الأعداد الطبيعية: مقدمة

تقييم الدخول

قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية. وهذا التقييم تقييم ذاتي: لا تُمنح عليه درجة، وغايته الوحيدة توجيه الدراسة. وأسئلته العشرة تتناول، واحدًا واحدًا وبالترتيب، دروس الوحدة العشرة؛ ويطلب الرابع منها، فضلًا عن ذلك، صياغة مسألة موصوفة بالكلمات على شكل مجموع. وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة؛ ولمّا كانت هذه أول وحدة في الدورة، فلا أسئلة عن وحدات سابقة. والسؤال الذي لا يُحَلّ يشير إلى الدرس الذي يحسن التوقّف عنده.

محتويات الوحدة

نُبّه في الخطة الدراسية إلى أن الدورة تبني كائناتها بدلًا من افتراضها معلومة. وهذه الوحدة الأولى حجر الزاوية في ذلك البناء: فهي تنطلق من مسلّمات قليلة عن الأعداد التي نعدّ بها، وتستنتج منها حساب الأعداد الطبيعية كلّه. والقليل الذي تقبله فوق ذلك يُصرَّح به في موضعه: قواعد نظرية المجموعات الساذجة ونفي المكمّمات؛ ووجود الدوال المعرّفة بالتراجع، الذي تضمنه مبرهنة التراجع لديدكايند؛ ووحدانية عدد عناصر مجموعة منتهية، وكون مجموعاتها الجزئية منتهية، وعليهما يقوم العدّ؛ والتبديل المعمَّم للجداءات المنتهية؛ والقواعد الأولية للأعداد الصحيحة والنسبية والحقيقية، التي تستبقها بعض الأمثلة والمسائل وتبنيها الوحدة اللاحقة. ودروسها العشرة تؤلّف سلسلة تستند فيها كل حلقة إلى ما قبلها.

1. المجموعات والعلاقات والدوال. يثبّت اللغة التي تُكتب بها الدورة كلها: المجموعات وعملياتها، والعلاقات، ولا سيّما علاقات التكافؤ والترتيب، والدوال. وستعود علاقات التكافؤ إلى الظهور في الوحدة اللاحقة، حيث تُبنى الأعداد الصحيحة والنسبية بوصفها أصنافًا من الأزواج.
2. الأعداد الطبيعية ومسلّمات بيانو. يعرّف الأعداد الطبيعية بواسطة $1$ وعملية التالي وخمس مسلّمات، آخرها مبدأ الاستقراء الرياضي. وكل ما يأتي بعده في الوحدة نتيجة لهذه المسلّمات وللقليل الذي يُقبل صراحةً.
3. العمليات الأساسية وعلاقات الترتيب. يصوغ مبرهنة التراجع، ويعرّف بها الجمع والضرب والرفع إلى قوة، ويبرهن بالاستقراء على خواصّها، ويبني الترتيب على الجمع. ويبيّن أن الطرح والقسمة ليسا ممكنين دائمًا بين الأعداد الطبيعية، وهو ما يمهّد للوحدة اللاحقة.
4. المجاميع والمتواليات والاستقراء. يقدّم رمز المجموع والمجاميع التلسكوبية والمتواليات، ويبرهن على أن الاستقراء العادي يستلزم الاستقراء القوي ومبدأ الترتيب الحسن، وعلى المعنى الذي يكافئانه به. وهذا الأخير، مبدأ الترتيب الحسن، سيكون أداة جلّ براهين الوجود في الوحدة.
5. قابلية القسمة والقسمة مع الباقي. يبرهن، بالترتيب الحسن، على أن لكل عدد صحيح خارج قسمة وباقيًا وحيدين، ويصنّف بذلك الأعداد الصحيحة بحسب باقيها، ويسوّغ قواعد قابلية القسمة.
6. الأعداد الأولية والمبرهنة الأساسية في الحساب. يبرهن على أن الأعداد الأولية لا نهائية، وعلى أن كل عدد طبيعي أكبر من $1$ يتحلّل إلى أعداد أولية بطريقة وحيدة، ويستنتج من ذلك، فيما يستنتج، أن الجذر التربيعي لعدد طبيعي ليس مربعًا كاملًا عدد غير نسبي.
7. القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر. يعرض خوارزمية إقليدس، التي تحسب القاسم المشترك الأكبر دون تحليل إلى عوامل، ويستنتج منها متطابقة بيزو، ويحلّ المعادلات الديوفانتية الخطية حلًّا تامًّا.
8. التطابقات والحساب النمطي. يحوّل القسمة مع الباقي إلى حساب: يكون عددان صحيحان متوافقين بترديد $n$ عندما يتركان الباقي نفسه، والتوافق يحترم الجمع والضرب، فتُحلّ مسائل كثيرة في قابلية القسمة بالعمل على البواقي وحدها.
9. أنظمة العدّ الموضعية. يبرهن على أن كل عدد طبيعي يُكتب بطريقة وحيدة في أيّ أساس، ويشرح لماذا تصحّ طرائق الحساب المدرسية، ولماذا تعمل الحواسيب في الأساس $2$.
10. التوافقيات وصيغة ذات الحدين لنيوتن. يعرّف عدد عناصر مجموعة منتهية، ويبرهن على مبدأي الجمع والضرب، ويعلّم بهما العدّ دون سرد، ويعرّف معاملات ذي الحدين، ويبرهن على صيغة ذات الحدين، التي تجمع الاستقراء والمجاميع والعدّ.

