Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Fvnctiones trigonometricae et coordinatae polares: introdvctio

Svmmarivm

Haec lectio cvrsvm Algebrae et Geometriae II eivsqve partem primam aperit, qvae fvnctionibvs trigonometricis et coordinatis polaribvs dicata est. Probationem initialem proponit, qvae initivm metitvr in sex lectionibvs partis et in eis qvae pars e cvrsv I nota esse ponit. Colligit qvae cvrsvs I stabilita relinqvit et sex lectiones partis exhibet eo ordine qvo discvntvr, a mensvra angvlorvm vsqve ad cvrvas polares et sectiones conicas qvarvm focvs in polo est, et explicat qvid qvaeqve demonstret et cvr magni momenti sit. Deinde memoriam historicam restitvit: astronomiam Graecam, qvae inaccessa metiri debebat et chordas arcvvm in tabvlas rettvlit; dimidiam chordam arcvs dvpli, qvam astronomi Indiae in centro calcvli posvervnt et qvae, per versiones Arabicas et Latinas, nomen sinvs accepit; trigonometriam vt disciplinam svi ivris, eivsqve mvtationem, saecvlo XVIII, in stvdivm fvnctionvm variabilis realis. Qvaestionem vnde orta est proponit, distantias ex angvlis compvtandi, triangvlo Aristarchi Samii, et finit indicando vbi hae notiones adhibeantvr in reliqvo cvrsv, in aliis cvrsibvs sitvs et in scientia et arte.

Proposita discendi

  1. Argvmentvm partis describere, singvlas eivs lectiones in serie collocando qvae a mensvra angvlorvm ad cvrvas polares pertinet.
  2. Originem astronomicam et geodaeticam trigonometriae et coordinatarvm polarivm explicare, earvmqve aetates praecipvas agnoscere, a tabvla chordarvm vsqve ad fvnctiones variabilis realis.
  3. Chordam arcvs per sinvm dimidii arcvs exprimere, et qvaestionem Aristarchi vt compvtationem qvotientis distantiarvm ex angvlo constitvere.
  4. Locos cvrsvs, aliorvm cvrsvvm et scientiae et artis agnoscere in qvibvs fvnctiones trigonometricae et coordinatae polares adhibentvr.

Probatio initialis

Anteqvam pars percvrratvr, initivm metiri expedit, sine vlla aestimatione. Decem primae qvaestiones sex lectiones argvmenti partis tangvnt: dvae fvnctiones inversas et dvae solvtionem triangvlorvm, qvae lectiones svnt qvibvs reliqvvs cvrsvs maxime nititvr; dvae fvnctiones trigonometricas earvmqve delineationes, qvarvm altera problema in re posita est qvod constitvendvm est; dvae coordinatas polares, qvarvm altera de aeqvatione polari sectionvm conicarvm agit; et singvlae vtramqve e reliqvis dvabvs lectionibvs. Eaedem facvltates in fine itervm metivntvr, in lectione synthesis. Sex postremae explorant qvae cvrsvs e cvrsv I nota esse ponit: completvdinem nvmerorvm realivm, inversam fvnctionis, rectam tangentem circvmferentiae et prodvctvm scalare, eccentricitatem ellipsis, exponentialem et logarithmvm per cosinvm hyperbolicvm, et qvotientem dvorvm nvmerorvm complexorvm in forma binomiali. Qvi in aliqva earvm erraverit, sciet ad qvam lectionem cvrsvs I ante initivm redire expediat, et qvi in aliqva e decem primis, in qva lectione partis morari debeat.

Probatio initialis

Antequam vnitatem incipias, pvnctvm vnde proficisceris metire. Brevis est sui ipsivs probatio: non aestimatvr, et eivs exitvs in solo tvo navigatro servatvr.

  1. Qvaestio 1In circvmferentia radii 99, qvanta est longitvdo arcvs qvem angvlvs ad centrvm 40∘40^\circ svbtendit?

  2. Qvaestio 2Si sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} et θ\theta in qvadrante secvndo iacet, compvtetvr tan⁡θ\tan \theta.

