代数と幾何 I：学習計画

目的と対象者

このコースは、微分積分学と大学の数学に先立つ代数と幾何をまとめた二つのコースのうち、最初のものである。その目的は計算の仕方を教えることだけでなく、それぞれの計算がどこから来るのかを示すことにある。コースは自らの対象を既知と仮定せずに構成する。自然数についてのわずかな公理から出発し、拡張に拡張を重ねて、整数、有理数、実数、代数形式の複素数の算術、多項式と代数関数の代数、平面の解析幾何、そして最後に指数関数・対数関数・双曲線関数を導く。用いる結果はすべて述べて証明し、その証明が別のコースに属する場合は、認めた結果であることを明示する。

このコースは、大学に入る前に確かな準備をしたい学校教育の最終学年の生徒、理学、工学、経済学、数学教育を専攻する大学一年生、そして、かつて決まった手順の寄せ集めとして学んだ数学を厳密に組み立て直したいすべての人を対象とする。前提とするのは学校の算数だけである。すなわち、整数と分数の計算ができ、平面幾何の基本的な図形を見分けられることである。ただし、このコースは主張することのほとんどすべてを証明するので、数理論理学 I：命題論理のコースを先に学んでおくか、並行して学ぶことを勧める。そのコースは、明示的な結合子、量化子、推論規則を用いて証明を読み、組み立てることを教える。

そうであるならば、このコースはサイトの入口の位置を占め、三つのコースがこのコースに依存する。金融数学とR によるデータ分析は、このコースを唯一の前提科目とする。ここで構成する数列、数え上げ、方程式と連立一次方程式、指数関数、対数を用いるからである。三つ目はその続編である代数と幾何 II：三角法・複素数・空間幾何で、ここで得たものを受けて、三角関数、複素数の極形式、行列、空間の解析幾何を学ぶ。このことから、微分積分学 Iを目指す人は両方のコースを修めなければならないことが従う。そのコースは二つ目のコースを前提科目とするからである。

全体的な学習目標

以下の目標は、コースを修了した受講者ができるようになるべきことを述べる。各目標は観察可能な行為として定式化され、具体的な課題で確かめられるようにしてある。テーマを扱う各課はそれぞれ固有の目標を掲げ、それらは一つまたは複数の全体目標に資する。そして締めくくりの課は、各目標がどの単元とどの課で練習されるかを示す。八つの目標には、引用できるように番号を付ける。

1. 目標 1. 明示的な演繹的推論によって算術、代数、幾何の命題を証明する。その際、直接証明、対偶による証明、背理法、さまざまな形の帰納法、整列原理を用い、各証明において導かれたことと認めたことを区別する。
2. 目標 2. 集合、関係、関数の言葉で数の体系を構成する。すなわち、ペアノの公理によって定義される自然数、同値類としての整数と有理数、完備な順序体としての実数、実数の対としての複素数である。そして、解をもたないどの方程式が各拡張を動機づけ、その拡張でどの性質が得られ、あるいは失われるかを説明する。
3. 目標 3. 整数の算術を証明し、応用する。すなわち、余りのある割り算と整除性、素数と素因数分解の一意性、最大公約数と一次不定方程式、合同式、位取り記数法、組合せ的な数え上げである。
4. 目標 4. 代数式（累乗、累乗根、多項式、分数式）を変形し、一次の、多項式の、分数式の、累乗根を含む、絶対値を含む方程式、不等式、連立方程式を解く。その際、各変形の同値性を根拠づけ、解を検証する。
5. 目標 5. 実変数の実関数を調べ、その定義域、値域、符号、零点、漸近線、逆関数、合成を決定し、そのグラフを、特に既知のグラフの変換によって描く。
6. 目標 6. 平面の軌跡を方程式で表し、逆に、方程式が定める曲線を見分ける。すなわち、デカルト形式、ベクトル形式、媒介変数形式の直線、円、座標軸に平行な軸をもつ放物線、楕円、双曲線、そして不等式で定められる領域である。
7. 目標 7. 指数関数・対数関数・双曲線関数を用いて問題を解く。その際、それらの性質をその定義から導き、それらを含む方程式と不等式を解く。
8. 目標 8. 科学、技術、経済、日常生活の状況を、コースの道具（連立一次方程式、線形計画法、増加と減衰のモデル）によって数学的にモデル化し、問題の立式、計算、証明を、正しい記法、完全な論証、結果の妥当性の検討を伴って文章で伝える。

