बीजगणित और ज्यामिति II: अध्ययन योजना

प्रयोजन और किसके लिए

यह पाठ्यक्रम उस यात्रा का दूसरा आधा है जो बीजगणित और ज्यामिति I: संख्याएँ, फलन और समतल ज्यामिति से आरंभ होती है। पाठ्यक्रम I ने, पियानो के अभिगृहीतों से आरंभ करके, बीजीय रूप की सम्मिश्र संख्याओं तक की संख्या पद्धतियाँ, बहुपदों का बीजगणित, वास्तविक फलन और उनके आलेख, अपने सदिशों और शांकवों सहित समतल की विश्लेषिक ज्यामिति, और चरघातांकी, लघुगणकीय और अतिपरवलयिक फलन रचे। पाठ्यक्रम II इन वस्तुओं को लेकर उन्हें तीन नए क्षेत्रों तक ले जाता है: त्रिकोणमिति, जो कोणों को मापती है और घूर्णनों को एक परिकलन में बदलती है; ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ, जहाँ वह परिकलन गुणन बन जाता है; और आव्यूह, जो रैखिक निकायों और रूपांतरणों को व्यवस्थित करते हैं और जो, सदिशों के साथ, उस समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति को सँभालते हैं जिसके साथ पाठ्यक्रम समाप्त होता है।

इसका प्रयोजन वही है जो पाठ्यक्रम I का था: केवल गणना करना सिखाना नहीं, बल्कि यह दिखाना कि प्रत्येक गणना कहाँ से आती है। प्रयुक्त प्रत्येक परिणाम कहा और सिद्ध किया जाता है, या जब उसकी उपपत्ति किसी अन्य पाठ्यक्रम की हो तो उसे स्पष्ट रूप से स्वीकृत घोषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, बीजगणित की आधारभूत प्रमेय या चाप की लंबाई के गुणों के साथ ऐसा ही होता है, जिनके लिए कलन चाहिए।

यह उनके लिए है जिन्होंने पाठ्यक्रम I पूरा किया है, या किसी अन्य मार्ग से उसकी विषय-वस्तु पर अधिकार रखते हैं: विद्यालयी शिक्षा के अंतिम वर्षों के विद्यार्थी जो विश्वविद्यालय में प्रवेश की तैयारी कर रहे हैं, विज्ञान, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र या गणित-शिक्षण के विश्वविद्यालय के प्रथम वर्ष के विद्यार्थी, और हर वह व्यक्ति जो उस गणित को कठोरता से फिर से गढ़ना चाहता है जिसे उसने नुस्ख़ों के एक संग्रह के रूप में सीखा था। यदि ऐसा है, तो पाठ्यक्रम वास्तविक संख्याओं की पूर्णता, फलनों के प्रतिलोमों और आलेखों के रूपांतरणों सहित उनके अध्ययन, समतल की रेखा, सदिशों और अदिश गुणनफल, शांकवों, चरघातांकी फलन और लघुगणक, और बीजीय रूप की सम्मिश्र संख्याओं के अंकगणित को ज्ञात मानता है। इनमें से किसी बिंदु पर जिसे संदेह हो, वह आरंभ करने से पहले पाठ्यक्रम I की संगत इकाई के सारांश पाठ पर लौटकर उसकी चुनौतियाँ हल कर सकता है।

अब, पाठ्यक्रम एक पड़ाव का स्थान भी रखता है। यह कलन I: अवकल कलन की पूर्वापेक्षा है, जो इकाई 1 में सिद्ध असमिका $\sin x < x < \tan x$ से आरंभ करके त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन करता है और जो, अपनी ओर से, यांत्रिकी के मूल सिद्धांत और कलन II: समाकलन कलन का मार्ग खोलता है, जहाँ वृत्तीय गति, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन और ध्रुवीय निर्देशांकों में क्षेत्रफल फिर से प्रकट होते हैं।

समग्र अधिगम उद्देश्य

नीचे दिए उद्देश्य बताते हैं कि पाठ्यक्रम पूरा करने वाला विद्यार्थी क्या करने में सक्षम होना चाहिए। प्रत्येक को एक अवलोकनीय प्रदर्शन के रूप में कहा गया है, ताकि उसे किसी ठोस कार्य से जाँचा जा सके; प्रत्येक पाठ, अपनी ओर से, अपने उद्देश्य घोषित करता है, और समापन पाठ, पाठ-दर-पाठ, दिखाता है कि प्रत्येक पाठ इन सात में से किस उद्देश्य को सौंपा गया। उद्देश्य क्रमांकित हैं ताकि उस पाठ में उनका उल्लेख किया जा सके।

