Ratio stvdiorvm cvrsvs Algebrae et Geometriae II

Consilivm et discipvli

Hic cvrsvs altervm dimidivm est itineris qvod incipit a cvrsv Algebra et Geometria I: Nvmeri, Fvnctiones et Geometria Plani. Cvrsvs I, ab axiomatibvs Peani profectvs, genera nvmerorvm vsqve ad nvmeros complexos in forma binomiali constrvxit, algebram polynomiorvm, fvnctiones reales earvmqve delineationes, geometriam analyticam plani cvm vectoribvs et sectionibvs conicis svis, et fvnctiones exponentialem, logarithmicam et hyperbolicas. Cvrsvs II ea obiecta svmit et in tres regiones novas perdvcit: trigonometriam, qvae angvlos metitvr et conversiones in compvtationem vertit; nvmeros complexos forma polari, vbi ea compvtatio mvltiplicatio fit; et matrices, qvae systemata linearia et transformationes ordinant qvaeqve, vna cvm vectoribvs, geometriam analyticam spatii svstinent, qva cvrsvs finitvr.

Consilivm eivs idem est atqve cvrsvs I: non solvm docere compvtare, sed ostendere vnde qvaeqve compvtatio procedat. Qvisqve effectvs qvi adhibetvr envntiatvr et demonstratvr, avt expresse admissvs declaratvr cvm eivs demonstratio ad alivm cvrsvm pertinet; sic fit, exempli gratia, cvm theoremate fvndamentali algebrae vel cvm proprietatibvs longitvdinis arcvs, qvae calcvlvm reqvirvnt.

Dirigitvr ad qvemvis qvi cvrsvm I absolverit, vel eivs argvmenta alia via teneat: ad discipvlos vltimorvm annorvm scholae qvi ingressvm in vniversitatem praeparant, ad stvdiosos primi anni vniversitarii scientiarvm, artis ingeniariae, oeconomiae vel paedagogiae mathematicae, et ad qvemlibet qvi mathematicam, qvam vt congeriem praeceptorvm didicit, cvm rigore reficere velit. Qvod si ita est, cvrsvs vt nota svpponit completvdinem nvmerorvm realivm, stvdivm fvnctionvm cvm earvm inversis et transformationibvs delineationvm, rectam, vectores et prodvctvm scalare plani, sectiones conicas, exponentialem et logarithmvm, et arithmeticam nvmerorvm complexorvm in forma binomiali. Qvi de aliqvo horvm pvnctorvm dvbitat, ad synthesin vnitatis respondentis cvrsvs I redire potest eivsqve provocationes solvere anteqvam incipiat.

Atqvi cvrsvs etiam locvm transitvs tenet. Praereqvisitvm est cvrsvs Calcvlvs I: Calcvlvs Differentialis, qvi fvnctiones trigonometricas ab inaeqvalitate $\sin x < x < \tan x$ in parte 1 demonstrata derivat qviqve vicissim aperit cvrsvs Fvndamenta Mechanicae et Calcvlvs II: Calcvlvs Integralis, vbi motvs circvlaris, svbstitvtiones trigonometricae et areae in coordinatis polaribvs redevnt.

Proposita discendi generalia

Proposita qvae infra ponvntvr describvnt qvid discipvlvs qvi cvrsvm absolvit facere possit oporteat. Qvodqve vt actio observabilis formvlatvr, ita vt opere concreto confirmari possit; qvaeqve lectio vicissim sva proposita declarat, et lectio conclvsionis ostendit, lectione post lectionem, cvi ex his septem qvaeqve assignata sit. Proposita nvmerantvr vt ibi citari possint.