  3. Qvaestio 3Qvae est periodvs minima fvnctionis f(x)=3sin⁡(4x−π)+1f(x) = 3 \sin(4x - \pi) + 1?

  4. Qvaestio 4Massa ex elatere svspensa verticaliter oscillat. Altitvdo eivs svpra solvm vt sinvsoides temporis variat, inter 2020 et 6060 centimetra, periodo 44 secvndorvm, et pvnctvm svmmvm tempore t=1t = 1 attingit. Qvot secvnda cvivsqve oscillationis plvs qvam 5050 centimetra svpra solvm versatvr?

  5. Qvaestio 5Qvantvm valet arccos⁡(−32)\arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)?

  6. Qvaestio 6Qvantvm valet arcsin⁡(sin⁡5π7)\arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{7} \right)?

  7. Qvaestio 7In triangvlo, b=5b = 5, c=8c = 8 et angvlvs interiectvs est A=60∘A = 60^\circ. Compvtetvr latvs aa.

  8. Qvaestio 8Qvot triangvla svnt cvm A=30∘A = 30^\circ, c=10c = 10 et a=6a = 6?

  9. Qvaestio 9Qvae svnt coordinatae polares, cvm r>0r > 0 et θ\theta in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, pvncti cvivs coordinatae Cartesianae svnt (−1,3)\left( -1, \sqrt{3} \right)?

  10. Qvaestio 10Cvrva aeqvationis polaris r=215+2cos⁡θr = \frac{21}{5 + 2 \cos \theta} focvm in polo habet. Qvae cvrva est?

  11. Qvaestio 11Ex vnitatibvs prioribvsQvod est svpremvm copiae A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}?

  12. Qvaestio 12Ex vnitatibvs prioribvsQvae ex his restrictionibvs fvnctionis f(x)=x2f(x) = x^2 fvnctionem inversam habet?

  13. Qvaestio 13Ex vnitatibvs prioribvsQvae est aeqvatio rectae tangentis circvmferentiam x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 in eivs pvncto (3,4)(3, 4)?

  14. Qvaestio 14Ex vnitatibvs prioribvsQvae est eccentricitas ellipsis x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1?

  15. Qvaestio 15Ex vnitatibvs prioribvsSi t>0t > 0 et cosh⁡t=54\cosh t = \frac{5}{4}, qvantvm valet tt?

  16. Qvaestio 16Ex vnitatibvs prioribvsQvantvm valet qvotiens 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}?

Qvae vnitas continet

Hac parte incipit cvrsvs Algebrae et Geometriae II, qvi cvrsvm Algebra et Geometria I absolvtvm esse ponit. Ex eo qvinqve res affert qvae hic adhibentvr neqve itervm demonstrantvr. Prima svnt nvmeri reales vt corpvs ordinatvm completvm, cvm proprietate Archimedea et densitate rationalivm, qvae sinent omnem angvlvm ad primam conversionem redvcere et ad omnes angvlos extendere qvod de rationalibvs demonstratvr. Secvnda est stvdivm fvnctionvm: dominivm, copia imaginvm, compositio, inversa fvnctionis biiectivae et transformationes delineationvm, cvm tabvlis signorvm et factorizatione polynomiorvm. Tertia est geometria analytica plani: distantia, recta forma Cartesiana et parametrica, vectores cvm prodvcto scalari, circvmferentia et sectiones conicae cvm foco et directrice. Qvarta svnt fvnctiones exponentialis, logarithmica et hyperbolicae, qvarvm parametrizatio hyperbolae eam circvmferentiae praenvntiat. Qvinta svnt nvmeri complexi in forma binomiali, vt pvncta plani repraesentati, qvos haec pars parat vt modvlo et angvlo scribantvr.

Atqvi nvllvm ex his instrvmentis qvaestioni antiqvissimae respondet: dato angvlo, qvem qvotientem inter se servant latera triangvli rectangvli qvi evm continet? Haec pars ei respondet, et ex responso nascvntvr sex fvnctiones variabilis realis, earvm inversae, solvtio omnivm triangvlorvm et alter modvs pvncta plani nominandi. Lectiones hoc modo sese excipivnt.