تُختتم الوحدة بدرس الخلاصة والتحديات، الذي يجمع ما تحقّق، ويعيد في تقييم الخروج الخاص به قياس مهارات تقييم الدخول، ويقترح مسائل أشدّ صعوبة تجمع بين عدة دروس.

الخلفية التاريخية

العدّ أقدم من الكتابة. فالعظام التي تحمل صفوفًا من الحزوز، مثل عظمة إيشانغو، التي عُثر عليها في الكونغو ويُقدَّر عمرها بنحو عشرين ألف سنة، كثيرًا ما تُفسَّر على أنها سجلات لكمّيات. واحتاجت الحضارات الحضرية الأولى إلى عدّ القطعان وقياس الحقول وتقسيم المحاصيل، فطوّرت بذلك أنظمة للعدّ: فمنذ نحو أربعة آلاف سنة كان كتبة بلاد الرافدين يستعملون نظام عدّ موضعيًا أساسه $60$، ولا يزال أثره باقيًا في قياس الزمن والزوايا.

وفي بلاد اليونان، ابتداءً من القرن السادس قبل الميلاد، درس الفيثاغوريون الأعداد لذاتها، لا بوصفها أدوات للحساب فحسب. فصنّفوا الأعداد المضلّعية، مثل الأعداد المثلثية $1$ و$3$ و$6$ و$10$، وهي المجاميع $1 + 2 + \cdots + n$، وميّزوا الأعداد الزوجية من الفردية. ونحو سنة 300 قبل الميلاد جمع إقليدس في الكتب من السابع إلى التاسع من الأصول حساب عصره، مرتّبًا ترتيبًا استنتاجيًا: الخوارزمية التي تحمل اسمه، والتوطئة التي مفادها أن العدد الأولي الذي يقسم جداءً يقسم أحد عوامله، والبرهان على أن الأعداد الأولية لا نهائية، وبناء الأعداد التامة الزوجية. وفي القرن الثالث قبل الميلاد ابتكر إراتوستينس القوريني غرباله للأعداد الأولية، وعلى الأرجح في القرن الثالث للميلاد درس ديوفانتس السكندري في كتابه الحساب معادلات يجب أن تكون حلولها أعدادًا صحيحة أو نسبية.