1. Propositvm 1. Envntiata trigonometriae, algebrae nvmerorvm complexorvm et matricvm, et geometriae analyticae ratiocinatione dedvctiva explicita demonstrare, adhibendo demonstrationem directam, contrapositionem, redvctionem ad absvrdvm et indvctionem, et in qvaqve demonstratione dedvcta ab admissis distingvere.
2. Propositvm 2. Trigonometriam ad mensvram angvlorvm et triangvlorvm adhibere, fvnctiones trigonometricas earvmqve inversas investigare, identitates demonstrare, aeqvationes et inaeqvationes trigonometricas solvtione generali data solvere et cvrvas in coordinatis polaribvs describere.
3. Propositvm 3. Geometriam plani instrvmentis cvrsvs investigare: angvlos rectarvm compvtare, terminvm mixtvm aeqvationis secvndi gradvs rotatione axivm tollere et sectionem conicam qvam definit classificare, et conversiones, homothetias, reflexiones et proiectiones per trigonometriam, nvmeros complexos et matrices exprimere.
4. Propositvm 4. Cvm nvmeris complexis forma polari et exponentiali operari, eorvm potentias et radices compvtare, eorvm operationes geometrice interpretari et aeqvationes polynomiales in corpore nvmerorvm complexorvm solvere.
5. Propositvm 5. Systemata aeqvationvm linearivm per matrices solvere, methodo Gavssii et Iordani, rango, determinantibvs et matrice inversa, et in generibvs nvmerorvm, polynomiis, matricibvs et residvis modvlo $n$ strvctvras gregis, anvli algebraici et corporis agnoscere.
6. Propositvm 6. Pvncta, vectores, rectas et plana spatii per coordinatas et aeqvationes repraesentare, prodvctis scalari, vectoriali et mixto vti, et per ea angvlos, distantias, areas et volvmina compvtare, positiones mvtvas rectarvm et planorvm per systemata linearia decernendo.
7. Propositvm 7. Res scientiae, artis technicae et vitae cotidianae instrvmentis cvrsvs mathematice effingere, et scripto commvnicare positiones, compvtationes et demonstrationes cvm notatione recta, argvmentatione integra et examine verisimilitvdinis eventvvm.

Proposita a 2 ad 6 magnis cvrsvs argvmentis in svmma respondent: secvndvm partibvs 1 et 2, qvartvm parti 3, qvintvm parti 4 et sextvm parti 5, dvm tertivm filvm colligit qvod partes 1 ad 4 percvrrit, geometriam plani svccessive per sinvs et cosinvs, per nvmeros complexos et per matrices consideratam. Primvm et septimvm, contra, transversalia svnt: non ad vnam vnitatem pertinent, sed in omnibvs exercentvr. Ex qvo seqvitvr vt eorvm assecvtio certae lectioni tribvi non possit, et vt per totvm cvrsvm colenda sint. Atqvi ambo etiam lectiones habent qvae eis praecipve servivnt: primo, syntheses, qvarvm medvlla catenam dedvctivam cvivsqve vnitatis reficit; septimo, lectiones in qvibvs positio problematvm ipsa materia est, ea de angvlo rectarvm eivsqve vsibvs et ea de systematibvs linearibvs.

Argvmenta

Cvrsvs in septem vnitates digeritvr. Prima et vltima iter circvmdant; qvinqve mediae argvmenta explicant. Qvaeqve earvm a lectione introdvctionis aperitvr, qvae lectiones svas, memoriam historicam idearvm svarvm, qvaestionem vnde ortae svnt et earvm momentvm praesentat, et lectione synthesis clavditvr, qvae catenam dedvctivam vnitatis reficit, eam cvm reliqvo cvrsv et cvm cvrsv I conectit et decem provocationes proponit difficiliores qvam problemata lectionvm.

Pars 0. Praesentatio cvrsvs

Constat ex hac lectione, qvae consilivm, proposita generalia, argvmenta, laborem et designationem cvrsvs statvit.

Pars 1. Fvnctiones trigonometricae et coordinatae polares

Propositvm eivs est fvnctiones trigonometricas in circvmferentia vnitaria definire, earvm delineationes et inversas investigare, triangvla solvere et cvrvas in coordinatis polaribvs describere.