1. उद्देश्य 1. त्रिकोणमिति, सम्मिश्र संख्याओं और आव्यूहों के बीजगणित, और विश्लेषिक ज्यामिति के कथनों को स्पष्ट निगमनात्मक युक्ति से सिद्ध करना, प्रत्यक्ष उपपत्ति, प्रतिपरिवर्तित कथन द्वारा उपपत्ति, विरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति और आगमन का प्रयोग करते हुए, और प्रत्येक उपपत्ति में निगमित को स्वीकृत से अलग पहचानना।
2. उद्देश्य 2. त्रिकोणमिति को कोणों और त्रिभुजों के मापन पर लागू करना, त्रिकोणमितीय फलनों और उनके प्रतिलोमों का अध्ययन करना, सर्वसमिकाएँ सिद्ध करना, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमीकरणों को उनका व्यापक हल देते हुए हल करना, और ध्रुवीय निर्देशांकों में वक्रों का वर्णन करना।
3. उद्देश्य 3. पाठ्यक्रम के साधनों से समतल की ज्यामिति का अध्ययन करना: रेखाओं के बीच के कोणों की गणना करना, अक्षों के घूर्णन द्वारा द्विघात समीकरण के मिश्र पद का विलोपन करना और उससे परिभाषित शांकव का वर्गीकरण करना, और घूर्णनों, केंद्रीय तननों, परावर्तनों और प्रक्षेपों को त्रिकोणमिति, सम्मिश्र संख्याओं और आव्यूहों द्वारा व्यक्त करना।
4. उद्देश्य 4. ध्रुवीय और चरघातांकी रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ करना, उनकी घातों और मूलों की गणना करना, उनकी संक्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या करना, और सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बहुपद समीकरणों को हल करना।
5. उद्देश्य 5. आव्यूहों से, गाउस-जॉर्डन विधि, जाति, सारणिकों और व्युत्क्रम आव्यूह के द्वारा, रैखिक समीकरणों के निकायों को हल करना, और संख्या पद्धतियों, बहुपदों, आव्यूहों और मापांक $n$ के अवशेष वर्गों में समूह, वलय और क्षेत्र की संरचनाओं को पहचानना।
6. उद्देश्य 6. समष्टि के बिंदुओं, सदिशों, रेखाओं और समतलों को निर्देशांकों और समीकरणों द्वारा निरूपित करना, अदिश, सदिश और अदिश त्रिक गुणनफलों से संक्रियाएँ करना, और उनसे कोणों, दूरियों, क्षेत्रफलों और आयतनों की गणना करना, रेखाओं और समतलों की सापेक्ष स्थितियों का निर्णय रैखिक निकायों द्वारा करते हुए।
7. उद्देश्य 7. विज्ञान, प्रौद्योगिकी और दैनिक जीवन की स्थितियों का पाठ्यक्रम के साधनों से गणितीय मॉडल बनाना, और प्रश्नों के निरूपण, गणनाओं और उपपत्तियों को सही संकेतन, पूर्ण युक्ति और परिणामों की संभाव्यता की जाँच के साथ लिखित रूप में व्यक्त करना।

उद्देश्य 2 से 6 मूलतः पाठ्यक्रम के बड़े विषयों के संगत हैं: उद्देश्य 2 इकाइयों 1 और 2 के, उद्देश्य 4 इकाई 3 के, उद्देश्य 5 इकाई 4 के और उद्देश्य 6 इकाई 5 के, जबकि उद्देश्य 3 उस धागे को समेटता है जो इकाइयों 1 से 4 में से होकर जाता है: समतल की ज्यामिति, जिसे क्रमशः ज्याओं और कोज्याओं से, सम्मिश्र संख्याओं से और आव्यूहों से देखा जाता है। इसके विपरीत, पहला और सातवाँ उद्देश्य अनुप्रस्थ हैं: वे किसी एक इकाई के नहीं हैं, बल्कि सभी इकाइयों में उनका अभ्यास होता है। इससे यह निकलता है कि उनकी प्राप्ति किसी निश्चित पाठ को नहीं सौंपी जा सकती, और उन्हें पूरे पाठ्यक्रम में विकसित करना उचित है। फिर भी, दोनों के ऐसे पाठ भी हैं जो मुख्य रूप से उनकी सेवा करते हैं: पहले के, सारांश पाठ, जिनका केंद्रीय भाग प्रत्येक इकाई की निगमनात्मक शृंखला को फिर से गढ़ता है; सातवें के, वे पाठ जिनकी विषय-वस्तु ही प्रश्नों का निरूपण है, अर्थात् दो रेखाओं के बीच के कोण और उसके अनुप्रयोगों वाला पाठ और रैखिक निकायों वाला पाठ।

