الخطة الدراسية لدورة الجبر والهندسة 1

ملخص

يشكّل هذا الدرس الوحدة الافتتاحية للدورة ويعرض خطتها الدراسية كاملة. فهو يبيّن غاية الدورة، والطلبة الذين تتوجّه إليهم، وما تفترضه معلومًا، والدورات التي تفتح الطريق إليها؛ ويصوغ الأهداف التعلّمية العامة الثمانية التي تضعها الدورة لنفسها؛ ويصف وحداتها السبع والدروس التي تتألف منها؛ ويقدّر العبء الدراسي الكلي الذي تتطلبه الدورة، وتوزيعه على الوحدات، ووتيرة دراسة مقترحة، وما يعادله بالساعات المعتمدة القابلة للتحويل؛ ويشرح كيف بُنيت دروسها وكيف يُقيَّم التقدّم، ثم ينصح أخيرًا بطريقة دراستها.

أهداف التعلم

أن يصف تسلسل وحدات الدورة، وأن يشرح ما تقدّمه كل وحدة للوحدات اللاحقة.
أن يصوغ الأهداف التعلّمية العامة للدورة، وأن يتعرّف الوحدات التي تسهم في كل منها.
أن يحسب، انطلاقًا من الساعات المقدَّرة لكل وحدة، العبء الذي تتطلبه الدورة أو جزء منها، وأن يخطّط به وتيرة دراسة شخصية.
أن يشرح بنية درس من دروس الموقع، والاستعمال الذي يحسن أن يُستعمل به ما فيه من أمثلة ومسائل وتحدّيات وتقييمات للوحدات.

الغاية والفئة المستهدفة

هذه الدورة هي الأولى من دورتين تجمعان الجبر والهندسة اللذين يسبقان التفاضل والتكامل والرياضيات الجامعية. وليست غايتها أن تعلّم الحساب فحسب، بل أن تبيّن من أين يأتي كل حساب: فالدورة تبني موضوعاتها بدلًا من أن تفترضها معروفة، وتنطلق من بضع مسلّمات عن الأعداد الطبيعية وتستنتج منها، توسيعًا بعد توسيع، حساب الأعداد الصحيحة والنسبية والحقيقية والمركبة في الشكل الجبري، وجبر كثيرات الحدود والدوال الجبرية، والهندسة التحليلية في المستوى، وأخيرًا الدالة الأسية واللوغاريتمية والدوال الزائدية. وكل نتيجة تُستعمل تُصاغ وتُبرهن، أو يُعلَن صراحةً أنها مقبولة دون برهان حين ينتمي برهانها إلى دورة أخرى.

وهي تتوجّه إلى تلاميذ السنوات الأخيرة من التعليم المدرسي الذين يرغبون في إعداد متين قبل الالتحاق بالجامعة، وإلى طلبة السنة الجامعية الأولى في العلوم أو الهندسة أو الاقتصاد أو تربويات الرياضيات، وإلى كل من يريد أن يعيد بناء رياضيات تعلّمها مجموعةً من الوصفات، بناءً صارمًا. ولا تفترض أكثر من الحساب المدرسي: إجراء العمليات على الأعداد الصحيحة والكسور، وتعرّف الأشكال الأولية في الهندسة المستوية. غير أن الدورة تبرهن تقريبًا كل ما تقرّره، ولذلك يوصى بأن تُدرَس قبلها، أو بالتوازي معها، دورة المنطق الرياضي 1: منطق القضايا، التي تعلّم قراءة البراهين وبناءها بروابط وأسوار وقواعد استدلال صريحة.

وإذا كان الأمر كذلك، فإن الدورة تحتل في الموقع موقع المدخل، وتعتمد عليها ثلاث دورات. فدورتا الرياضيات المالية وتحليل البيانات بلغة R تشترطانها متطلّبًا سابقًا وحيدًا، لأنهما تستعملان المتتاليات الحسابية والهندسية، والعدّ، والمعادلات والأنظمة الخطية، والدالة الأسية واللوغاريتمات التي تُبنى هنا. والثالثة هي تتمّتها، الجبر والهندسة 2: حساب المثلثات والأعداد المركبة وهندسة الفضاء، التي تستأنف ما تحقق هنا لدراسة الدوال المثلثية، والشكل القطبي للأعداد المركبة، والمصفوفات، والهندسة التحليلية في الفضاء. ومن ذلك يلزم أن من يطمح إلى التفاضل والتكامل 1 عليه أن يجتاز الدورتين كلتيهما، لأن تلك الدورة تشترط الثانية.