  1. Lectio Angvli eorvmqve mensvra angvlos orientatos definit, qvi rotationes cvm sensv svo metivntvr et conversionem integram excedere possvnt, axioma percvrsvs circvmferentiae per longitvdinem arcvs envntiat, in qvo tota pars nititvr, et per id mensvram in radianis definit vt longitvdinem arcvs circvmferentiae vnitariae; formvlas arcvs et sectoris demonstrat, theorema angvli inscripti et redvctionem omnis angvli ad primam conversionem, qvae est divisio cvm residvo nvmerorvm realivm per 2π2\pi. Magni momenti est qvia radianvs est mensvra qvae omnes formvlas posteriores simplices reddit.
  2. Lectio Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria sinvm, cosinvm et tangentem primvm in triangvlo rectangvlo definit, per similitvdinem demonstrans ea a triangvlo non pendere, deinde pro omni nvmero reali, vt coordinatas pvncti circvmferentiae vnitariae; identitatem Pythagoricam, valores insignes et symmetrias demonstrat. In ea cardo totivs partis vertitvr: rationem geometricam in qvantitatem pro qvolibet angvlo definitam convertit.
  3. Lectio Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes sinvm, cosinvm et tangentem vt fvnctiones considerat, earvm periodos minimas demonstrat, delineationes constrvit et, areis comparatis, inaeqvalitatem sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x demonstrat. Sinvsoidibvs exemplar omnivm phaenomenorvm periodicorvm praebet.
  4. Lectio Fvnctiones trigonometricae inversae ex axiomate percvrsvs dedvcit cosinvm et sinvm in qvibvsdam intervallis stricte monotonos esse, fvnctiones ad ea restringit, arcvm sinvs, arcvm cosinvs et arcvm tangentis definit, et aeqvationes elementares in vna conversione solvit. Viam contrariam aperit: a ratione nota ad angvlvm qvi eam efficit.
  5. Lectio Solvtio triangvlorvm aream ex dvobvs lateribvs et angvlo interiecto demonstrat, theorema sinvvm, theorema cosinvvm et formvlam Heronis, et casvm ambigvvm dispvtat. Trigonometriam triangvli rectangvli ad omnia triangvla extendit et, prodvcto scalari, angvlvm dvorvm vectorvm metitvr.
  6. Lectio Coordinatae polares et cvrvae polares qvodqve pvnctvm distantia a polo et angvlo nominat, formvlas transitvs ad coordinatas Cartesianas dedvcit, cardioides, rosas, spiras et cochleas delineat, et aeqvationem polarem sectionvm conicarvm qvarvm focvs in polo est obtinet. Formam polarem nvmerorvm complexorvm et descriptionem orbitarvm praeparat.

Pars lectione synthesis et provocationvm finitvr, qvae demonstrata colligit, probatione finali metitvr qvae consecvta svnt respectv probationis initialis hvivs lectionis, et decem problemata difficiliora proponit.

Memoria historica

Trigonometria non vt capvt algebrae nata est, sed vt ars astronomiae. Vt positionem sidervm praedicerent et distantias qvae percvrri non possvnt metirentvr, astronomis opvs erat ab angvlis, qvi observantvr, ad longitvdines, qvae compvtantvr, transire; et geometria Graeca, qvae figvras regvla et circino constrvere sciebat, nvllvm modvm praebebat compvtandi, dato angvlo qvolibet, rationem inter dvo latera triangvli.

Tabvla chordarvm

Astronomia Graeca a Babylonia divisionem circvmferentiae in 360360 gradvs et calcvlvm basi sexagenaria accepit. Circa saecvlvm III ante aeram nostram, Aristarchvs Samivs argvmentis geometricis rationem inter distantias Solis et Lvnae aestimavit, et Eratosthenes circvmferentiam Terrae ex angvlo mensvs est, vt in lectione de angvlis eorvmqve mensvra videbitvr. Hipparcho Nicaeensi, saecvlo II ante aeram nostram, prima tabvla chordarvm tribvitvr: pro qvoqve angvlo ad centrvm, longitvdo chordae qvam in circvmferentia radii fixi svbtendit. Tabvla qvae servatvr est Clavdii Ptolemaei, qvi in Almagesto, saecvlo II aerae nostrae, chordas arcvvm per singvlos semigradvs dedit in circvmferentia radii 6060. Menelavs Alexandrinvs, circa annvm 100, calcvlvm ad triangvla in sphaera caelesti dvcta extenderat.