目標 2 から目標 7 は、本質的にはコースの大きな主題に対応する。これに対して第一の目標と第八の目標は横断的である。一つの単元に属するのではなく、すべての単元で練習される。このことから、その達成を一つの課に帰することはできず、コース全体を通じて養うのがよいことが従う。ただし、どちらの目標にも、主としてそれに資する課がある。第一の目標には、第 1 単元の導入（有限回の確認をいくら重ねても、すべての自然数についての主張が証明されないのはなぜかを示す）と、中心部分で各単元の演繹の鎖を再構成する五つのまとめの課がある。第八の目標には、問題の立式そのものが題材である課、すなわち状況をモデル化する連立一次方程式、線形計画法、増加のモデルの課がある。

内容

コースは七つの単元からなる。最初と最後の単元は全体の道のりの枠組みをなし、中間の五つの単元が内容を展開する。これらの各単元は導入の課で始まる。導入の課は単元の各課、その考え方の歴史的背景、それらを生んだ問題、その意義を示す。そして単元はまとめの課で閉じる。まとめの課は単元の演繹の鎖を再構成し、それをコースのほかの部分と結びつけ、各課の問題よりも難しい十の挑戦課題を出す。

第 0 単元 コースの紹介

この単元はこの課からなり、コースの目的、全体目標、内容、学習量、設計を定める。

第 1 単元 自然数

その目標は、集合、関係、関数の言葉を確立し、ペアノの公理から自然数と整数の算術を合同式まで導き、帰納法をコースの証明の道具として確立することである。

1. 自然数：導入。
2. 集合・関係・関数。
3. 自然数とペアノの公理。
4. 自然数の基本演算と順序関係。
5. 総和・数列・帰納法。
6. 整除と余りのある割り算。
7. 素数と算術の基本定理。
8. 最大公約数と最小公倍数。
9. 合同式とモジュラ算術。
10. 位取り記数法。
11. 初等的な組合せ論と二項定理。
12. 自然数：まとめと挑戦課題。

第 2 単元 数の集合

その目標は、自然数を複素数まで拡張すること、それも毎回それまで解をもたなかった方程式を解くために拡張すること、そして順序、絶対値、累乗、一次方程式を自在に扱えるようになることである。

1. 数の集合：導入。
2. 数の集合：自然数から複素数まで。
3. 整数：構成・符号・順序。
4. 有理数：分数とその演算。
5. 有理数の小数表示。
6. 実数直線：順序・区間・絶対値。
7. 有理数の指数と累乗根。
8. 一次方程式・一次不等式と連立一次方程式。
9. 複素数：演算と方程式。
10. 数の集合：まとめと挑戦課題。

第 3 単元 代数関数と多項式

その目標は、因数分解を、代数関数の根、符号、不等式、定義域、漸近線、グラフを決める道具にすることである。

1. 代数関数と多項式：導入。
2. 実変数の代数関数。
3. 関数の演算、逆関数とグラフの変換。
4. 実数係数の多項式の代数。
5. 二次多項式と 2n 次三項式の因数分解。
6. 高次多項式の根と組立除法。
7. 分数式と部分分数分解。
8. 符号表と不等式。
9. 有理関数：漸近線とグラフ。
10. 根号を含む関数：定義域・符号・グラフ。
11. 代数関数と多項式：まとめと挑戦課題。

第 4 単元 平面の解析幾何

その目標は、幾何的な性質を方程式に、方程式を曲線に翻訳することであり、直線から円錐曲線、そして線形計画法の領域にまで及ぶ。その空間における類似物である二次曲面は、このコースでもコース II でも扱わない（後者はそのうち球面だけを学ぶ）。サイトの現在の構成では、その研究は微分積分学 IIIに属する。

1. 平面の解析幾何：導入。
2. 直線の方程式と直交座標系。
3. 平面ベクトルと直線の媒介変数表示。
4. 放物線の方程式：定義と性質。
5. 放物線の特徴づけとグラフ。
6. 楕円と円の方程式。
7. 円：接線・位置関係・方べき。
8. 双曲線の方程式とその導出。
9. 円錐曲線：放物線・楕円・双曲線の特徴づけとグラフ。
10. 平面上の不等式と線形計画法。
11. 平面の解析幾何：まとめと挑戦課題。

第 5 単元 指数関数・対数関数・双曲線関数

その目標は、和を積に、積を和に変える関数を定義し、その性質を導き、それを増加のモデル化に用いることである。

1. 指数関数・対数関数・双曲線関数：導入。
2. 指数関数と実数の指数。
3. 数 e と自然指数関数。
4. 対数関数とその性質。
5. 指数・対数の方程式と不等式。
6. 指数的な増加と減衰のモデル。
7. 双曲線関数。
8. 指数関数・対数関数・双曲線関数：まとめと挑戦課題。

第 6 単元 コースのまとめ

この単元は代数と幾何 I：最終総括の課からなる。この課は八つの全体目標を振り返り、各目標がどの単元とどの課で練習されるかを図で示し、まとめテストの最初の解答を目標ごとにまとめ、学習がここからどこへ続くかを示す。