الأهداف التعلّمية العامة

تصف الأهداف الآتية ما ينبغي أن يكون الطالب الذي يُتمّ الدورة قادرًا على فعله. ويُصاغ كل منها أداءً قابلًا للملاحظة، بحيث يمكن التحقق منه بمهمة محددة؛ ويعلن كل درس موضوعي بدوره أهدافه الخاصة، التي تخدم هدفًا عامًا أو أكثر، ويبيّن درس الختام في أي الوحدات والدروس يُعمل على كل منها. وتُرقَّم الأهداف الثمانية ليمكن الإحالة إليها.

الهدف 1. أن يبرهن عبارات في الحساب والجبر والهندسة بالاستدلال الاستنتاجي الصريح، مستعملًا البرهان المباشر، والبرهان بعكس النقيض، والبرهان بالخلف، والاستقراء بصوره المختلفة، ومبدأ الترتيب الحسن، وأن يميّز في كل برهان ما استُنتج مما قُبل دون برهان.
الهدف 2. أن يبني الأنظمة العددية بلغة المجموعات والعلاقات والدوال: الأعداد الطبيعية المعرّفة بمسلّمات بيانو، والأعداد الصحيحة والنسبية بوصفها أصناف تكافؤ، والأعداد الحقيقية بوصفها حقلًا مرتبًا تامًا، والأعداد المركبة بوصفها أزواجًا من الأعداد الحقيقية؛ وأن يشرح أي معادلة بلا حل تدعو إلى كل توسيع، وأي خاصية تُكسب فيه أو تُفقد.
الهدف 3. أن يبرهن حساب الأعداد الصحيحة ويطبّقه: القسمة الإقليدية وقابلية القسمة، والأعداد الأولية ووحدانية التحليل إلى عوامل أولية، والقاسم المشترك الأكبر والمعادلات الديوفانتية الخطية، والتوافقات، والترقيم الموضعي، والعدّ التوفيقي.
الهدف 4. أن يحوّل العبارات الجبرية (القوى والجذور وكثيرات الحدود والكسور الجبرية)، وأن يحلّ المعادلات والمتراجحات والأنظمة من الدرجة الأولى، والحدودية، والكسرية، وذات الجذور، وذات القيمة المطلقة، معلّلًا تكافؤ كل انتقال ومتحققًا من الحلول.
الهدف 5. أن يحلّل الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي، محدِّدًا مجال تعريفها، ومداها، وإشاراتها، وأصفارها، ومقارباتها، ودالتها العكسية، وتركيبها، وأن يمثّل تمثيلها البياني، ولا سيما بتحويلات تمثيلات بيانية معروفة.
الهدف 6. أن يمثّل محالّ هندسية في المستوى بمعادلات، وأن يتعرّف بالعكس المنحنى الذي تعرّفه معادلة: المستقيمات في الشكل الديكارتي والمتجهي والوسيطي، والدوائر، والقطوع المكافئة، والقطوع الناقصة، والقطوع الزائدة ذات المحاور الموازية لمحوري الإحداثيات، والمناطق المعرّفة بمتراجحات.
الهدف 7. أن يحلّ مسائل بالدالة الأسية واللوغاريتمية والدوال الزائدية، مستنتجًا خواصها من تعريفاتها، وحالًّا المعادلات والمتراجحات التي تتضمنها.
الهدف 8. أن ينمذج رياضيًا مواقف من العلم والتقنية والاقتصاد والحياة اليومية بأدوات الدورة (الأنظمة الخطية، والبرمجة الخطية، ونماذج النمو والتناقص)، وأن يعرض كتابةً صياغة المسائل والحسابات والبراهين بترميز صحيح، وحجاج تام، وضبط لمعقولية النتائج.

