सीमाएँ और सांतत्य: परिचय

प्रवेश मूल्यांकन

इकाई शुरू करने से पहले आरंभ-बिंदु को माप लेना उपयोगी है। इस स्व-मूल्यांकन पर अंक नहीं दिए जाते: यह जानने के लिए है कि कहाँ रुकना उचित है। पहले दस प्रश्न क्रम से इकाई के दस विषय-वस्तु वाले पाठों को छूते हैं, प्रत्येक पाठ पर एक, और याद रखे जाने वाले किसी कथन को नहीं, बल्कि गणना या विचार करने के किसी कौशल को मापते हैं; यही कौशल अंत में, सारांश वाले पाठ में, दूसरे आँकड़ों के साथ फिर से मापे जाते हैं। अंतिम छह प्रश्न उसकी जाँच करते हैं जिसे यह इकाई बीजगणित और ज्यामिति I और II से ज्ञात मानती है: निरपेक्ष मान, सुप्रीमम, फलनों का संघटन, चिह्न सारणियाँ, ज्या, चाप और स्पर्शज्या के बीच की असमिका, और चरघातांकी की आधारभूत असमिका।

इकाई की विषय-वस्तु

बीजगणित और ज्यामिति I में, परिमेय फलनों वाले पाठ ने ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों और अनंत पर अनंतस्पर्शियों, उन फलनों के सांतत्य और मध्यवर्ती मान प्रमेय का उपयोग स्वीकृत तथ्यों के रूप में, बिना उपपत्ति के, किया, क्योंकि उनके लिए सीमा की ऐसी परिभाषा चाहिए थी जो तब तक उपलब्ध नहीं थी; और बीजगणित और ज्यामिति II ने इसी प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों और उनके प्रतिलोमों का सांतत्य स्वीकार किया। यह इकाई वह परिभाषा देती है और स्वीकृत तथ्यों को एक-एक करके सिद्ध करती है, मध्यवर्ती मान प्रमेय को छोड़कर, जो आगामी इकाई में सिद्ध की जाएगी। उपपत्तियाँ इस तरह क्रमबद्ध हैं कि उनका पुनः उपयोग हो सके: कुछ ही एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा की जाती हैं, और शेष युक्ति दोहराने के बजाय पहले के परिणामों का हवाला देती हैं। पाठ इस क्रम में आते हैं:

1. फलन की सीमा वाला पाठ निकट आने के विचार को एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा परिभाषा में बदलता है, संचय बिंदुओं द्वारा स्पष्ट करता है कि उसका अर्थ कहाँ है, परिभाषा और उसके निषेध को परिमाणकों वाले कथनों के रूप में लिखता है, और सिद्ध करता है कि सीमा अद्वितीय है, कि वह केवल निकट के मानों पर निर्भर करती है, और कि वह फलन को बिंदु के निकट परिबद्ध रहने और अपना चिह्न बनाए रखने के लिए बाध्य करती है।
2. सीमाओं का बीजगणित वाला पाठ गणना के नियमों को एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा सिद्ध तीन प्रमेयिकाओं तक सीमित करता है, जिनमें मुख्य परिबंध कसौटी है, और उनसे, एक ऐसी प्रमेयिका की सहायता से जिसके अनुसार प्रांत को प्रतिबंधित करने से सीमा नहीं खोती, योग, गुणनफल, व्युत्क्रम और भागफल की सीमाएँ, बहुपदों, परिमेय फलनों, मूलों और परिमेय घातांक वाली घातों की सीमाएँ, और संघटन की सीमा की प्रमेय निकालता है, जो चर परिवर्तन का औचित्य देती है।
3. सैंडविच प्रमेय वाला पाठ परिबंध कसौटी द्वारा सिद्ध करता है कि सीमाएँ अदृढ़ असमिकाओं को बनाए रखती हैं, फिर स्वयं प्रमेय, और एक परिबद्ध फलन तथा शून्य की ओर अग्रसर एक अन्य फलन के गुणनफल की सीमा; इनसे वह ज्या और कोज्या की सीमाएँ तथा आधारभूत त्रिकोणमितीय सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ प्राप्त करता है, जिससे शेष त्रिकोणमितीय सीमाएँ निकलती हैं।
4. एकपक्षीय सीमाएँ वाला पाठ उन्हें एक प्रतिबंध की सीमाओं के रूप में परिभाषित करता है, जिससे वे पहले की सभी प्रमेयों को विरासत में पाती हैं; पाठ सिद्ध करता है कि सीमा तभी और केवल तभी विद्यमान है जब दोनों एकपक्षीय सीमाएँ विद्यमान हों और बराबर हों, और कि एकदिष्ट और परिबद्ध फलन की एकपक्षीय सीमा उसके मानों के सुप्रीमम या इन्फिमम के बराबर होती है; यह पहली प्रमेय है जो किसी सीमा का मान जाने बिना उसके अस्तित्व की गारंटी देती है।
5. चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ वाला पाठ उस सीमा को परिभाषित करता है जब चर असीम रूप से बढ़ता है, और प्रतिलोमन प्रमेयिका द्वारा सिद्ध करता है कि यह $0$ पर एक एकपक्षीय सीमा के तुल्य है, जिससे पहले की सभी प्रमेयें अनंत पर भी लागू होती हैं; उनसे वह घातों और परिमेय फलनों की सीमाएँ ज्ञात करता है।
6. अनंत सीमाएँ वाला पाठ व्युत्क्रम प्रमेयिका द्वारा उन्हें शून्य के बराबर सीमाओं में बदल देता है; इससे और तुलना से योग, गुणनफल और भागफल के नियम निकलते हैं, और पाठ दिखाता है कि अनिर्धार्य रूप कोई भी परिणाम दे सकते हैं, तथा अपरिबद्ध एकदिष्ट फलनों की प्रमेय और अनंत सीमाओं के साथ संघटन की प्रमेय सिद्ध करता है।
7. अनंतस्पर्शी रेखाएँ वाला पाठ उन्हें एकपक्षीय सीमाओं, अनंत पर सीमाओं और अनंत सीमाओं द्वारा परिभाषित करता है; पाठ तिर्यक अनंतस्पर्शी की प्रवणता और मूलबिंदु पर कोटि के सूत्र, प्रत्येक छोर पर अनूर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की अद्वितीयता, और बीजगणित और ज्यामिति में परिमेय फलनों के बारे में स्वीकृत तथ्य सिद्ध करता है, और अवकलजों के बिना फलनों का आलेख बनाने की एक विधि प्रस्तावित करता है।
8. सांतत्य वाला पाठ उसे सदा की चुनौती और प्रत्युत्तर द्वारा, बिंदु को बाहर किए बिना, परिभाषित करता है; पाठ सिद्ध करता है कि संचय बिंदु पर यह इसके तुल्य है कि सीमा विद्यमान हो और मान के बराबर हो, असांतत्यों को हटाने योग्य, कूद और अनिवार्य में वर्गीकृत करता है, सीमाओं के बीजगणित से संक्रियाओं का सांतत्य विरासत में पाता है, और सिद्ध करता है कि संतत फलनों का संघटन संतत है, जिससे सीमा संतत फलन के भीतर जाती है।
9. प्रारंभिक फलनों वाला पाठ एक ही युक्ति से दिखाता है कि वे संतत हैं: एक एकदिष्ट फलन जिसकी छवि एक अंतराल है, कूद नहीं सकता; इस सांतत्य और चरघातांकी की आधारभूत असमिका से, पाठ चरघातांकी और लघुगणक की महत्वपूर्ण सीमाएँ सिद्ध करता है, संख्या $e$ को सीमा के रूप में प्राप्त करता है, $1^\infty$ रूप को हल करता है और अनंत पर चरघातांकी, घातों और लघुगणक की तुलना करता है।
10. तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन वाला पाठ उनकी तुलना छोटे $\operatorname{o}$, बड़े $\operatorname{O}$, समान कोटि और तुल्यता द्वारा करता है; पाठ सिद्ध करता है कि गुणनफल या भागफल में प्रत्येक गुणनखंड को उसके तुल्य किसी अन्य से बदला जा सकता है, पर योग में नहीं, सिवाय तब जब योग के पदों के तुल्यों का चिह्न समान हो, और पहले के पाठों की सीमाओं को शून्य पर तुल्यों की एक सारणी में एकत्र करता है।