विषय-वस्तु

पाठ्यक्रम सात इकाइयों में संगठित है। पहली और अंतिम इकाई पूरे मार्ग को ढाँचा देती हैं; बीच की पाँच इकाइयाँ विषय-वस्तु का विकास करती हैं। इनमें से प्रत्येक एक परिचय पाठ से खुलती है, जो उसके पाठों, उसके विचारों की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि, उन्हें जन्म देने वाली समस्या और उनके महत्त्व को प्रस्तुत करता है, और एक सारांश पाठ से बंद होती है, जो इकाई की निगमनात्मक शृंखला को फिर से गढ़ता है, उसे पाठ्यक्रम के शेष भाग से और पाठ्यक्रम I से जोड़ता है और पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन दस चुनौतियाँ प्रस्तावित करता है।

इकाई 0. पाठ्यक्रम का परिचय

इसमें यही पाठ है, जो पाठ्यक्रम का प्रयोजन, समग्र उद्देश्य, विषय-वस्तु, अध्ययन-भार और रूपरेखा निर्धारित करता है।

इकाई 1. त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक

इसका उद्देश्य मात्रक वृत्त पर त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करना, उनके आलेखों और प्रतिलोमों का अध्ययन करना, त्रिभुजों को हल करना और ध्रुवीय निर्देशांकों में वक्रों का वर्णन करना है।

1. त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक: परिचय।
2. कोण और उनकी माप: अंश और रेडियन।
3. त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त।
4. त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख।
5. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन।
6. त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम।
7. ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र।
8. त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 2. विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति

इसका उद्देश्य त्रिकोणमितीय फलनों को सर्वसमिकाओं, योग सूत्रों, समीकरणों और असमीकरणों के साथ एक बीजीय परिकलन में बदलना, और उसे रेखाओं के बीच के कोणों पर और तिरछे अक्षों वाले शांकवों पर लागू करना है।

1. विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति: परिचय।
2. आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ।
3. योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र।
4. योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप।
5. त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण।
6. दो रेखाओं के बीच का कोण और त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग।
7. अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण।
8. विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 3. ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ

इसका उद्देश्य प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को उसके मापांक और कोणांक से वर्णित करना है, ताकि गुणनफल को तनन सहित घूर्णन के रूप में, घातों को किसी कोण के गुणजों के रूप में और मूलों को सम बहुभुजों के रूप में पढ़ा जा सके, और इसके द्वारा बहुपद समीकरणों को हल करना है। यह पाठ्यक्रम I की इकाई 2 में रची गई बीजीय रूप की सम्मिश्र संख्याओं पर लौटती है।

1. ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: परिचय।
2. सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप।
3. डी मॉयवर सूत्र और सम्मिश्र संख्याओं की घातें।
4. सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल।
5. सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र।
6. सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति।
7. सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र।
8. ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 4. आव्यूह और बीजीय संरचनाएँ

इसका उद्देश्य किसी रैखिक निकाय के गुणांकों की सारणी को अपनी संक्रियाओं वाली एक वस्तु बनाना, उससे निकायों को हल करना, आव्यूहों को रूपांतरणों के रूप में पढ़ना, और दोनों पाठ्यक्रमों की गणनाओं में जो साझा है उसे समूह, वलय और क्षेत्र की अवधारणाओं में संघनित करना है।

1. आव्यूह और बीजीय संरचनाएँ: परिचय।
2. आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ।
3. रैखिक निकाय और गाउस-जॉर्डन विधि।
4. सारणिक: गुणधर्म और क्रेमर नियम।
5. व्युत्क्रम आव्यूह।
6. समतल के रूपांतरणों के रूप में आव्यूह।
7. आव्यूहों के रूप में सम्मिश्र संख्याएँ।
8. बीजीय संरचनाएँ: समूह, वलय और क्षेत्र।
9. आव्यूह और बीजीय संरचनाएँ: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 5. समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति

इसका उद्देश्य पाठ्यक्रम I की इकाई 4 में अध्ययन की गई समतल की विश्लेषिक ज्यामिति का समष्टि तक विस्तार करना है: समष्टि की यूक्लिडीय ज्यामिति के स्वीकृत तथ्यों की एक स्पष्ट सूची से आरंभ करके बिंदुओं और सदिशों का तीन निर्देशांकों से वर्णन करना; अदिश गुणनफल से लंबाइयाँ और कोण मापना, यह सिद्ध करते हुए कि इस प्रकार परिभाषित कोण प्रारंभिक ज्यामिति का ही कोण है; तीसरी कोटि के सारणिक से सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल प्राप्त करना, क्षेत्रफल, आयतन और समतलीयता की कसौटी के रूप में उनकी व्याख्या सहित; रेखाओं और समतलों को समीकरणों द्वारा लिखना और इकाई 4 की जाति और रूशे-फ्रोबेनियस प्रमेय से उनकी सापेक्ष स्थितियों का निर्णय करना; और दूरियों, कोणों, प्रक्षेपों और दो विषमतलीय रेखाओं के उभयनिष्ठ लंब की गणना करना, यांत्रिकी, क्रिस्टल-विज्ञान, हवाई नौवहन और उपग्रह द्वारा स्थिति निर्धारण में अनुप्रयोगों सहित। इकाई गोले का अध्ययन करती है, परंतु अन्य द्विघाती पृष्ठों (दीर्घवृत्तज, परवलयज, अतिपरवलयज, और द्वितीय घात के शंकु और बेलन) का नहीं, जिन्हें इस पाठ्यक्रम में नहीं लिया जाता; साइट के वर्तमान संगठन में उनका अध्ययन कलन III में आता है।

1. समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति: परिचय।
2. समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल।
3. सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल।
4. समष्टि में रेखाएँ और समतल।
5. समष्टि में दूरियाँ, कोण और आयतन।
6. समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 6. पाठ्यक्रम का समापन

इसमें बीजगणित और ज्यामिति II: अंतिम समीक्षा पाठ है, जो सात समग्र उद्देश्यों को याद दिलाता है और एक आकृति में दिखाता है कि पाठ्यक्रम का प्रत्येक पाठ उनमें से किसे सौंपा गया और प्रत्येक इकाई ने कौन-से विशिष्ट उद्देश्य प्राप्त किए, और प्रत्येक उद्देश्य के अनुसार समापन मूल्यांकनों के पहले प्रयास को एकत्र करता है।

अध्ययन-भार और क्रेडिट

किसी पाठ्यक्रम का अध्ययन-भार व्याख्यान के घंटों से नहीं मापा जाता, जो एक अतुल्यकालिक पाठ्यक्रम में होते ही नहीं, बल्कि विद्यार्थी के कुल काम से: पढ़ना, उपपत्तियों का अनुसरण करना, प्रश्न हल करना और दोहराना। अनुमान प्रत्येक पाठ के पाठ्य को पढ़ने का समय, प्रति हल किए गए प्रश्न बीस मिनट, प्रति प्रस्तावित प्रश्न पैंतीस, प्रति चुनौती पैंतालीस और प्रति प्रवेश या समापन मूल्यांकन बारह मिनट गिनता है, और दोहराने के लिए दसवें भाग का अतिरिक्त समय जोड़ता है।

परिणाम

इकाइयों 1 से 5 के पाठों में कुल मिलाकर $145$ हल किए गए प्रश्न, $145$ प्रस्तावित प्रश्न और $50$ चुनौतियाँ हैं। प्रति इकाई अनुमानित अध्ययन-भार, घंटे तक पूर्णांकित, इस प्रकार है:

• इकाई 0, पाठ्यक्रम का परिचय: $1$ घंटा।
• इकाई 1, त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक: $46$ घंटे।
• इकाई 2, विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति: $46$ घंटे।
• इकाई 3, ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: $46$ घंटे।
• इकाई 4, आव्यूह और बीजीय संरचनाएँ: $54$ घंटे।
• इकाई 5, समष्टि की विश्लेषिक ज्यामिति: $36$ घंटे।
• इकाई 6, पाठ्यक्रम का समापन: एक घंटे से कम।

इकाई 5 पाठों की संख्या में सबसे छोटी है, परंतु उसके चार विषय-पाठ पाठ्यक्रम के सबसे लंबे पाठों में से हैं। कुल लगभग $230$ घंटे का विद्यार्थी का काम है। इस आँकड़े को वही समझना उचित है जो यह है: उस विद्यार्थी के लिए एक अनुमान जो सभी उपपत्तियों का अध्ययन करता है और सभी प्रश्न और चुनौतियाँ हल करता है। जो विषय-वस्तु के एक भाग पर पहले से अधिकार रखता है, या चुनौतियों को छुए बिना प्रस्तावित प्रश्नों तक सीमित रहता है, उसे काफ़ी कम समय लगेगा; जो विषय पहली बार और सिद्ध करने के अभ्यास के बिना पढ़ता है, उसे अधिक की आवश्यकता हो सकती है।