تقابل الأهداف من 2 إلى 7، في جوهرها، الموضوعات الكبرى للدورة؛ أما الأول والثامن فهما عرضيّان: لا ينتميان إلى وحدة بعينها، بل يُمارَسان في الوحدات كلها. ومن ذلك يلزم أن بلوغهما لا يمكن أن يُنسب إلى درس واحد، وأنه يحسن تعهّدهما على امتداد الدورة كلها. غير أن لكليهما أيضًا دروسًا تخدمه على نحو رئيسي: الأول تخدمه مقدمة الوحدة 1، التي تبيّن لماذا لا يبرهن أي عدد منتهٍ من عمليات التحقق عبارةً عن جميع الأعداد الطبيعية، والخلاصات الخمس، التي يعيد قسمها المركزي بناء السلسلة الاستنتاجية لكل وحدة؛ والثامن تخدمه الدروس التي تكون فيها صياغة المسألة هي المادة نفسها: الأنظمة الخطية التي تنمذج مواقف، والبرمجة الخطية، ونماذج النمو.

المحتويات

تنتظم الدورة في سبع وحدات. تؤطّر الأولى والأخيرة المسار؛ وتطوّر الخمس الوسطى المحتويات. وتُفتتح كل واحدة من هذه بدرس مقدمة، يعرض دروسها، والخلفية التاريخية لأفكارها، والمسألة التي نشأت منها، وأهميتها، وتُختتم بدرس خلاصة، يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة، ويصلها ببقية الدورة، ويقترح عشرة تحدّيات تفوق صعوبتها صعوبة مسائل الدروس.

الوحدة 0. تقديم الدورة

تتألف من هذا الدرس، الذي يحدّد الغاية، والأهداف العامة، والمحتويات، والعبء الدراسي، وتصميم الدورة.

الوحدة 1. الأعداد الطبيعية

غايتها تثبيت لغة المجموعات والعلاقات والدوال، واستنتاج حساب الأعداد الطبيعية والصحيحة من مسلّمات بيانو، حتى التوافقات، وإرساء الاستقراء أداةً للبرهان في الدورة.

الوحدة 2. المجموعات العددية

غايتها توسيع الأعداد الطبيعية حتى الأعداد المركبة، في كل مرة لحلّ معادلة لم يكن لها حل، وإتقان الترتيب، والقيمة المطلقة، والقوى، والمعادلات من الدرجة الأولى.

الوحدة 3. الدوال الجبرية وكثيرات الحدود

غايتها أن تجعل التحليل إلى عوامل الأداة التي تحسم الجذور، والإشارات، والمتراجحات، ومجالات التعريف، والمقاربات، والتمثيلات البيانية للدوال الجبرية.

الوحدة 4. الهندسة التحليلية في المستوى

غايتها ترجمة الخواص الهندسية إلى معادلات، والمعادلات إلى منحنيات، من المستقيم حتى القطوع المخروطية ومناطق البرمجة الخطية. أما نظائرها في الفضاء، أي السطوح التربيعية، فلا تُدرَس في هذه الدورة ولا في الدورة 2، التي لا تدرس منها إلا الكرة؛ وفي التنظيم الحالي للموقع، تعود دراستها إلى التفاضل والتكامل 3.

الوحدة 5. الدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية

غايتها تعريف الدوال التي تحوّل المجاميع إلى جداءات والجداءات إلى مجاميع، واستنتاج خواصها، واستعمالها في نمذجة النمو.

الوحدة 6. ختام الدورة

تتألف من درس الحصيلة النهائية لدورة الجبر والهندسة 1، الذي يذكّر بالأهداف العامة الثمانية، ويبيّن في رسم في أي الوحدات والدروس يُعمل على كل منها، ويجمع لكل هدف المحاولة الأولى في تقييمات الخروج، ويشير إلى الوجهة التي تستمر فيها الدراسة.

العبء الدراسي والساعات المعتمدة

لا يُقاس العبء الدراسي لدورةٍ بساعات العرض، التي لا وجود لها في دورة غير متزامنة، بل بمجموع عمل الطالب: القراءة، وتتبّع البراهين، وحلّ المسائل، والمراجعة. ويراعي التقدير وقت القراءة، ودراسة المسائل المحلولة، والعمل في المسائل المقترحة وفي التحدّيات، والإجابة عن تقييمات الوحدات، مع هامش للمراجعة.