इकाई सारांश और चुनौतियों वाले पाठ के साथ समाप्त होती है, जो प्राप्त उपलब्धियों को एक निगमनात्मक शृंखला में जोड़ता है, अपने समापन मूल्यांकन में प्रवेश मूल्यांकन के कौशलों को दोहराता है, और अधिक कठिनाई वाले दस प्रश्न प्रस्तुत करता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

इकाई का तार्किक क्रम भी ऐतिहासिक क्रम से मेल नहीं खाता। एक शताब्दी से अधिक समय तक कलन का सफलतापूर्वक उपयोग सीमा की परिभाषा के बिना हुआ; सांतत्य को सीमा के वर्तमान रूप से पहले कठोरता से परिभाषित किया गया, और एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा परिभाषा इस प्रक्रिया के अंत में आई, जब कलन उन समस्याओं को पहले ही हल कर चुका था जिनके लिए उसका जन्म हुआ था। इस इतिहास से गुज़रना उचित है, क्योंकि जिन आपत्तियों पर उसे विजय पानी पड़ी, वे वही हैं जो विद्यार्थियों द्वारा प्रायः उठाई जाती हैं।

यूनानियों का अनंत

एलिया के ज़ेनो ने, जो लगभग 490 और 425 ईसा पूर्व के बीच हुए, गति की संभावना के विरुद्ध युक्तियाँ प्रस्तुत कीं, जो मुख्यतः अरस्तू की भौतिकी से ज्ञात हैं। द्विभाजन की युक्ति कहती है कि किसी मार्ग को तय करने के लिए पहले उसके मध्य तक पहुँचना होगा, उससे पहले आधे के आधे तक, और इसी प्रकार बिना अंत के, जिससे गति आरंभ ही नहीं हो सकती। यह विरोधाभास, उसे हल किए बिना, यह प्रश्न उठाता है कि क्या अनंत परिमाणों का योग एक परिमित परिमाण हो सकता है, जैसे $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$।

यूनानी गणितज्ञों ने निःशेषण विधि द्वारा इस प्रश्न को टाल दिया, जिसे लगभग 370 ईसा पूर्व में कनिडस के यूडोक्सस ने कठोर रूप दिया: यह सिद्ध करने के लिए कि कोई क्षेत्रफल एक निश्चित राशि के बराबर है, आकृति में ऐसे बहुभुज अंतर्निहित किए जाते हैं जिनका उससे अंतर किसी भी दी गई राशि से छोटा किया जा सके, और विरोधोक्ति द्वारा सिद्ध किया जाता है कि क्षेत्रफल उस राशि से न अधिक हो सकता है न कम। लगभग 225 ईसा पूर्व में आर्किमिडीज़ ने इसी प्रकार सिद्ध किया कि परवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल समान आधार और समान शीर्ष वाले अंतर्निहित त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{4}{3}$ है, प्रत्येक चरण में जोड़े जाने वाले त्रिभुजों को जोड़कर, जिनके क्षेत्रफल श्रेणी $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ बनाते हैं। युक्ति का ढाँचा, अर्थात् एक ऐसी राशि जिसे किसी भी दी गई राशि से छोटा किया जा सके, पहले से ही चुनौती और प्रत्युत्तर का ढाँचा है।