学習量と単位

コースの学習量は講義の時間で測るのではない。非同期のコースには講義の時間がないからである。測るのは受講者の作業の総量、すなわち読むこと、証明をたどること、問題を解くこと、復習することである。見積もりは、読む時間、例題を学ぶ時間、演習問題と挑戦課題に取り組む時間、単元テストに答える時間を考慮し、復習のための余裕を加える。

結果

コースの各課は全体で、例題 $212$ 題、演習問題 $210$ 題、挑戦課題 $50$ 題を含む。単元ごとの見積もり学習量は、時間単位に丸めると次のとおりである。

• 第 0 単元、コースの紹介：$1$ 時間。
• 第 1 単元、自然数：$69$ 時間。
• 第 2 単元、数の集合：$58$ 時間。
• 第 3 単元、代数関数と多項式：$63$ 時間。
• 第 4 単元、平面の解析幾何：$62$ 時間。
• 第 5 単元、指数関数・対数関数・双曲線関数：$46$ 時間。
• 第 6 単元、コースのまとめ：一時間未満。

合計はおよそ $299$ 時間の受講者の作業である。この数字は、あるがままに読むべきである。すなわち、すべての証明を学び、すべての問題と挑戦課題を解く受講者についての見積もりである。内容の一部をすでに身につけている人や、挑戦課題に取り組まず演習問題にとどめる人は、かなり少ない時間で済む。この主題を初めて学び、証明する習慣のない人は、より多くの時間を要するかもしれない。

ただし、$299$ 時間という数字は名目上のものである。コースの単位はこの数字で決まり、本文を一定の速さで読むこと、挑戦課題一題に四分の三時間をかけることを前提とする。実際の受講者で測定されるまでは、現実的な幅を添えておくのがよい。各証明を紙と鉛筆で書き直すときのように読む速さが想定の半分になり、挑戦課題一題に四十五分ではなく七十五分かかるとすれば、同じ見積もりはおよそ $370$ 時間になる。したがって、見込まれる学習量はおよそ $300$ 時間からおよそ $370$ 時間の間にある。上限は慎重な見積もりであって測定値ではない。この幅は、このコースを学ぶ人が実際にかける時間がわかった時点で修正し、それまでは名目上の数字で単位を計算する。

推奨するペース

ペースを呼び分けるため、この計画とコース II の計画は同じ基準を使う。フルタイムとは $60$ 単位の一学年の学習量、すなわちおよそ四十週にわたるおよそ $1650$ 時間、つまり週におよそ $40$ 時間であり、パートタイムはその半分、週におよそ $20$ 時間である。ここから、推奨するペースは十六週の一学期で、週におよそ $18$ 時間か $19$ 時間の学習となり、パートタイムをやや下回る。現実的な幅をとれば、週 $19$ 時間から $23$ 時間で、ほぼパートタイムにあたる。そのあとの学期は、代数と幾何 II のコースにあてることができる。よりゆとりのある選択肢として、ほかの要求の高い科目と両立させるために、コースを二学期に分けて、週におよそ $9$ 時間で学ぶこともできる。前半、すなわち第 0 単元から第 2 単元はおよそ $128$ 時間、後半、すなわち第 3 単元から第 6 単元はおよそ $171$ 時間を占めるので、二学期目は少し先行して始めるのがよい。

互換単位への換算

互換単位の制度は、コースを対面授業の時間ではなく、コースが受講者に求める作業の総量で測る。ある機関で修めた学業を別の機関で認定できるようにするためである。欧州単位互換累積制度は、ボローニャ宣言を受けて欧州の大学が採用したもので、フルタイムの一学年に $60$ 単位を割り当て、一単位を $25$ 時間から $30$ 時間の作業と定める。チリの互換単位制度は、チリの大学が同様の設計で採用したもので、やはり一学年に $60$ 単位を割り当て、一単位を $24$ 時間から $31$ 時間の作業と定める。

さて、見積もった $299$ 時間をそれぞれの範囲の両端で割ると、コースはおよそ $10$ から $12$ の欧州単位（10.0 から 12.0）、$10$ から $12$ のチリ互換単位（9.6 から 12.5）に相当する。両範囲の中央値である一単位あたり 27.5 時間を基準にとると、どちらの制度でも同じ数 10.9 が得られ、これを丸めると 11 になる。欧州単位については、単位数 $C$ は次のように挟まれる。

したがって、このコースには欧州単位 $11$ 単位とチリ互換単位 $11$ 単位を割り当てることを推奨する。これはフルタイムの一学年の六分の一をやや上回る。この数字は通常の一学期の代数の科目より大きいが、それはすべての証明を学ぶことが求められ、通常の課程では省かれがちな数の体系の構成を含むからである。