النتائج

تحتوي دروس الدورة في مجموعها على $212$ مسألة محلولة و $210$ مسألة مقترحة و $50$ تحدّيًا. والعبء المقدَّر لكل وحدة، مقرَّبًا إلى أقرب ساعة، هو الآتي:

الوحدة 0، تقديم الدورة: $1$ ساعة.
الوحدة 1، الأعداد الطبيعية: $69$ ساعة.
الوحدة 2، المجموعات العددية: $58$ ساعة.
الوحدة 3، الدوال الجبرية وكثيرات الحدود: $63$ ساعة.
الوحدة 4، الهندسة التحليلية في المستوى: $62$ ساعة.
الوحدة 5، الدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية: $46$ ساعة.
الوحدة 6، ختام الدورة: أقل من ساعة واحدة.

يبلغ المجموع نحو $299$ ساعة من عمل الطالب. وينبغي أن يُقرأ هذا الرقم على حقيقته: تقديرٌ لطالب يدرس جميع البراهين ويحلّ جميع المسائل والتحدّيات. فمن يتقن بعض المحتويات، أو يقتصر على المسائل المقترحة دون أن يتصدّى للتحدّيات، سيحتاج إلى أقل من ذلك بكثير؛ ومن يدرس الموضوع لأول مرة، دون اعتياد على البرهنة، قد يحتاج إلى أكثر.

غير أن رقم $299$ ساعة رقمٌ اسمي: هو الذي تُحدَّد به الساعات المعتمدة للدورة، ويفترض قراءة النص بوتيرة ثابتة وثلاثة أرباع الساعة لكل تحدٍّ. وما دام لم يُقَس مع طلبة حقيقيين، فيحسن أن يُرفَق بمجال واقعي. فلو سارت القراءة بنصف الوتيرة المفترضة، كما يحدث حين يُعاد كتابة كل برهان بالورقة والقلم، واستلزم كل تحدٍّ خمسًا وسبعين دقيقة بدلًا من خمس وأربعين، لأعطى التقدير نفسه نحو $370$ ساعة. ومن ثَمّ يقع العبء المتوقّع بين نحو $300$ ونحو $370$ ساعة. والطرف الأعلى حدٌّ حذِر، لا قياس؛ وسيُصحَّح المجال حين يُعرف الوقت الذي يستغرقه من يدرسون الدورة، وإلى ذلك الحين تُحسب الساعات المعتمدة بالرقم الاسمي.

الوتيرة المقترحة

لتسمية الوتائر، تعتمد هذه الخطة وخطة الدورة 2 المعيار نفسه: الدراسة بدوام كامل هي دراسة عام أكاديمي من $60$ ساعة معتمدة، أي نحو $1650$ ساعة موزّعة على نحو أربعين أسبوعًا، أي نحو $40$ ساعة أسبوعيًا، والدراسة بدوام جزئي نصفها، أي نحو $20$ ساعة أسبوعيًا. ومن ذلك يلزم وتيرة موصى بها قدرها فصل دراسي واحد من ستة عشر أسبوعًا، بنحو $18$ أو $19$ ساعة دراسة أسبوعيًا، أي أقل قليلًا من الدوام الجزئي؛ ومع المجال الواقعي، من $19$ إلى $23$ ساعة أسبوعيًا، تقع حول الدوام الجزئي. ويمكن عندئذ أن يُخصَّص الفصل اللاحق لدورة الجبر والهندسة 2. وبديلًا أيسر، يتّسق مع مقرّرات أخرى متطلّبة، يمكن توزيع الدورة على فصلين دراسيين، بنحو $9$ ساعات أسبوعيًا: النصف الأول، الوحدات من 0 إلى 2، يستغرق نحو $128$ ساعة، والثاني، الوحدات من 3 إلى 6، نحو $171$ ، ولذلك يحسن أن يُبدأ الفصل الثاني بشيء من التقدّم.

