフ・フーリエが 1822 年に発表した熱の解析的理論で、非常に一般的な周期関数が正弦と余弦の和として書けると主張し、三角関数はあらゆる周期現象の言語となった。

極座標

点を中心からの距離と角で記述するという考えは天文学と同じくらい古く、紀元前 3 世紀にアルキメデスは自分の渦巻線をまさにそのように定義した。点が一定の速さで中心から遠ざかり、同時にその点をのせた半直線が一定の速さで回転するのである。しかし座標系として現れるのは 17 世紀である。ボナヴェントゥーラ・カヴァリエリとグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは渦巻線の研究にそれを用い、アイザック・ニュートンは曲線を記述するための座標系の一つにそれを含め、ヤコブ・ベルヌーイはその世紀の終わりの研究でそれを用いた。オイラーは 18 世紀にそれを体系化した。その間に、ヨハネス・ケプラーは 1609 年に、火星の軌道が太陽をその焦点の一つとする楕円であることを発表しており、この単元を締めくくる、焦点が極にある 2 次曲線の極方程式は、この法則の自然な形である。

それらを生んだ問題

これらすべての発展に共通する問題は、以下のように述べることができる。図形のいくつかの角といくつかの長さがわかっているとき、残りを計算せよ。そのもっとも単純な形は直角三角形である。相似により、二辺の比は鋭角 $\alpha$ だけによって決まり、したがって $\alpha$ の関数である。しかしこの関数は代数的ではなく、 $\alpha$ から和、積、根号によって得られるものではないので、表にする必要があった。以下の例は、太陽系を測ろうとした知られている最初の試みであり、この問題を純粋な形で示している。

例アリスタルコスの三角形

月がちょうど半月に見えるとき、円板の照らされた半分は真横から見え、太陽、月、地球は月で直角となる三角形をつくる。アリスタルコスは地球から月の方向と太陽の方向のなす角 $\alpha$ を測り、 $87^\circ$ を得た。 $T$ 、 $L$ 、 $S$ をそれぞれ地球、月、太陽とする。

証明

${\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2$
頂点が $T$ 、 $L$ 、 $S$ の三角形は $L$ で直角である。地球から太陽までの距離が斜辺である。
$\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}$
角 $\alpha$ の隣辺は月までの距離である。余弦の定義により、太陽までの距離と月までの距離の比は $\alpha$ だけによって決まる。
$\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20$
余弦の表をもたなかったアリスタルコスは、幾何学的な議論によってこの比を上下から押さえ、太陽は月より $18$ 倍から $20$ 倍遠いと結論した。角 $87^\circ$ の正割はおよそ 19.1 であり、彼の見積もりの範囲内にある。
$\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty$
方法は正しかったが、データは正しくなかった。本当の角は直角と一度の六分の一未満しか違わず、本当の比はおよそ $390$ である。 $\alpha$ が直角に近づくと、太陽は月を通る直線に沿って限りなく遠ざかり、角のわずかな誤差が距離の巨大な誤差を生む。

皆既日食が示すように太陽と月の見かけの大きさはほとんど同じなので、アリスタルコスの推論は両者の直径の比も与え、それとともに太陽は地球よりはるかに大きいという結論も与えた。この例は単元全体を萌芽として含んでいる。角に依存する辺の比、その依存関係を正確に知る必要、そしてある関数が角の孤立した値の近くで限りなく大きくなるという観察である。これは三角関数とそのグラフの課で調べる正割の鉛直漸近線である。

同じ問題はさらに二つの形で現れ、そこから単元の残りの課が生まれる。第一は逆の形である。比がわかっていて角を求める。道の勾配を測ってその傾きの角を知りたいときのようにである。これに答えるには単射でない関数の逆をとる必要があり、それが逆三角関数の仕事である。第二は回転するものを記述することである。太陽のまわりの惑星、車輪、繰り返す波。そのためには、点を二つの軸からの距離ではなく、中心からの距離と方向によって名指し、周期的な運動を繰り返す関数で表すのがよい。こうして極座標と正弦曲線が生まれる。

意義

このコースの残りの部分では、三角関数の基本恒等式の課から始まる第 2 単元が、和の正弦と余弦の公式を証明し、三角方程式を一般に解き、座標軸の回転によって、二変数の二次方程式をすべて分類する。極形式の複素数を扱う第 3 単元は、複素数の極形式の課のように、すべての複素数をその絶対値と角で書き、累乗と累乗根を絶対値の掛け算と角の足し算に帰着させる。第 4 単元は、平面の変換としての行列の課で、成分が正弦と余弦である行列によって平面の回転を表す。そして空間の解析幾何を扱う第 5 単元は、空間のベクトルと内積の課で、空間の二つのベクトルのなす角をその余弦によって測り、それを用いて直線や平面の間の角を計算する。

サイトのほかのコースでは、不等式 $\sin x < x < \tan x$ がコース微分積分学 I で正弦の導関数を計算する出発点となり、弧の長さ、極方程式の曲線で囲まれた面積、三角関数による置換積分はコース微分積分学 II で学ぶ。コース力学の基礎は、正弦と余弦によって力と速度を成分に分解し、角速度と線速度の関係によって円運動を調べる。コース C++ プログラミング I では、言語の数学ライブラリが正弦、余弦、逆正接のほかに、点の偏角を $-\pi$ と $\pi$ の間で返す二引数の関数を提供しており、そこにはこの単元で証明するのと同じ、象限に応じた補正が組み込まれている。

数学の外では、三角法は、三角測量によって土地を測る地形測量、航海術、測地学の道具である。極座標は、レーダーや、距離と方位によって物体の位置を定めるシステムの座標である。正弦曲線は音響学、交流電気、電気通信、信号と画像の処理の言語であり、これらはフーリエの考えに従って、あらゆる信号を単純な振動に分解する。