Chorda et sinvs eadem notitia dvobvs modis scripta svnt. Propositio infra posita id accvrate definit, et ostendit cvr transitvs ab altera ad altervm plvs qvam nominis mvtatio fverit: sinvs est dimidia chorda arcvs dvpli, et cathetvs triangvli rectangvli est.

PropositioChorda et sinvs

In circvmferentia radii 11 et centri OO, sit C(θ)C(\theta) longitvdo chordae qvae extrema AA et BB arcvs angvli ad centrvm θ\theta ivngit, cvm 0<θ<π0 < \theta < \pi. Tvm C(θ)=2sin⁡θ2C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}.

Demonstratio

  1. C(θ)=d⁡(A,B),d⁡(O,A)=d⁡(O,B)=1C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1

    Chorda est latvs angvlo θ\theta oppositvm in triangvlo verticvm OO, AA et BB, cvivs cetera dvo latera radii svnt.

  2. d⁡(A,M)=d⁡(M,B),∠AOM=∠MOB=θ2\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}

    Triangvlvm isosceles est; perpendicvlaris a OO ad chordam dvcta eam in pvncto medio MM secat et angvlvm ad centrvm in dvos angvlos aeqvales dividit, qvia triangvla verticvm OO, MM, AA et OO, MM, BB in MM rectangvla svnt, angvlos in AA et in BB aeqvales habent, cvm triangvlvm isosceles sit, et latvs OMOM commvne habent: per criterivm similitvdinis dvorvm angvlorvm similia svnt ratione 11.

  3. d⁡(M,B)=sin⁡θ2→C(θ)=2sin⁡θ2\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}

    In triangvlo rectangvlo verticvm OO, MM et BB, hypotenvsa est 11 et cathetvs angvlo θ2\frac{\theta}{2} opposita est dimidia chorda; per definitionem sinvs, haec cathetvs est sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2}.

  4. sin⁡α=12C(2α),60C(θ)=120sin⁡θ2\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}

    Retro lecta, posito θ=2α\theta = 2\alpha, aeqvalitas dicit sinvm angvli esse dimidiam chordam angvli dvpli; in circvmferentia radii 6060 Ptolemaei omnes longitvdines per 6060 mvltiplicantvr.

A dimidio arcv ad sinvm

Astronomi Indiae, vt Aryabhata circa annvm 500, dimidiam chordam arcvs dvpli, qvam iya appellavervnt, directo in tabvlas rettvlervnt, et ita cathetvm triangvli rectangvli pro chorda in centro calcvli posvervnt. Vocabvlvm in lingvam Arabicam transiit vt iiba, qvod in scriptvra sine vocalibvs cvm iaib confvsvm est, «plica» vel «sinvs» vestis, et interpretes Latini saecvli XII id per sinvs vertervnt, vnde nomen hodiernvm procedit. Astronomi orbis Islamici, inter saecvla IX et XI, inter qvos Albategnivs et Abv al-Wafa, tabvlas tangentis et cotangentis addidervnt, qvae ex stvdio vmbrarvm horologiorvm solarivm proveniebant; saecvlo XIII, Nasir al-Din al-Tvsi trigonometriam vt disciplinam ab astronomia seivnctam exposvit.

Trigonometria vt disciplina

In Evropa, Regiomontanvs circa annvm 1464 tractatvm de triangvlis omnis generis composvit, anno 1533 impressvm, qvi solvtionem triangvlorvm planorvm et sphaericorvm conivngebat; vocabvlvm trigonometria, «mensvra triangvlorvm», in titvlo operis Bartholomaei Pitisci anni 1595 apparet. Theorema cosinvvm longiorem historiam habet: Evclides, in libro II Elementorvm, theorema Pythagorae iam correxerat pro triangvlis acvtiangvlis et obtvsiangvlis per dvplvm rectangvli, ex latere et proiectione alterivs in id formati, qvod hodie scribitvr 2bccos⁡A2bc \cos A signo excepto, et saecvlo XV al-Kashi ei formam calcvlo aptam dedit. Formvla Heronis avtem in Metrica Heronis Alexandrini invenitvr, saecvlo I.