अब, $230$ घंटों का आँकड़ा नाममात्र है: यही पाठ्यक्रम के क्रेडिट निर्धारित करता है, और यह पाठ को स्थिर गति से पढ़ना और प्रति चुनौती पौन घंटा मानकर चलता है। जब तक वास्तविक विद्यार्थियों के साथ इसे मापा न जाए, इसके साथ एक यथार्थवादी परास देना उचित है। यदि पढ़ना मानी गई गति की आधी गति से चले, जैसा तब होता है जब प्रत्येक उपपत्ति कागज़ और पेंसिल से फिर से लिखी जाती है, और प्रत्येक चुनौती पैंतालीस के बजाय पचहत्तर मिनट माँगे, तो वही विधि लगभग $298$ घंटे देगी। अतः अपेक्षित अध्ययन-भार लगभग $230$ और लगभग $300$ घंटों के बीच स्थित है। ऊपरी छोर एक सावधानीपूर्ण सीमा है, कोई माप नहीं; परास तब सुधारा जाएगा जब यह ज्ञात होगा कि पाठ्यक्रम पढ़ने वाले वास्तव में कितना समय लगाते हैं, और तब तक क्रेडिट नाममात्र आँकड़े से गिने जाते हैं।

सुझाई गई गति

गतियों को नाम देने के लिए यह योजना और पाठ्यक्रम I की योजना एक ही मानदंड अपनाती हैं: पूर्णकालिक अध्ययन $60$ क्रेडिट के एक शैक्षणिक वर्ष का है, लगभग चालीस सप्ताहों में बँटे लगभग $1650$ घंटे, अर्थात् प्रति सप्ताह लगभग $40$ घंटे, और अंशकालिक अध्ययन उसका आधा है, प्रति सप्ताह लगभग $20$ घंटे। इससे सोलह सप्ताहों के एक सत्र की अनुशंसित गति निकलती है, प्रति सप्ताह लगभग $14$ घंटे के अध्ययन के साथ, जो पूर्णकालिक के एक-तिहाई से कुछ अधिक है और इसलिए अंशकालिक से कम; यथार्थवादी परास के साथ, प्रति सप्ताह $14$ से $19$ घंटे, यह अंशकालिक के निकट पहुँचती है पर उस तक नहीं पहुँचती। इस प्रकार पाठ्यक्रम I और II दो लगातार सत्र लेते हैं। एक अधिक ढीली गति, प्रति सप्ताह लगभग $7$ घंटे, पाठ्यक्रम को दो सत्रों तक फैला देती है; एक गहन गति, प्रति सप्ताह लगभग $29$ घंटे, पूर्णकालिक के तीन-चौथाई से कुछ कम, उसे आठ सप्ताहों में पूरा कर देती है, जो उस विद्यार्थी के अध्ययन-भार के बराबर है जो उसी अवधि में कोई अन्य कठिन विषय नहीं पढ़ता।

क्रेडिट

इस साइट के क्रेडिट उस कुल अध्ययन-भार को मापते हैं जो कोई पाठ्यक्रम उसे पढ़ने वाले से माँगता है (पढ़ना, प्रश्न, चुनौतियाँ और दोहराना), न कि कक्षा के घंटों को। एक क्रेडिट लगभग $27.5$ घंटे के काम के बराबर है, और पूर्णकालिक अध्ययन का एक वर्ष $60$ क्रेडिट के, अर्थात् लगभग $1650$ घंटों के बराबर; यह वही मानदंड है जिससे ऊपर का अनुभाग अध्ययन की गतियों के नाम रखता है।

फिर भी, अनुमानित $230$ घंटों को $27.5$ से भाग देने पर 8.4 मिलता है, जो पूर्णांकित होकर $8$ होता है। यदि क्रेडिट के लिए $25$ से $30$ घंटे के काम का परास स्वीकार किया जाए, तो पाठ्यक्रम के क्रेडिट की संख्या $C$ 7.7 और 9.2 के बीच सीमित होती है:

अतः पाठ्यक्रम $8$ क्रेडिट का है, पूर्णकालिक अध्ययन के एक वर्ष के आठवें भाग से कुछ अधिक। जो पाठ्यक्रम का केवल एक भाग पढ़ना चाहे, वह प्रति इकाई घंटों की सूची का उपयोग कर सकता है: उदाहरण के लिए, इकाइयाँ 0 से 4 मिलकर लगभग $193$ घंटे बनाती हैं, अर्थात् लगभग $7$ क्रेडिट।