ونشأ نظام العدّ العشري الذي يتّخذ الصفر رقمًا في الهند، وعرضه الخوارزمي في القرن التاسع، ووصل إلى أوروبا، من بين طرق أخرى، عن طريق كتاب Liber Abaci لفيبوناتشي سنة 1202. وكان مثلث معاملات ذي الحدين معروفًا في الهند وفارس والصين قبل قرون من أن يخصّه باسكال، في منتصف القرن السابع عشر، بالرسالة التي أكسبته اسم باسكال في الغرب. غير أن الاستدلال بالاستقراء بوصفه طريقة صريحة للبرهان متأخر: فقد استعمله فرانشيسكو موروليكو في كتاب نُشر سنة 1575 ليثبت أن مجموع الأعداد الفردية الأولى مربع، وصاغه باسكال بوضوح في رسالته عن المثلث الحسابي. وفي القرن نفسه ابتكر فيرما طريقة النزول اللانهائي، وهي شكل من أشكال مبدأ الترتيب الحسن، ونحو سنة 1665 مدّ نيوتن صيغة ذات الحدين إلى الأسس الكسرية والسالبة. وفي سنة 1801 نشر غاوس كتابه Disquisitiones Arithmeticae، الذي صار به الحساب نظرية منهجية، وفيه أول برهان صريح على وحدانية التحليل إلى عوامل أولية.

وخلال القرن التاسع عشر أُعيد بناء التحليل الرياضي على قواعد حسابية: فعُرّفت الأعداد الحقيقية انطلاقًا من النسبية، كما فعل ديدكايند سنة 1872 بقطوعه، والنسبية انطلاقًا من الصحيحة، والصحيحة انطلاقًا من الطبيعية. فإذا كان الأمر كذلك، فإن البناء كله كان يستند إلى الأعداد الطبيعية، وبقي أن يُجاب عن سؤالين: ما هي، ومن أيّ مبادئ يُستنتج حسابها. وفي سنة 1861 كان هرمان غراسمان قد بيّن أن الجمع والضرب يمكن تعريفهما تراجعيًا انطلاقًا من التالي، وأن خواصّهما تُبرهَن بالاستقراء. وفي سنة 1888 نشر ريتشارد ديدكايند مقالته ما الأعداد وما فائدتها؟، التي تميّز الأعداد الطبيعية بالتالي والاستقراء، وفي سنة 1889 نشر جوزيبي بيانو باللاتينية كتابه Arithmetices principia, nova methodo exposita، وفيه قائمة المسلّمات التي تعتمدها هذه الدورة، والتي تبدأ، كما هناك، من $1$.

المسألة التي نشأت منها النظرية

الأعداد الطبيعية لا نهائية، وكل ما يهمّ تقريره عنها تقريبًا هو قضية تتعلّق بها جميعًا في آن واحد: أن الجمع تبديلي، وأن كل عدد طبيعي أكبر من $1$ يتحلّل إلى أعداد أولية، وأن مجموع الأعداد الفردية الـ$n$ الأولى هو $n^2$. ولا يمكن التحقّق من أيّ قضية من هذا النوع بفحص الحالات واحدة واحدة، لأن ذلك لن ينتهي أبدًا؛ والأخطر من ذلك أن التحقّق من حالات كثيرة، مهما كثرت، لا يسمح باستنتاج شيء عن الحالات الباقية. فالمسألة إذن هي الآتية: إذا أُعطيت خاصية $P$ للأعداد الطبيعية، فبأيّ مبادئ يمكن البرهنة على أن كل عدد طبيعي يحقّقها؟

ويبيّن المثال الآتي إلى أيّ حدّ يمكن أن تخدع عمليات التحقّق.