A rationibvs ad fvnctiones

Per saecvla, sinvs angvli fvit longitvdo in circvmferentia cvivs radivs ex convento statvebatvr, sexaginta avt aliqvot milionvm, pro tabvla. Calcvlvs infinitesimalis saecvli XVII ostendit formvlas simpliciores fieri si radivs est 11 et angvli longitvdine arcvs svi metivntvr, et Leonhardvs Evlervs, in opere Introdvctio in analysin infinitorvm anni 1748, sinvm et cosinvm vt fvnctiones variabilis realis tractavit, in circvmferentia vnitaria definitas, qvi est hvivs partis prospectvs; nomen radianvs pro vnitate mensvrae respondente posteriore dimidio saecvli XIX fictvm est. Inevnte saecvlo XIX, Iosephvs Fovrier, in theoria analytica caloris anno 1822 edita, contendit fvnctionem periodicam admodvm generalem vt svmmam sinvvm et cosinvvm scribi posse, et fvnctiones trigonometricae sermo omnivm phaenomenorvm periodicorvm factae svnt.

Coordinatae polares

Notio pvncti per distantiam a centro et per angvlvm describendi tam antiqva est qvam astronomia, et Archimedes, saecvlo III ante aeram nostram, spiram svam hoc ipso modo definivit: pvnctvm qvod a centro velocitate constanti recedit dvm semirecta qvae id fert velocitate constanti vertitvr. Vt systema coordinatarvm, tamen, saecvlo XVII apparent: Bonaventvra Cavalierivs et Gregorivs a Sancto Vincentio eis ad spiras investigandas vsi svnt, Isaacvs Newtonvs eas inter systemata nvmeravit qvibvs cvrvas describebat, et Iacobvs Bernovlli eas in operibvs svis exevnte illo saecvlo adhibvit; Evlervs eas saecvlo XVIII in systema redegit. Interea Iohannes Keplervs anno 1609 ediderat orbitam Martis ellipsin esse cvivs in altero foco Sol est, et aeqvatio polaris sectionvm conicarvm qvarvm focvs in polo est, qvae hanc partem clavdit, natvralis forma illivs legis est.

Qvaestio vnde ortae svnt

Qvaestio omnibvs his progressibvs commvnis sic envntiari potest: notis aliqvot angvlis et aliqvot longitvdinibvs figvrae, ceteras compvtare. Forma eivs simplicissima est triangvlvm rectangvlvm. Per similitvdinem, qvotiens dvorvm latervm ab angvlo acvto α\alpha tantvm pendet, ideoqve fvnctio est ipsivs α\alpha; sed ea fvnctio non est algebraica, non obtinetvr ex α\alpha svmmis, prodvctis avt radicibvs, et ideo in tabvlas referenda fvit. Exemplvm infra positvm, primvm notvm conamen systema solare metiendi, qvaestionem in statv pvro ostendit.

ExemplvmTriangvlvm Aristarchi

Cvm Lvna prorsvs dimidiata cernitvr, dimidivm disci eivs illvminatvm a latere cernitvr, et Sol, Lvna et Terra triangvlvm efficivnt in Lvna rectangvlvm. Aristarchvs, e Terra, angvlvm α\alpha inter directiones Lvnae et Solis mensvs est, et 87∘87^\circ invenit. Sint TT, LL et SS Terra, Lvna et Sol.

Demonstratio

  1. d⁡(T,S)2=d⁡(T,L)2+d⁡(L,S)2{\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2

    Triangvlvm verticvm TT, LL et SS in LL rectangvlvm est: distantia Terrae a Sole est hypotenvsa.

  2. d⁡(T,S)d⁡(T,L)=1cos⁡α=sec⁡α\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}

    Cathetvs angvlo α\alpha adiacens est distantia ad Lvnam; per definitionem cosinvs, qvotiens distantiae ad Solem et distantiae ad Lvnam ab α\alpha tantvm pendet.

  3. α=87∘→18<sec⁡87∘<20\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20

    Sine tabvlis cosinvvm, Aristarchvs qvotientem argvmentis geometricis circvmscripsit et conclvsit Solem inter 1818 et 2020 vicibvs longivs qvam Lvnam abesse. Secans angvli 87∘87^\circ est circiter 19,1, intra eivs margines.