इनकी उपयोगिता व्यावहारिक है: ये साइट के पाठ्यक्रमों के भार की आपस में तुलना करने में, और यह तय करने में सहायता करते हैं कि उपलब्ध समय से अधिक हुए बिना एक साथ कितने पाठ्यक्रम पढ़ना उचित है। उदाहरण के लिए, सोलह सप्ताह के एक सत्र में अंशकालिक अध्ययन, अर्थात् लगभग $320$ घंटे, कुल लगभग $12$ क्रेडिट के पाठ्यक्रमों के लिए पर्याप्त है; उसी सत्र में पूर्णकालिक अध्ययन, लगभग $23$ क्रेडिट के लिए।

ये क्रेडिट अध्ययन की योजना बनाने के लिए साइट का अपना माप हैं: ये किसी आधिकारिक क्रेडिट प्रणाली के अनुरूप नहीं हैं, और न ही किसी संस्था द्वारा शैक्षणिक मान्यता का संकेत देते हैं।

पाठ्यक्रम की रूपरेखा

अध्ययन का स्वरूप

पाठ्यक्रम अतुल्यकालिक, ऑनलाइन और स्व-गति वाला है: इसकी कोई तिथियाँ, सजीव सत्र या समय-सीमाएँ नहीं हैं, और प्रत्येक विद्यार्थी उस गति से आगे बढ़ता है जिसकी अनुमति उसकी तैयारी और उसका समय देते हैं। यह साइट की चौदह भाषाओं में उपलब्ध है, सभी में एक ही गणित के साथ: सूत्र और उपपत्तियों के चरण हर संस्करण में समान हैं, और केवल पाठ्य का अनुवाद होता है। पाठ बताते हैं कि उनसे पहले किन अन्य पाठों का अध्ययन करना उचित है, पाठ्यक्रम I के उन पाठों सहित जिन पर वे निर्भर हैं, जिससे अनुशंसित क्रम स्पष्ट है और जाँचा जा सकता है।

एक पाठ की संरचना

सभी विषय-पाठ एक ही संरचना का पालन करते हैं। वे एक सार और अपने अधिगम उद्देश्यों की एक सूची से आरंभ होते हैं, जो अवलोकनीय प्रदर्शनों के रूप में कहे गए हैं। फिर सिद्धांत आता है, परिभाषाओं, सटीकता से कहे गए प्रमेयों और उनकी उपपत्तियों, और उदाहरणों के साथ। उपपत्तियाँ और उदाहरण चरण-वादकों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं: प्रत्येक चरण युक्ति की एक पंक्ति लिखता है, उसमें आने वाले पदों को उजागर करता है और, जब वह किसी पहले के परिणाम पर टिका हो, तो उस पर लौटकर पढ़ते समय उसे उजागर करता है, ताकि युक्ति की स्मृति दृष्टि में बनी रहे; कई के साथ एक आकृति होती है जो प्रत्येक चरण के साथ बदलती है। पाठ को पाँच हल किए गए प्रश्न समाप्त करते हैं, अपने चरण-दर-चरण हल के साथ, और पाँच प्रस्तावित प्रश्न, प्रत्येक के साथ एक मुड़ा हुआ संकेत और, उसके बाद, अंतिम उत्तर, ताकि विद्यार्थी मार्ग प्रकट हुए बिना अपना परिणाम जाँच सके; उपपत्ति वाले प्रस्तावित प्रश्न उत्तर के बाद मुड़ा हुआ एक विस्तृत हल जोड़ते हैं, जिसे अपना हल लिख लेने के बाद ही खोलना उचित है।

परिचय पाठों और सारांश पाठों की अपनी संरचना है। परिचय इकाई, उसके इतिहास, उसे जन्म देने वाली समस्या और उसके महत्त्व को प्रस्तुत करता है; सारांश एक आकृति में इकाई की निगमनात्मक शृंखला को, उन परिणामों के साथ जिन्हें वह फिर से उपयोग करता है और उन कड़ियों के साथ जिन्हें वह सिद्ध करता है, फिर से गढ़ता है, उसे पूर्ववर्ती इकाइयों से और पाठ्यक्रम I से जोड़ता है, और दस चुनौतियाँ प्रस्तावित करता है, प्रत्येक के साथ संकेत, अंतिम उत्तर और मुड़ा हुआ एक विस्तृत हल, जो कई पाठों को मिलाती हैं और प्रस्तावित प्रश्नों से अधिक सूझ माँगती हैं।