والجواب الذي قدّمه ديدكايند وبيانو يقوم على التصريح، بوصفه مسلّمة، بالمبدأ الذي يتيح الانتقال من المنتهي إلى اللانهائي: إذا صحّت خاصية من أجل $1$ وانتقلت من كل عدد طبيعي إلى تاليه، فإنها تصحّ من أجل الجميع. ومن ذلك يلزم برنامج محدّد، هو برنامج هذه الوحدة: تعريف العمليات بحيث تُردّ كل حالة إلى الحالة السابقة لها، والبرهنة بالاستقراء، أو بأحد المبادئ المكافئة له، على كل خاصية من خواصّها. غير أن للمسألة وجهًا ثانيًا يسري في الوحدة كلها: وجه العمليات العكسية. فالطرح والقسمة ليسا ممكنين دائمًا بين الأعداد الطبيعية، والسؤال عن متى يكونان ممكنين يقود إلى قابلية القسمة والأعداد الأولية والقاسم المشترك الأكبر؛ والسؤال عن كيفية تدارك ذلك يقود إلى الوحدة اللاحقة، التي توسّع الأعداد الطبيعية حتى الأعداد المركبة.

أهمية الأعداد الطبيعية

تعود نتائج الوحدة إلى الظهور في كل موضع داخل هذه الدورة. فدرس الأعداد الصحيحة يبنيها بوصفها أزواجًا من الأعداد الطبيعية، ودرس الأعداد النسبية يبنيها بوصفها أزواجًا من الأعداد الصحيحة؛ وقسمة كثيرات الحدود في درس جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا تحاكي القسمة مع الباقي، وقاعدة هورنر نابعة من الترقيم الموضعي. والحدّ الذي تعطيه صيغة ذات الحدين لـ$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ يمهّد لدرس العدد $e$. وتواصل الدورة التي تكمل هذه الدورة، الجبر والهندسة 2، استعمال هذه النتائج: ففي وحدتها عن الأعداد المركبة في الشكل القطبي تُبرهَن صيغة دي موافر بالاستقراء، وفي وحدتها عن المصفوفات والبنى الجبرية يحوّل درس البنى الجبرية بواقي القسمة على $n$ إلى حلقة، تكون حقلًا بالضبط عندما يكون $n$ أوليًا.

وخارج هذه الدورة، تُدرَس متتاليات التفاضل والتكامل 1 ومجاميعه برمز المجموع وبالاستقراء، وتُحسب مشتقة القوة بصيغة ذات الحدين. وفي أساسيات الميكانيكا، يتحوّل القانون الذي نشره غاليليو سنة 1638، ومفاده أن الجسم الساقط من السكون يقطع في فترات زمنية متساوية مسافات متناسبة مع الأعداد الفردية المتتالية $1, 3, 5, 7, \ldots$، بفضل مجموع الأعداد الفردية الأولى، إلى التناسب بين المسافة المقطوعة ومربع الزمن. والفائدة البسيطة والفائدة المركبة في الرياضيات المالية متتاليات حسابية وهندسية؛ وبرامج البرمجة بلغة C++ I تمثّل الأعداد في الأساس $2$، وتحسب البواقي، وتطبّق خوارزمية إقليدس، وتراجعها هو الفكرة نفسها التي في التعريفات التراجعية للجمع والضرب. وتدرس دورة المنطق الرياضي 1: منطق القضايا قواعد الاستنتاج التي تستعملها براهين الوحدة.

وفي العلم والتقنية، الأساس $2$ هو لغة كل حاسوب، وحساب البواقي تقوم عليه أرقام التحقق التي تُكتشف بها الأخطاء عند نسخ أرقام الوثائق أو الحسابات المصرفية أو الكتب. والنظام التشفيري الذي نشره ريفست وشامير وأدلمان سنة 1977، والذي يقوم عليه قسط كبير من أمن الاتصالات، يرتكز على تباين تتيح هذه الوحدة فهمه: فخوارزمية إقليدس تحسب بسرعة القاسم المشترك الأكبر لأعداد ذات مئات الأرقام، في حين لا تُعرف أيّ طريقة سريعة لتحليلها إلى عوامل. وأخيرًا، التوافقيات هي عماد حساب الاحتمالات، ومن خلاله عماد الإحصاء وجزء كبير من الفيزياء وعلم الأحياء.