न्यूटन और लाइबनिज़ की अतिसूक्ष्म राशियाँ

सत्रहवीं शताब्दी में स्पर्श रेखाओं की समस्या और क्षेत्रफलों की समस्या को एक व्यापक विधि मिली। आइज़क न्यूटन ने अक्टूबर 1666 में फ़्लक्शनों पर एक प्रबंध लिखा, जिसे उन्होंने प्रकाशित नहीं किया, और 1671 में अपनी फ़्लक्शन और अनंत श्रेणियों की विधि, जो केवल 1736 में प्रकाशित हुई। गॉटफ्रीड विल्हेल्म लाइबनिज़ ने 29 अक्टूबर 1675 की एक पांडुलिपि में समाकल का चिह्न प्रस्तुत किया, और 21 नवंबर को पहली बार चिह्न और अवकल के साथ एक समाकल लिखा; उन्होंने अपना अवकल कलन 1684 में लाइपज़िग की पत्रिका Acta Eruditorum में Nova methodus pro maximis et minimis शीर्षक से प्रकाशित किया, और अपना समाकलन कलन उसी पत्रिका में 1686 में। दोनों ऐसी वृद्धियों के साथ गणना करते थे जिन्हें उनसे भाग दे सकने के लिए शून्य से अलग माना जाता था और अंत में उन्हें छोड़ देने के लिए शून्य।

1734 में जॉर्ज बर्कली ने विश्लेषक प्रकाशित की, जो न्यूटन के कलन की नींव की आलोचना थी। उन्होंने कहा कि लुप्त होती वृद्धियाँ न परिमित राशियाँ थीं, न अनंततः छोटी राशियाँ, न ही “कुछ नहीं”, कि कलन विचार के बीच में ही परिकल्पना बदल देता था, और पूछा कि क्या उन्हें दिवंगत राशियों के प्रेत नहीं कहा जा सकता। परिणाम सही थे; बर्कली ने यह दिखाया कि उन्हें उचित ठहराने वाली विचार-प्रक्रिया सही नहीं थी। आगे का उदाहरण उस गणना को दोहराता है जिसकी वे आलोचना करते थे और दिखाता है कि सीमा की परिभाषा उसका समाधान कैसे करती है।

आधार के रूप में सीमा

उदाहरण ने जो रास्ता दिखाया, वह एक शताब्दी में धीरे-धीरे खुला। ज्याँ ल रों दालाँबेर ने विश्वकोश के चौथे भाग में 1754 में लिखे गए लेख “अवकल” में प्रस्ताव किया कि कलन को सीमाओं के सिद्धांत पर आधारित किया जाए, और अवकलज को वृद्धियों के अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित किया। 1817 में बर्नार्ड बोलत्सानो ने मध्यवर्ती मान प्रमेय की एक शुद्ध रूप से वैश्लेषिक उपपत्ति प्रकाशित की, कलन को अतिसूक्ष्म राशि की अवधारणा से मुक्त करने के घोषित उद्देश्य के साथ, और उसमें सांतत्य की एक ऐसी अवधारणा का उपयोग किया जो वर्तमान अवधारणा के बहुत निकट है; उनका कार्य उनके जीवनकाल में कम ज्ञात रहा। 1821 में ऑगस्टिन-लुई कॉशी ने पेरिस पॉलिटेक्निक स्कूल के विद्यार्थियों के लिए लिखा अपना विश्लेषण पाठ्यक्रम प्रकाशित किया, जिसने सीमाओं को कलन के आधार में रखा और संतत फलन को ऐसे फलन के रूप में परिभाषित किया जिसमें चर की अनंततः छोटी वृद्धि फलन की अनंततः छोटी वृद्धि उत्पन्न करती है।