वाचक

हर पाठ को साइट के वाचक से ऊँची आवाज़ में सुना जा सकता है, जो उपकरण की अपनी आवाज़ों का प्रयोग करता है: पाठ्य वैसे ही पढ़ा जाता है जैसे लिखा है और सूत्र शब्दों में उच्चारित होते हैं। इससे स्क्रीन से दूर किसी पाठ को दोहराया जा सकता है, चरण-वादक को देखते हुए सुनकर किसी उपपत्ति का अनुसरण किया जा सकता है, और दृष्टि-सीमाओं के साथ अध्ययन किया जा सकता है।

मूल्यांकन

पाठ्यक्रम न अंक देता है न प्रमाणित करता है: साइट पर उसकी जाँच रचनात्मक है। प्रस्तावित प्रश्न प्रत्येक पाठ के उद्देश्यों की प्राप्ति को जाँचने देते हैं, और चुनौतियाँ प्रत्येक इकाई के उद्देश्यों की प्राप्ति को। इसके अतिरिक्त, पाँचों इकाइयों में से प्रत्येक के परिचय में एक प्रवेश मूल्यांकन है और सारांश में, चुनौतियों से पहले, एक समापन मूल्यांकन: ये संक्षिप्त स्व-जाँचें हैं, जो ब्राउज़र में बिना अंकों के जाँची जाती हैं; प्रवेश मूल्यांकन में इकाई के बारे में नौ या दस प्रश्न होते हैं, और उनके अतिरिक्त दो से छह प्रश्न उस बारे में जो इकाई पूर्ववर्ती इकाइयों से या पाठ्यक्रम I से ज्ञात मानती है, और समापन मूल्यांकन में ग्यारह या बारह; दोनों हर त्रुटि पर बताते हैं कि कौन-सा पाठ दोहराना है, और प्रगति दिखाने के लिए उनकी आपस में तुलना की जाती है। अंतिम समीक्षा हर समापन मूल्यांकन के पहले प्रयास को समग्र उद्देश्य के अनुसार एक रूपरेखा-चित्र में एकत्र करती है, जो उन्हीं की तरह केवल विद्यार्थी के ब्राउज़र में सहेजा जाता है। कौशलों का सत्यापन, प्रमाणन के मान के साथ, आगे चलकर और इस साइट के बाहर, किसी अन्य प्लेटफ़ॉर्म पर होगा।

समग्र उद्देश्यों के लिए इसके अतिरिक्त प्राप्ति के निम्नलिखित प्रमाण सुझाए जाते हैं, जिन्हें प्रत्येक विद्यार्थी स्वयं तैयार कर सकता है:

• उद्देश्य 1: पाठ देखे बिना पाठ्यक्रम के किसी प्रमेय की उपपत्ति लिखना, जैसे कोज्या नियम, डी मॉयवर का सूत्र या व्युत्क्रम आव्यूह की अद्वितीयता।
• उद्देश्य 2: कोई अतुच्छ त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सिद्ध करना और किसी त्रिकोणमितीय समीकरण को उसका व्यापक हल देते हुए हल करना।
• उद्देश्य 3: मिश्र पद वाले किसी द्विघात समीकरण से परिभाषित शांकव का, अक्षों को घुमाकर, वर्गीकरण करना, और समतल के किसी घूर्णन को किसी सम्मिश्र संख्या से गुणन के रूप में और आव्यूह के रूप में व्यक्त करना।
• उद्देश्य 4: किसी सम्मिश्र संख्या के $n$वें मूलों की गणना करना, उन्हें समतल में निरूपित करना और कार्डानो के सूत्र से किसी त्रिघात समीकरण को हल करना।
• उद्देश्य 5: किसी प्राचल वाले रैखिक निकाय को, जाति के अनुसार स्थितियों का विवेचन करते हुए, हल करना, और यह निर्णय करना कि दी गई संरचना समूह है, वलय है या क्षेत्र।
• उद्देश्य 6: समष्टि की दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति और उनके बीच की दूरी ज्ञात करना, और शीर्षों द्वारा दिए गए किसी चतुष्फलक का आयतन।
• उद्देश्य 7: किसी मॉडलन प्रश्न का पूर्ण हल लिखना, निरूपण, विकास, उत्तर और संभाव्यता की जाँच के साथ, इस प्रकार कि कोई अन्य व्यक्ति अतिरिक्त व्याख्याओं के बिना उसका अनुसरण कर सके।