1. Fvnctiones trigonometricae et coordinatae polares: introdvctio.
2. Angvli eorvmqve mensvra: gradvs et radiani.
3. Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
4. Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes.
5. Fvnctiones trigonometricae inversae.
6. Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
7. Coordinatae polares et cvrvae polares.
8. Trigonometria et coordinatae polares: synthesis et provocationes.

Pars 2. Trigonometria analytica

Propositvm eivs est fvnctiones trigonometricas in compvtationem algebraicam vertere, cvm identitatibvs, formvlis additionis, aeqvationibvs et inaeqvationibvs, eamqve ad angvlos rectarvm et ad sectiones conicas axibvs obliqvis adhibere.

1. Trigonometria analytica: introdvctio.
2. Identitates trigonometricae fvndamentales.
3. Formvlae additionis et svbtractionis, angvli dvpli et dimidii.
4. Transformatio svmmarvm in prodvcta et forma harmonica.
5. Aeqvationes et inaeqvationes trigonometricae.
6. Angvlvs dvarvm rectarvm et vsvs trigonometriae.
7. Rotatio axivm et aeqvatio generalis secvndi gradvs.
8. Trigonometria analytica: synthesis et provocationes.

Pars 3. Nvmeri complexi forma polari

Propositvm eivs est qvemqve nvmervm complexvm modvlo et argvmento svo describere, ita vt prodvctvm legatvr vt conversio cvm dilatatione, potentiae vt mvltipla angvli et radices vt polygona regvlaria, et hoc modo aeqvationes polynomiales solvere. Nvmeros complexos in forma binomiali resvmit, in parte 2 cvrsvs I constrvctos.

1. Nvmeri complexi forma polari: introdvctio.
2. Forma polaris nvmerorvm complexorvm.
3. Formvla Moivreana et potentiae nvmerorvm complexorvm.
4. Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
5. Exponentialis complexa et formvla Evleri.
6. Geometria per nvmeros complexos.
7. Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.
8. Nvmeri complexi forma polari: synthesis et provocationes.

Pars 4. Matrices et strvctvrae algebraicae

Propositvm eivs est tabvlam coefficientivm systematis linearis obiectvm operationibvs propriis praeditvm facere, per eam systemata solvere, matrices vt transformationes legere et qvod compvtationibvs vtrivsqve cvrsvs commvne est in notiones gregis, anvli algebraici et corporis contrahere.

1. Matrices et strvctvrae algebraicae: introdvctio.
2. Matrices et operationes cvm matricibvs.
3. Systemata linearia et methodvs Gavssii et Iordani.
4. Determinantia: proprietates et regvla Crameri.
5. Matrix inversa.
6. Matrices vt transformationes plani.
7. Nvmeri complexi vt matrices.
8. Strvctvrae algebraicae: greges, anvli et corpora.
9. Matrices et strvctvrae algebraicae: synthesis et provocationes.

Pars 5. Geometria analytica spatii

Propositvm eivs est geometriam analyticam plani in parte 4 cvrsvs I investigatam ad spativm extendere: pvncta et vectores tribvs coordinatis describere, a catalogo explicito factorvm admissorvm geometriae Evclideae spatii incipiendo; longitvdines et angvlos prodvcto scalari metiri, demonstrando angvlvm sic definitvm evm esse geometriae elementaris; ex determinante ordinis tertii prodvctvm vectoriale et prodvctvm mixtvm dvcere, cvm eorvm lectione vt area, vt volvmen et vt criterivm complanaritatis; rectas et plana per aeqvationes scribere et positiones eorvm mvtvas rango et theoremate Rovché-Frobenii partis 4 decernere; et distantias, angvlos, proiectiones et perpendicvlarem commvnem dvarvm rectarvm non coplanarivm compvtare, cvm vsibvs in mechanica, crystallographia, navigatione aeria et locatione per satellites. Haec vnitas sphaeram investigat, non avtem ceteras svperficies qvadricas (ellipsoidea, paraboloidea, hyperboloidea, conos et cylindros secvndi gradvs), qvae in hoc cvrsv non tractantvr; in ordinatione praesenti sitvs, earvm stvdivm ad Calcvlvs III pertinet.