उसी समय फलन की अवधारणा बदल रही थी। 1748 में ऑयलर के लिए फलन एक वैश्लेषिक व्यंजक था; पेटर गुस्ताफ़ लेज्यून डिरिक्ले ने 1837 में एक कहीं अधिक व्यापक अवधारणा स्वीकार की, जिसमें मान किसी भी प्रकार एक-दूसरे के बाद आ सकते हैं, और उन्हीं की देन उस फलन का उदाहरण है जो परिमेय संख्याओं पर $0$ और अपरिमेय संख्याओं पर $1$ के बराबर है और सभी बिंदुओं पर असंतत है। इतने व्यापक फलनों के साथ ज्यामितीय अंतर्ज्ञान विश्वसनीय मार्गदर्शक नहीं रहा, और परिभाषाओं को केवल संख्याओं और असमिकाओं की बात करनी थी।

वायरस्ट्रास की परिभाषा

कार्ल वायरस्ट्रास ने, जो 1856 से बर्लिन विश्वविद्यालय में प्रोफ़ेसर थे, 1859 और 1860 के विश्लेषण के अपने परिचयात्मक पाठ्यक्रम में पहली बार विश्लेषण की नींव पर काम किया। उनके व्याख्यानों में, जो मुख्यतः उनके विद्यार्थियों के नोट्स से ज्ञात हैं, सीमा और सांतत्य की परिभाषा एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा लिखी गई, उसी रूप में जिसका यह पाठ्यक्रम उपयोग करता है: बिना गति के, बिना अतिसूक्ष्म राशियों के, वास्तविक संख्याओं के बारे में परिमाणकों वाले कथन के रूप में। 1872 में, उसी वर्ष जब रिचर्ड डेडेकिंड और गेओर्ग कैंटर ने वास्तविक संख्याओं की अपनी रचनाएँ प्रकाशित कीं, जो पूर्णता को सिद्ध करती हैं, वायरस्ट्रास ने बर्लिन विज्ञान अकादमी के समक्ष एक ऐसा संतत फलन प्रस्तुत किया जिसका किसी भी बिंदु पर अवकलज नहीं है, इस बात का प्रमाण कि संतत वक्र का अंतर्ज्ञान उसके बारे में विचार करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

इकाई का अंतिम पाठ जिस संकेतन से फलनों की तुलना करता है, वह बाद का है। पाउल बाख़मान ने 1894 में, अपने संख्या सिद्धांत के ग्रंथ के दूसरे भाग Die analytische Zahlentheorie में, प्रतीक $\operatorname{O}$ प्रस्तुत किया, और एडमंड लांडाउ ने, जिन्होंने उसे अपनाया, 1909 में अभाज्य संख्याओं के वितरण पर अपने ग्रंथ में प्रतीक $\operatorname{o}$ प्रस्तुत किया।

वह समस्या जिससे अवधारणा का जन्म हुआ

तीन प्राचीन समस्याएँ कलन तक ले गईं, और तीनों की संरचना एक ही है। किसी गतिमान वस्तु का किसी क्षण पर वेग तय की गई दूरी और लगे समय का भागफल होना चाहिए, जब लगा समय शून्य हो; किसी वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता ऐसी छेदक रेखा की प्रवणता होनी चाहिए जिसके दोनों बिंदु संपाती हों; किसी वक्र-आकृति का क्षेत्रफल शून्य चौड़ाई वाले अनंत आयतों का योग होना चाहिए। तीनों स्थितियों में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन $\frac{0}{0}$ या कोई अर्थहीन योग देता है, और सही परिणाम वह है जिसकी ओर सन्निकटन बढ़ते हैं। पहली दो समस्याएँ अवकलज तक ले जाती हैं, जो आगामी इकाई का विषय है; तीसरी समाकल तक, जिसका अध्ययन कलन II में होता है।