المعادل بالساعات المعتمدة القابلة للتحويل

تقيس أنظمة الساعات المعتمدة القابلة للتحويل الدورةَ بمجموع العمل الذي تتطلبه من الطالب، لا بساعات الحضور الصفّي، كي يمكن الاعتراف في مؤسسة بالدراسات المنجزة في مؤسسة أخرى. والنظام الأوروبي لتحويل الساعات المعتمدة وتجميعها، الذي اعتمدته الجامعات الأوروبية منذ إعلان بولونيا، يخصّص $60$ ساعة معتمدة لعام أكاديمي بدوام كامل، ويحدّد كل ساعة معتمدة بين $25$ و $30$ ساعة عمل. ونظام الساعات المعتمدة القابلة للتحويل في تشيلي، الذي اعتمدته الجامعات التشيلية بتصميم مماثل، يخصّص هو أيضًا $60$ ساعة معتمدة للعام الأكاديمي، ويحدّد كل ساعة معتمدة بين $24$ و $31$ ساعة عمل.

غير أننا إذا قسمنا الساعات المقدَّرة $299$ على طرفي كل مجال، وجدنا أن الدورة تعادل ما بين $10$ و $12$ ساعة معتمدة أوروبية تقريبًا (من 10.0 إلى 12.0)، وما بين $10$ و $12$ ساعة معتمدة تشيلية قابلة للتحويل (من 9.6 إلى 12.5). وإذا اتُّخذت القيمة الوسطى للمجالين مرجعًا، أي 27.5 ساعة لكل ساعة معتمدة، حصلنا في النظامين على العدد نفسه، 10.9، الذي يُقرَّب إلى 11. وبالنسبة إلى الساعات المعتمدة الأوروبية، يكون العدد $C$ من الساعات المعتمدة محصورًا على النحو الآتي:

\left( \frac{299}{30} \right) \leq C \leq \left( \frac{299}{25} \right)

ومن ثَمّ يوصى بأن يُسنَد إلى الدورة $11$ ساعة معتمدة أوروبية و $11$ ساعة معتمدة تشيلية قابلة للتحويل، أي أكثر قليلًا من سدس عام أكاديمي بدوام كامل. وهذا الرقم أكبر من رقم مقرّر فصلي عادي في الجبر، ويُفسَّر ذلك باشتراط دراسة جميع البراهين، وببناء الأنظمة العددية، الذي كثيرًا ما تُغفله الخطط المعتادة.

تصميم الدورة

نمط الدراسة

الدورة غير متزامنة، وعبر الإنترنت، وذاتية الوتيرة: ليس لها مواعيد ولا جلسات مباشرة ولا آجال، ويتقدّم كل طالب بالسرعة التي يسمح بها إعداده ووقته. وتُقدَّم بلغات الموقع الأربع عشرة، بالرياضيات نفسها في جميعها: الصيغ وخطوات البراهين متطابقة في كل نسخة، ولا يُترجَم إلا النص. وتعلن الدروس أي الدروس الأخرى يحسن أن تُدرَس قبلها، بحيث يكون الترتيب الموصى به صريحًا ويمكن التحقق منه.

بنية الدرس

تتبع جميع الدروس الموضوعية البنية نفسها. فهي تبدأ بملخّص وقائمة بأهدافها التعلّمية الخاصة، مصوغةً أداءاتٍ قابلة للملاحظة. ثم تأتي النظرية، بالتعريفات، والمبرهنات المصوغة بدقة وبراهينها، والأمثلة. وتُعرض البراهين والأمثلة في مشغّلات خطوات: كل خطوة تكتب سطرًا من الاستدلال، وتُبرز الحدود المعنية، وحين تستند إلى نتيجة متقدّمة تعود إليها وتُبرزها في أثناء القراءة، بحيث تبقى ذاكرة الاستدلال ظاهرة للعين؛ وكثير منها يرافقه رسم يتغيّر مع كل خطوة. ويُختتم الدرس بخمس مسائل محلولة (ست في درسين من الوحدة 3)، مع حلّها خطوة بخطوة، وخمس مسائل مقترحة، لكل منها تلميح مطويّ ثم الإجابة النهائية، كي يتحقق الطالب من نتيجته دون أن يُكشف له الطريق؛ وتضيف المسائل المقترحة التي تطلب برهانًا، مطويًّا بعد الإجابة، حلًّا مفصّلًا يحسن ألا يُفتح إلا بعد كتابة الحل الخاص.