1. Geometria analytica spatii: introdvctio.
2. Vectores in spatio et prodvctvm scalare.
3. Prodvctvm vectoriale et prodvctvm mixtvm.
4. Rectae et plana in spatio.
5. Distantiae, angvli et volvmina in spatio.
6. Geometria analytica spatii: synthesis et provocationes.

Pars 6. Conclvsio cvrsvs

Constat ex lectione Recognitio finalis cvrsvs Algebrae et Geometriae II, qvae septem proposita generalia in memoriam revocat et figvra ostendit cvi eorvm qvaeqve lectio cvrsvs assignata sit et qvae proposita singvlaria qvaeqve vnitas assecvta sit, et primvm conatvm probationvm finalivm per proposita colligit.

Labor et credita

Labor cvrsvs non horis expositionis metitvr, qvae in cvrsv asynchrono non svnt, sed toto labore discipvli: legere, demonstrationes seqvi, problemata solvere et repetere. Aestimatio nvmerat tempvs legendi textvm cvivsqve lectionis, viginti minvta in singvla problemata solvta, triginta qvinqve in singvla problemata proposita, qvadraginta qvinqve in singvlas provocationes et dvodecim in singvlas probationes initiales vel finales, et decimam portionem ad repetitionem addit.

Eventvs

Lectiones partivm 1 ad 5 in vniversvm $145$ problemata solvta, $145$ problemata proposita et $50$ provocationes continent. Labor per vnitates aestimatvs, ad horam rotvndatvs, hic est:

• Pars 0, praesentatio cvrsvs: $1$ hora.
• Pars 1, fvnctiones trigonometricae et coordinatae polares: $46$ horae.
• Pars 2, trigonometria analytica: $46$ horae.
• Pars 3, nvmeri complexi forma polari: $46$ horae.
• Pars 4, matrices et strvctvrae algebraicae: $54$ horae.
• Pars 5, geometria analytica spatii: $36$ horae.
• Pars 6, conclvsio cvrsvs: minvs qvam vna hora.

Pars 5 nvmero lectionvm brevissima est, sed qvattvor eivs lectiones argvmentorvm inter longissimas cvrsvs svnt. Svmma est circiter $230$ horarvm laboris discipvli. Hvnc nvmervm legere convenit vt id qvod est: aestimationem pro discipvlo qvi omnes demonstrationes stvdet et omnia problemata et provocationes solvit. Qvi iam aliqvid ex argvmentis tenet, vel se ad problemata proposita restringit provocationibvs non aggressis, mvlto minvs impendet; qvi argvmentvm primvm et sine consvetvdine demonstrandi stvdet, plvribvs egere potest.

Atqvi nvmervs $230$ horarvm nominalis est: is est qvi credita cvrsvs statvit, et lectionem textvs celeritate constanti et dodrantem horae in singvlas provocationes svpponit. Donec cvm discipvlis veris non metiatvr, spatio probabili comitari convenit. Si lectio dimidia celeritate svpposita procederet, vt fit cvm qvaeqve demonstratio charta et stilo rescribitvr, et qvaeqve provocatio septvaginta qvinqve minvta pro qvadraginta qvinqve postvlaret, eadem methodvs circiter $298$ horas daret. Itaqve labor exspectandvs inter circiter $230$ et circiter $300$ horas sitvs est. Terminvs svperior margo prvdens est, non mensvra; spativm corrigetvr cvm tempvs cognitvm erit qvod impendvnt qvi cvrsvm stvdent, et interea credita nvmero nominali compvtantvr.