फिर भी, “जिसकी ओर वे बढ़ते हैं” अभी परिभाषा नहीं है, और इसके तीन कारण हैं। पहला यह कि निकट आना पर्याप्त नहीं है: एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाला पाठ दिखाता है कि $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ के मान $3$ के निकट आते जाते हैं जब $x$, $0.9$ से $0.99$ तक जाता है, यद्यपि सीमा $2$ है। दूसरा यह कि सारणी परिमित संख्या में बिंदुओं की जाँच करती है: वही पाठ दिखाता है कि $\sin\frac{\pi}{x}$ का मान $0$ है, $\frac{1}{n}$ रूप के सभी बिंदुओं पर, और फिर भी $0$ पर उसकी कोई सीमा नहीं है। तीसरा यह कि सारणी के मान ग़लत परिकलित हो सकते हैं, जैसा कि आगे का उदाहरण दिखाता है।

सीमा की परिभाषा तीनों आपत्तियों का समाधान करती है: यह सभी निकटवर्ती बिंदुओं की एक साथ बात करती है, संख्याओं द्वारा तय करती है कि “जितना चाहें उतना निकट” का क्या अर्थ है, और असमिकाओं से सिद्ध होती है, सन्निकट गणनाओं से नहीं। परंतु समस्या का एक और पक्ष है, जो गणना का नहीं बल्कि अस्तित्व का है। इकाई की अनेक सीमाएँ उनका मान जानने या अनुमान लगाने के बाद सिद्ध की जाती हैं; दूसरी ओर, कुछ सीमाएँ विद्यमान होती हैं पर उनकी गणना करना ज्ञात नहीं होता, और उनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं की पूर्णता पर टिका है। एकपक्षीय सीमाएँ वाले पाठ की एकदिष्ट फलनों वाली प्रमेय सीमा को सुप्रीमम के रूप में देती है, और चरघातांकी, लघुगणक तथा अन्य प्रारंभिक फलनों का सांतत्य उसी पर निर्भर करता है। सीमा और सांतत्य वाला पाठ सिद्ध करता है कि किसी बिंदु पर संतत और धनात्मक फलन अपने प्रांत के उस बिंदु के निकटवर्ती बिंदुओं पर भी धनात्मक होता है, और चिह्न का यह संरक्षण, पूर्णता के साथ मिलकर, आगामी इकाई में मध्यवर्ती मान प्रमेय देगा। पूर्णता के बिना इनमें से कुछ भी सत्य नहीं होता: फलन $x^2 - 2$, केवल परिमेय संख्याओं पर विचार करने पर, कभी शून्य हुए बिना ऋणात्मक मानों से धनात्मक मानों तक पहुँच जाता है।

सीमाओं और सांतत्य का महत्त्व

पाठ्यक्रम के शेष भाग में

पूरा पाठ्यक्रम इसी इकाई पर टिका है। आगामी इकाई, जो अवकलजों के बारे में है, अपने पहले पाठ में फलन की सीमा के रूप में अवकलज को परिभाषित करती है, जो बर्कली के उदाहरण का अंतर-भागफल है, और सीमाओं के बीजगणित से अवकलन के नियम प्राप्त करती है; ज्या, चरघातांकी और लघुगणक के अवकलज, प्रारंभिक फलनों के अवकलज वाले पाठ में, इस इकाई की महत्वपूर्ण सीमाएँ ही हैं; शृंखला नियम संतत फलनों के संघटन पर टिका है; मध्यवर्ती मान प्रमेय चिह्न के संरक्षण और पूर्णता से सिद्ध होती है, और द्विभाजन विधि का औचित्य देती है; और प्रतिलोम फलन का अवकलज, प्रतिलोम फलन के अवकलज और अस्पष्ट अवकलन वाले पाठ में, प्रतिलोम के सांतत्य की माँग करता है। तीसरी इकाई, जो अवकलजों के अनुप्रयोगों के बारे में है, वायरस्ट्रास की प्रमेय से आरंभ होती है, जिसके अनुसार एक संवृत और परिबद्ध अंतराल पर संतत फलन अपना अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है, और उस पर रोल प्रमेय और माध्यमान प्रमेय, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की खोज और इष्टतमीकरण की समस्याएँ टिकी हैं। लोपिताल नियम उन अनिर्धार्य रूपों को हल करता है जिन्हें यह इकाई केवल पहचानना जानती है, और न्यूटन-रैफ़सन विधि, जो पाठ्यक्रम का समापन करती है, अपने अभिसरण को ऊपर की ओर अवतलता और सुप्रीमम द्वारा सिद्ध करती है।