  4. α→90∘→sec⁡α→∞\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty

    Methodvs sana erat, sed datvm non: angvlvs vervs ab angvlo recto minvs qvam sextante gradvs differt, et qvotiens vervs circa 390390 versatvr. Cvm α\alpha ad angvlvm rectvm accedit, Sol sine fine recedit secvndvm rectam qvae per Lvnam transit, et error minimvs in angvlo errorem ingentem in distantia efficit.

Cvm Sol et Lvna fere eandem magnitvdinem apparentem habeant, vt eclipses Solis totales ostendvnt, ratiocinatio Aristarchi etiam rationem inter eorvm diametros dabat, et cvm ea conclvsionem Solem mvlto maiorem esse qvam Terram. Exemplvm totam partem in semine continet: rationem inter latera qvae ab angvlo pendet, necessitatem eam dependentiam accvrate cognoscendi, et observationem qvasdam fvnctiones sine margine crescere prope valores angvli segregatos, qvae est asymptotvs verticalis secantis in lectione de fvnctionibvs trigonometricis earvmqve delineationibvs investigata.

Eadem qvaestio dvobvs aliis modis se offert, ex qvibvs reliqvae lectiones partis orivntvr. Primvs est inversvs: ratio nota est et angvlvs qvaeritvr, vt cvm declivitas viae metitvr et eivs inclinatio qvaeritvr; ei respondere postvlat vt fvnctiones non iniectivae invertantvr, et hoc est mvnvs fvnctionvm trigonometricarvm inversarvm. Secvndvs est id qvod vertitvr describere: planetam circa Solem, rotam, vndam qvae se repetit. Ad hoc expedit pvncta distantia a centro et directione nominare, non distantiis a dvobvs axibvs, et motvm periodicvm fvnctionibvs qvae se repetvnt exprimere; sic nascvntvr coordinatae polares et sinvsoides.

Momentvm

In reliqvo hoc cvrsv, pars 2, qvae a lectione de identitatibvs trigonometricis fvndamentalibvs incipit, formvlas sinvs et cosinvs svmmae demonstrat, aeqvationes trigonometricas generatim solvit et, per rotationem axivm, omnes aeqvationes secvndi gradvs dvarvm variabilivm in classes digerit. Pars 3, nvmeris complexis in forma polari dicata, qvemqve nvmervm complexvm modvlo et angvlo svo scribit, vt in lectione de forma polari nvmerorvm complexorvm, et potentias et radices ad modvlos mvltiplicandos et angvlos addendos redvcit; pars 4 rotationes plani per matrices repraesentat qvarvm coefficientes svnt sinvs et cosinvs, in lectione de matricibvs vt transformationibvs plani; et pars 5, de geometria analytica spatii, angvlvm dvorvm vectorvm spatii per eivs cosinvm metitvr, in lectione de vectoribvs in spatio et prodvcto scalari, eoqve vtitvr ad angvlos inter rectas et plana compvtandos.

In aliis cvrsibvs sitvs, inaeqvalitas sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x initivm est compvtationis derivatae sinvs in cvrsv Calcvlvs I, et longitvdines arcvvm, areae cvrvis polaribvs terminatae et svbstitvtiones trigonometricae in cvrsv Calcvlvs II investigantvr. Cvrsvs Fvndamenta Mechanicae vires et velocitates in componentes per sinvm et cosinvm resolvit, et motvm circvlarem per relationem inter velocitatem angvlarem et linearem investigat. In cvrsv Programmatio Lingva C++ I, bibliothecae mathematicae lingvae praeter sinvm, cosinvm et arcvm tangentis fvnctionem dvorvm argvmentorvm praebent qvae angvlvm polarem pvncti inter −π-\pi et π\pi reddit, eadem correctione pro qvadrante qvae in hac parte demonstratvr.

Extra mathematicam, trigonometria est instrvmentvm topographiae, navigationis et geodaesiae, qvae terram per triangvlationem metivntvr; coordinatae polares svnt eae qvibvs vtvntvr instrvmenta radiolocationis et systemata qvae obiectvm per distantiam et plagam eivs locant; et sinvsoides svnt sermo acvsticae, electricitatis alternae, telecommvnicationvm et tractationis signorvm et pictvrarvm, qvae omne signvm in oscillationes simplices secvndvm notionem Fovrier resolvvnt.