Celeritas svasa

Ad celeritates nominandas, haec ratio et ratio cvrsvs I eodem ivdicio vtvntvr: stvdivm plenvm est annvs academicvs $60$ creditorvm, circiter $1650$ horae per qvadraginta fere hebdomades distribvtae, id est circiter $40$ horae in hebdomade, et stvdivm dimidivm eivs dimidivm, circiter $20$ horae in hebdomade. Ex qvo seqvitvr celeritas commendata vnivs semestris sedecim hebdomadvm, cvm circiter $14$ horis stvdii in hebdomade, pavlo plvs qvam tertia portione stvdii pleni et, itaqve, minvs qvam stvdio dimidio; cvm spatio probabili, a $14$ ad $19$ horas in hebdomade, ad stvdivm dimidivm accedit nec id attingit. Sic cvrsvs I et II dvo semestria continva occvpant. Celeritas laxior, circiter $7$ horarvm in hebdomade, cvrsvm in dvo semestria extendit; intenta, circiter $29$ horarvm in hebdomade, pavlo minvs qvam dodrans stvdii pleni, evm octo hebdomadibvs absolvit, qvod aeqvivalet labori discipvli qvi nvllam aliam disciplinam ardvam eodem tempore colit.

Credita

Credita hvivs sitvs totvm laborem metivntvr qvem cvrsvs ab eo qvi evm stvdet postvlat (legendi, problemata solvendi, provocationes aggrediendi et repetendi), non horas scholarvm. Singvla credita circiter $27{,}5$ horis laboris aeqvivalent, et annvs stvdii pleni $60$ creditis, id est circiter $1650$ horis; idem est ivdicivm qvo sectio svperior celeritates stvdendi nominat.

Atqvi, si $230$ horae aestimatae per $27{,}5$ dividvntvr, prodit nvmervs 8,4, qvi ad $8$ rotvndatvr. Si pro singvlis creditis spativm a $25$ ad $30$ horas laboris admittitvr, nvmervs $C$ creditorvm cvrsvs inter 7,7 et 9,2 circvmscribitvr:

Itaqve cvrsvs $8$ credita habet, pavlo plvs qvam octavam portionem anni stvdii pleni. Qvi solvm aliqvam portionem cvrsvs stvdere velit, indice horarvm per vnitates vti potest: partes 0 ad 4, exempli gratia, circiter $193$ horas complent, id est circiter $7$ credita.

Vtilitas eorvm practica est: sinvnt onvs cvrsvvm sitvs inter se comparare et decernere qvot simvl stvdere conveniat, ne tempvs qvod svppetit excedatvr. Stvdio dimidio per semestre sedecim hebdomadvm, id est circiter $320$ horis, exempli gratia, cvrsvs aggredi licet qvi simvl circiter $12$ credita efficivnt; stvdio pleno eivsdem semestris, circiter $23$.

Haec credita mensvra propria sitvs svnt ad stvdivm ordinandvm: nvlli systemati pvblico creditorvm respondent neqve agnitionem academicam vllivs institvtionis affervnt.

Designatio cvrsvs

Modvs

Cvrsvs asynchronvs est, in rete et celeritatis propriae: dies, sessiones vivas et terminos non habet, et qvisqve discipvlvs ea celeritate progreditvr qvam praeparatio et tempvs eivs sinvnt. Qvattvordecim lingvis sitvs offertvr, eadem mathematica in omnibvs: formvlae et gradvs demonstrationvm in qvaqve versione idem svnt, et solvs textvs vertitvr. Lectiones declarant qvas alias lectiones antea stvdvisse conveniat, etiam eas cvrsvs I a qvibvs pendent, ita vt ordo commendatvs explicitvs sit et confirmari possit.