अन्य पाठ्यक्रमों में

कलन II में समाकल को आयतों के क्षेत्रफलों के योगों की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो आर्किमिडीज़ की समस्या है; अनुक्रमों और श्रेणियों का, जिनका यह पाठ्यक्रम अध्ययन नहीं करता, इसी प्रकार की परिभाषाओं से विवेचन होता है, और टेलर बहुपद अपनी त्रुटि को इकाई के अंतिम पाठ के बड़े $\operatorname{O}$ से मापता है। कलन III में एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा परिभाषा अनेक चरों वाले फलनों तक पहुँचती है, निरपेक्ष मान के स्थान पर समतल की दूरी के साथ, और सीमा उस पथ पर निर्भर कर सकती है जिससे बिंदु तक पहुँचा जाता है। यांत्रिकी के मूल सिद्धांत में तात्क्षणिक वेग और त्वरण वृद्धियों के अनुपातों की सीमाएँ हैं। वित्तीय गणित में सतत चक्रवृद्धि $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ की सीमा है जब $x$ अनंत की ओर अग्रसर होता है, जो महत्वपूर्ण सीमाओं वाले पाठ के अनुसार $e^{r}$ के बराबर है। R के साथ डेटा विश्लेषण में वृद्धि के मॉडल अनंत पर अपने व्यवहार से पहचाने जाते हैं, और यही व्यवहार चरघातांकी, घातों और लघुगणक की तुलना स्पष्ट करती है। C++ में प्रोग्रामिंग I में द्विभाजन मध्यवर्ती मान प्रमेय पर भरोसा करके एक मूल का सन्निकटन करता है, किसी एल्गोरिथ्म की लागत बाख़मान और लांडाउ के $\operatorname{O}$ संकेतन से मापी जाती है, और फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याएँ सटीक सीमा को परिकलित मान से अलग करने के लिए बाध्य करती हैं, जैसे भ्रामक सारणी में।

विज्ञान और प्रौद्योगिकी में

संतत रूप से बदलने वाली हर राशि, जैसे कोई स्थिति, कोई तापमान, कोई सांद्रता, कोई विद्युत वोल्टता, संतत फलनों द्वारा वर्णित होती है, और उसकी तात्क्षणिक परिवर्तन-दरें सीमाएँ हैं। इंजीनियरी और प्रायोगिक विज्ञान जिन सन्निकटनों के साथ काम करते हैं (साम्य बिंदु के निकट किसी परिघटना का रैखिकीकरण, छोटे दोलनों में $\sin x$ के स्थान पर $x$ रखना, किसी पद को उससे बहुत बड़े दूसरे पद के सामने छोड़ देना), वे इकाई के अंतिम पाठ की तुल्यताओं जैसी ही तुल्यताएँ हैं, और उन्हीं शर्तों पर मान्य हैं। अनंतस्पर्शी रेखाएँ स्थिर होने वाली प्रक्रिया के संतृप्ति मान और स्थिर न होने वाली प्रक्रिया की असीम वृद्धि का वर्णन करती हैं। और संख्यात्मक गणना, जो कंप्यूटर पर उसे हल करती है जिसका कोई बंद सूत्र नहीं है, भ्रामक सारणी वाले उदाहरण के भेद पर आधारित है: एल्गोरिथ्म सन्निकटन उत्पन्न करता है, और केवल असमिकाओं से सिद्ध त्रुटि का परिबंध बताता है कि वे सटीक मान के कितने निकट हैं।