ولدروس المقدمة والخلاصة بنية خاصة. فالمقدمة تعرض الوحدة، وتاريخها، والمسألة التي نشأت منها، وأهميتها؛ والخلاصة تعيد بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة، وتصلها بالوحدات التي قبلها والتي بعدها، وتقترح عشرة تحدّيات، لكل منها تلميح، وإجابة نهائية، وحلّ مفصّل مطويّ، تجمع بين عدة دروس وتتطلب ابتكارًا أكثر مما تتطلبه المسائل المقترحة.

القارئ الصوتي

يمكن الاستماع إلى كل درس بصوت مرتفع بواسطة قارئ الموقع، الذي يستعمل أصوات الجهاز نفسه: يُقرأ النص كما هو مكتوب، وتُنطق الصيغ بالكلمات. ويتيح ذلك مراجعة درس بعيدًا عن الشاشة، وتتبّع برهان بالاستماع إليه مع النظر إلى مشغّل الخطوات، والدراسة مع إعاقات بصرية.

التقييم

لا تمنح الدورة علامات: فتقييمها تكويني ويستند إلى التقويم الذاتي. وتسمح المسائل المقترحة بالتحقق من بلوغ أهداف كل درس، وتسمح التحدّيات بالتحقق من بلوغ أهداف كل وحدة.

ويُضاف إلى ذلك تقييمات الوحدات. فتقييم الدخول، في بداية المقدمة، تقويم ذاتي قصير، من عشرة أسئلة عن الوحدة، يُضاف إليها ابتداءً من الوحدة 2 ثلاثة أسئلة عمّا تفترضه الوحدة معلومًا من الوحدات التي قبلها، ويقيس نقطة الانطلاق؛ وتقييم الخروج، في الخلاصة وقبل التحدّيات، فيه اثنا عشر سؤالًا، ويقيس ما تحقق، ويُقارَن بتقييم الدخول. ويُصحَّح كلاهما في المتصفح نفسه: تتلقى كل إجابة شرحًا، ويتلقى كل خطأ نمطي ملاحظةً تحدّده، ويحيل كل سؤال إلى الدرس الذي يحسن مراجعته. ولا يمنح أيٌّ منهما علامة ولا شهادة، ولا تُحفظ نتائجهما إلا في متصفح الطالب؛ وسيجري التصديق على المهارات المكتسبة لاحقًا في منصة أخرى. وتتضمن الوحدات الخمس كلا التقييمين، وتجمع الحصيلة النهائية المحاولة الأولى في كل تقييم خروج في ملف أداء بحسب الهدف العام.

ولأجل الأهداف العامة، تُقترح شواهد البلوغ الآتية:

الهدف 1: أن يكتب، دون الرجوع إلى الدرس، برهان مبرهنة من مبرهنات الدورة، مثل لانهائية الأعداد الأولية أو وحدانية القسمة الإقليدية، وبرهان تحدٍّ يتطلب الاستقراء.
الهدف 2: أن يشرح كتابةً أي معادلة تدعو إلى كل توسيع من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة، وأن يبرهن أن جمع الأعداد الصحيحة، المعرَّف بواسطة أصناف أزواج من الأعداد الطبيعية، معرَّف تعريفًا سليمًا.
الهدف 3: أن يحلّ معادلة ديوفانتية خطية بقيود، وأن يحسب بالتوافقات باقي قسمة قوة كبيرة.
الهدف 4: أن يحلّ متراجحة كسرية أو متراجحة ذات جذور وقيمة مطلقة، معلّلًا كل تكافؤ ومتحققًا من الحل.
الهدف 5: أن يدرس دراسة تامة دالة كسرية أو دالة ذات جذور، وأن يرسم تمثيلها البياني دون أدوات حساب، ثم يتحقق منه بإحداها.
الهدف 6: أن يعيّن القطع المخروطي الذي تعرّفه معادلة من الدرجة الثانية خالية من الحد في $xy$ ، بجميع عناصره، وأن يصف بمتراجحات منطقة تحدّها مستقيمات وقطوع مخروطية.
الهدف 7: أن يحلّ معادلة لوغاريتمية مع التحقق من مجال التعريف، وأن يبرهن متطابقة زائدية انطلاقًا من التعريفات.
الهدف 8: أن يصوغ مسألة برمجة خطية ويحلّها، أو أن يوفّق نموذجًا أسيًا مع معطيات، وأن يكتب الحل كاملًا، بالصياغة والتطوير والإجابة وضبط المعقولية، بحيث يستطيع شخص آخر أن يتتبّعه دون شروح إضافية.