Strvctvra lectionis

Omnes lectiones materiae eandem strvctvram seqvvntvr. Incipivnt a svmmario et a catalogo propositorvm discendi propriorvm, vt actiones observabiles formvlatorvm. Seqvvntvr theoria, cvm definitionibvs, theorematibvs accvrate envntiatis eorvmqve demonstrationibvs, et exempla. Demonstrationes et exempla vt reprodvctores gradatim exhibentvr: qvisqve gradvs versvm ratiocinationis scribit, terminos qvi intersvnt illvstrat et, cvm effectvi antecedenti innititvr, ad evm redit evmqve dvm legitvr illvstrat, ita vt memoria ratiocinationis in conspectv maneat; mvlta figvra comitantvr qvae qvoqve gradv mvtatvr. Lectionem clavdvnt qvinqve problemata solvta, cvm solvtione gradatim, et qvinqve problemata proposita, qvodqve cvm indicio complicato et deinde responso finali, vt discipvlvs eventvm svvm confirmet nec via ei aperiatvr; problemata proposita demonstrationis, post responsvm complicatam, solvtionem explicatam addvnt, qvam aperire convenit non nisi postqvam discipvlvs svam conscripsit.

Lectiones introdvctionis et synthesis strvctvram propriam habent. Introdvctio vnitatem, eivs historiam, qvaestionem vnde orta est et eivs momentvm praesentat; synthesis catenam dedvctivam vnitatis figvra reficit, cvm effectibvs qvos itervm adhibet et anvlis qvos demonstrat, eam cvm vnitatibvs antecedentibvs et cvm cvrsv I conectit, et decem provocationes proponit, qvamqve cvm indicio, responso finali et solvtione explicata complicata, qvae plvres lectiones conivngvnt et plvs inventionis postvlant qvam problemata proposita.

Lector vocis

Qvaeqve lectio voce alta avdiri potest lectore sitvs, qvi vocibvs ipsivs instrvmenti vtitvr: textvs legitvr sicvt scriptvs est et formvlae verbis pronvntiantvr. Hoc sinit lectionem procvl a qvadro repetere, demonstrationem avdiendo seqvi dvm reprodvctor gradatim spectatvr, et cvm impedimentis visvs stvdere.

Probatio

Cvrsvs neqve censvrae svbicit neqve testificatvr: probatio eivs in sitv formativa est. Problemata proposita sinvnt confirmare vtrvm proposita cvivsqve lectionis assecvta sint, et provocationes, vtrvm ea cvivsqve vnitatis. Qvaeqve ex qvinqve vnitatibvs praeterea probationem initialem in introdvctione sva et finalem in synthesi sva habet, ante provocationes: breves svi ipsivs aestimationes, in navigatro sine censvra correctas; initialis novem vel decem qvaestiones de vnitate habet, et praeterea dvas ad sex de eo qvod vnitas ex antecedentibvs vel ex cvrsv I vt notvm praesvpponit, finalis vndecim vel dvodecim; ambae indicant qvam lectionem post qvemqve errorem repetere oporteat et inter se comparantvr vt progressvs ostendatvr. Recognitio finalis primvm conatvm cvivsqve probationis finalis in tabvlam per propositvm generale colligit, qvae, vt illae, in navigatro discipvli tantvm servatvr. Confirmatio facvltatvm, cvm vi testificationis, postea et extra hvnc sitvm fiet, in alio svggestv.

Pro propositis generalibvs praeterea haec testimonia assecvtionis svadentvr, qvae qvisqve discipvlvs per se efficere potest:

• Propositvm 1: sine lectione consvlta demonstrationem theorematis cvrsvs conscribere, vt theorematis cosinvvm, formvlae Moivreanae vel vnicitatis matricis inversae.
• Propositvm 2: identitatem trigonometricam non trivialem demonstrare et aeqvationem trigonometricam solvtione generali data solvere.
• Propositvm 3: sectionem conicam qvam aeqvatio secvndi gradvs cvm termino mixto definit rotatione axivm classificare, et conversionem plani vt prodvctvm per nvmervm complexvm et vt matricem exprimere.
• Propositvm 4: radices $n$-tas nvmeri complexi compvtare, eas in plano repraesentare et aeqvationem cvbicam formvla Cardani solvere.
• Propositvm 5: systema lineare cvm parametro solvere, casibvs per rangvm disceptatis, et decernere vtrvm strvctvra algebraica data grex, anvlvs algebraicvs an corpvs sit.
• Propositvm 6: positionem mvtvam dvarvm rectarvm spatii et distantiam inter eas invenire, nec non volvmen tetraedri per vertices svos dati.
• Propositvm 7: solvtionem integram problematis qvod rem exemplari effingit conscribere, cvm positione, evolvtione, responso et examine verisimilitvdinis, ita vt alivs homo eam sine explicationibvs additis seqvi possit.

Qvomodo hic cvrsvs stvdendvs sit

Cvrsvs ita excogitatvs est vt ordine stvdeatvr. Qvaeqve vnitas antecedentes et cvrsvm I svpponit, et mvltae demonstrationes effectvs lectionvm antecedentivm citant, altervtrivs cvrsvs; lectionem praeterire cogit, serivs ocivs, ad eam redire.

Qvaeqve vnitas dvo pvncta examinis habet. Probatio initialis, initio introdvctionis, pvnctvm vnde proficiscitvr est: ei respondere convenit anteqvam vnitas stvdeatvr, nihil consvlendo, et lectiones notare ad qvas errores remittvnt, qvae maiorem cvram postvlant. Probatio finalis, in synthesi et ante provocationes, comparatio est: ei respondetvr lectionibvs perfectis, item nihil consvlendo, et cvm initiali comparatvr vt videatvr qvid mvtatvm sit et qvas lectiones repetere conveniat. In vtraqve primvs conatvs valet, qvi comparatvr et qvem tabvla recognitionis finalis colligit; posteriores conatvs iam responsis visis fivnt. Provocationes examen complent, qvia postvlant vt conivngatvr et conscribatvr qvod qvaestiones breves tantvm attingvnt. Ex qvo seqvitvr vt qvi se iam vnitatem tenere credat id vna probatione non decernat: si probatio eivs finalis solida est et provocationes synthesis solvit, ad vnitatem posteriorem transire potest; sin minvs, lectiones percvrrere convenit qvas illa et hae indicant.

In qvaqve lectione convenit primvm svmmarivm et proposita legere, qvae dicvnt qvid qvaeratvr; deinde theoriam charta et stilo stvdere, conando qvemqve gradvm demonstrationvm anticipare anteqvam reprodvctor evm scribat; problemata solvta temptare anteqvam eorvm solvtio inspiciatvr, et proposita sine avxilio solvere, indicivm non nisi conatv exhavsto aperiendo, et responsvm tantvm in fine, ad confirmandvm. Problema cvivs responsvm ante conatvm consvltvm est non solvtvm, sed lectvm est.

Provocationes difficiliores svnt qvam problemata lectionvm, et vsitatvm est vt qvaedam plvres conatvs diversis diebvs reqvirant. Non convenit in vna sine fine haerere: eam notare, progredi et postea ad eam redire saepe via brevissima est. Atqvi labor aestimatvs svpponit omnes serio temptari, et in eo conatv magna portio eivs qvod cvrsvs docere potest agitvr.

Postremo convenit scribere. Demonstrationem vel solvtionem integram conscribere, cvm praemissis et conclvsionibvs svis, sola via est sciendi vtrvm intellectvm sit, et est etiam septimvm ex propositis cvrsvs. Libellvs stvdii, in qvo definitiones et theoremata cvivsqve vnitatis verbis propriis rescribvntvr, optima materia repetitionis est qvam cvrsvs relinqvere potest, eritqve etiam magis in Calcvlo I, qvi ad omnia fere qvae hic demonstrantvr redibit.