इस पाठ्यक्रम को कैसे पढ़ें

पाठ्यक्रम क्रम से पढ़ने के लिए बनाया गया है। प्रत्येक इकाई पूर्ववर्ती इकाइयों और पाठ्यक्रम I को मानकर चलती है, और अनेक उपपत्तियाँ एक या दूसरे पाठ्यक्रम के पहले के पाठों के परिणामों का उल्लेख करती हैं; किसी पाठ को छोड़ देना, देर-सबेर, उस पर लौटने को विवश करता है।

प्रत्येक इकाई में जाँच के दो बिंदु हैं। प्रवेश मूल्यांकन, परिचय के आरंभ में, आरंभ-बिंदु है: इकाई पढ़ने से पहले, कुछ भी देखे बिना, उसका उत्तर देना और उन पाठों को लिख लेना उचित है जिनकी ओर त्रुटियाँ संकेत करती हैं, क्योंकि उन्हीं पर अधिक ध्यान चाहिए। समापन मूल्यांकन, सारांश में और चुनौतियों से पहले, तुलना है: उसका उत्तर पाठ पूरे करने पर, इसी तरह कुछ देखे बिना, दिया जाता है, और प्रवेश मूल्यांकन से उसकी तुलना की जाती है ताकि दिखे कि क्या बदला और किन पाठों को दोहराना उचित है। दोनों में पहला प्रयास गिना जाता है, वही जिसकी तुलना होती है और जिसे अंतिम समीक्षा का रूपरेखा-चित्र एकत्र करता है; बाद के प्रयास प्रतिक्रिया देख लेने के बाद होते हैं। चुनौतियाँ जाँच को पूरा करती हैं, क्योंकि वे उसे मिलाने और लिखने की माँग करती हैं जिसे छोटे प्रश्न केवल छूते हैं। इससे निकलता है कि जो मानता है कि किसी इकाई पर उसका अधिकार हो चुका है, उसे यह निर्णय एक ही परीक्षा से नहीं करना चाहिए: यदि उसका समापन मूल्यांकन ठोस है और वह सारांश की चुनौतियाँ हल कर लेता है, तो वह बाद वाली इकाई पर जा सकता है; यदि नहीं, तो उन पाठों को फिर से पढ़ना उचित है जिनकी ओर दोनों संकेत करते हैं।

हर पाठ में पहले सारांश और उद्देश्य पढ़ना उचित है, जो बताते हैं कि क्या खोजा जा रहा है; फिर कागज़ और पेंसिल के साथ सिद्धांत पढ़ना, वादक के लिखने से पहले उपपत्तियों के हर चरण का अनुमान लगाने का प्रयास करते हुए; हल किए गए प्रश्नों का हल देखने से पहले उन्हें आज़माना, और प्रस्तावित प्रश्नों को बिना सहायता के हल करना, संकेत तभी खोलते हुए जब प्रयास समाप्त हो चुका हो, और उत्तर केवल अंत में, जाँचने के लिए। जिस प्रश्न का उत्तर उसे आज़माने से पहले देख लिया गया, वह हल नहीं हुआ, केवल पढ़ा गया।

चुनौतियाँ पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन हैं, और यह सामान्य है कि कुछ को अलग-अलग दिनों में कई प्रयास चाहिए। किसी एक पर अनिश्चित काल तक रुकना उचित नहीं: उसे लिख लेना, आगे बढ़ते रहना और बाद में उस पर लौटना प्रायः सबसे छोटा रास्ता है। अब, अनुमानित अध्ययन-भार मानता है कि सभी को गंभीरता से आज़माया जाता है, और पाठ्यक्रम जो सिखा सकता है उसका बड़ा भाग उसी प्रयास पर निर्भर है।

अंत में, लिखना उचित है। किसी उपपत्ति या पूर्ण हल को, उसके आधार-वाक्यों और निष्कर्षों सहित, लिखना ही यह जानने का एकमात्र उपाय है कि बात समझी गई या नहीं, और यह पाठ्यक्रम के उद्देश्यों में सातवाँ भी है। एक अध्ययन-पुस्तिका, जिसमें प्रत्येक इकाई की परिभाषाएँ और प्रमेय अपने शब्दों में फिर से लिखे जाते हैं, वह सबसे अच्छी दोहराव-सामग्री है जो पाठ्यक्रम छोड़ सकता है, और कलन I में और भी अधिक होगी, जो यहाँ सिद्ध की गई लगभग हर बात पर लौटेगा।