كيف تُدرَس هذه الدورة

صُمّمت الدورة لتُدرَس بالترتيب. فكل وحدة تفترض الوحدات التي قبلها، وكثير من البراهين يستشهد بنتائج من دروس متقدّمة؛ وتخطّي درس يُلزم، عاجلًا أو آجلًا، بالعودة إليه.

لكل وحدة نقطتا مراقبة. فتقييم الدخول، في بداية المقدمة، هو نقطة الانطلاق: يحسن الإجابة عنه قبل دراسة الوحدة، دون الرجوع إلى أي شيء، وتدوين الدروس التي تحيل إليها الأخطاء، فهي التي تطلب عناية أكبر. وتقييم الخروج، في الخلاصة وقبل التحدّيات، هو المقابلة: يُجاب عنه عند الانتهاء من الدروس، دون الرجوع إلى شيء أيضًا، ويُقارَن بتقييم الدخول لرؤية ما تغيّر وأي الدروس يحسن مراجعتها. وفي كليهما تُحتسب المحاولة الأولى، فهي التي تُقارَن وهي التي يجمعها ملف أداء الحصيلة النهائية؛ أما المحاولات اللاحقة فتجري بعد الاطلاع على التغذية الراجعة. وتُكمل التحدّيات التحقق، لأنها تتطلب الجمع والكتابة فيما لا تمسّه الأسئلة القصيرة إلا مسًّا. ومن ذلك يلزم أن من يظن أنه يتقن وحدة لا ينبغي أن يحكم بذلك بناءً على اختبار واحد: فإن كان تقييم خروجه متينًا وحلّ تحدّيات الخلاصة، أمكنه الانتقال إلى الوحدة اللاحقة؛ وإلا، فيحسن أن يجتاز الدروس التي يشير إليها هذا وتلك.

في كل درس، يحسن أن يُقرأ أولًا الملخّص والأهداف، فهي تقول ما المقصود؛ ثم أن تُدرَس النظرية بالورقة والقلم، مع محاولة توقّع كل خطوة من البراهين قبل أن يكتبها المشغّل؛ وأن تُحاوَل المسائل المحلولة قبل النظر في حلّها، وأن تُحلّ المقترحة دون مساعدة، فلا يُفتح التلميح إلا حين تُستنفد المحاولة، ولا الإجابة إلا في النهاية، للتحقق. فالمسألة التي استُشيرت إجابتها قبل محاولتها لم تُحَلّ، بل قُرئت.

التحدّيات أصعب من مسائل الدروس، ومن الطبيعي أن يتطلب بعضها عدة محاولات في أيام مختلفة. ولا يحسن التوقف عند واحد منها إلى ما لا نهاية: فتدوينه، ومواصلة التقدّم، والعودة إليه لاحقًا، كثيرًا ما يكون أقصر الطرق. غير أن العبء المقدَّر يفترض أن تُحاوَل جميعها بجدّية، وفي هذا الجهد يتوقف جانب كبير مما يمكن أن تعلّمه الدورة.

وأخيرًا، يحسن أن يكتب الطالب. فكتابة برهان أو حلّ كامل، بمقدّماته ونتائجه، هي السبيل الوحيد لمعرفة ما إذا كان قد فُهم، وهي أيضًا الهدف الثامن من أهداف الدورة. ودفتر دراسة تُعاد فيه كتابة تعريفات كل وحدة ومبرهناتها بكلمات المرء نفسه هو أفضل مادة للمراجعة يمكن أن تتركها الدورة.