コースの設計

形態

コースは非同期、オンライン、自分のペースで進めるものである。日程もライブ授業も締め切りもなく、受講者はそれぞれの準備と時間が許す速さで進む。コースはサイトの十四の言語で提供され、どの言語でも数学は同じである。数式と証明の各段階はどの版でも同一で、訳されるのは本文だけである。各課は、先に学んでおくとよいほかの課を示すので、推奨される順序は明示されており、確かめることができる。

一つの課の構成

テーマを扱う課はすべて同じ構成をとる。まず概要と、観察可能な行為として定式化した固有の学習目標の一覧がある。続いて理論があり、定義、正確に述べられた定理とその証明、そして例からなる。証明と例はステップ再生器として示される。各ステップは推論の一行を書き、関わる項を強調し、先の結果に依拠するときはその結果に立ち返って、読んでいる間それを強調する。こうして推論の記憶が目に見える形で残る。多くの例には、ステップごとに変わる図が添えられる。課の最後には、段階を追った解答付きの例題が五題（第 3 単元の二つの課では六題）と、演習問題が五題ある。演習問題にはそれぞれ折りたたまれたヒントがあり、そのあとに最終的な答えが示されるので、受講者は解き方を明かされることなく自分の結果を確かめられる。証明を求める演習問題には、答えのあとに折りたたまれた詳しい解答が加わる。これは自分の解答を書き上げてから開くのがよい。

導入の課とまとめの課には固有の構成がある。導入は単元、その歴史、それを生んだ問題、その意義を示す。まとめは単元の演繹の鎖を再構成し、それを前後の単元と結びつけ、十の挑戦課題を出す。挑戦課題にはそれぞれヒント、最終的な答え、折りたたまれた詳しい解答があり、いくつかの課を組み合わせ、演習問題よりも多くの創意を求める。

音声読み上げ

各課は、端末自身の音声を使うサイトの読み上げ機能で、声に出して聞くことができる。本文は書かれたとおりに読まれ、数式は言葉で発音される。これにより、画面から離れて課を復習したり、ステップ再生器を見ながら聞いて証明をたどったり、視覚に制限があっても学んだりすることができる。

評価

このコースは成績をつけない。その学習の確かめ方は形成的なもので、自己診断に基づく。演習問題によって各課の目標の達成を、挑戦課題によって各単元の目標の達成を確かめることができる。

これに単元テストが加わる。導入テストは導入の課の初めにあり、単元についての十問からなる短い自己診断である。第 2 単元からは、単元が前の単元から既知とすることについての三問が加わる。導入テストは出発点を測る。まとめテストはまとめの課で挑戦課題の前にあり、十二問からなり、達成したことを測り、導入テストと比較される。どちらもブラウザの中で採点される。各解答には説明が付き、典型的な誤りにはそれを指摘する注意が付き、各問いは復習するとよい課を示す。どちらも成績をつけず、証明書も出さず、その結果は受講者のブラウザにだけ保存される。身につけた技能の認定は、のちに別のプラットフォームで行われる。五つの単元はいずれも両方のテストを含み、最終総括は各まとめテストの最初の解答を、全体目標ごとの概観にまとめる。

全体目標については、次のような達成の証拠を提案する。

• 目標 1：課を参照せずに、素数の無限性や余りのある割り算の一意性のようなコースの定理の証明と、帰納法を要する挑戦課題の証明を書く。
• 目標 2：自然数から複素数への各拡張をどの方程式が動機づけるかを文章で説明し、自然数の対の類によって定義される整数の加法が矛盾なく定義されていることを証明する。
• 目標 3：制約条件付きの一次不定方程式を解き、合同式を用いて大きな累乗の余りを計算する。
• 目標 4：分数不等式、または累乗根と絶対値を含む不等式を、各同値変形を根拠づけ、解を確かめながら解く。
• 目標 5：有理関数または累乗根を含む関数を完全に調べ、計算の道具を使わずにそのグラフを描き、そのあとで道具を使って確かめる。
• 目標 6：$xy$ の項を含まない二次の方程式が定める円錐曲線を、そのすべての要素とともに特定し、直線と円錐曲線で囲まれた領域を不等式で表す。
• 目標 7：定義域を確かめながら対数方程式を解き、定義から双曲線関数の恒等式を証明する。
• 目標 8：線形計画法の問題を立式して解くか、データに指数関数のモデルを当てはめ、立式、解く過程、答え、妥当性の検討を備えた完全な解答を、ほかの人が追加の説明なしにたどれるように書く。

このコースの学び方

このコースは順に学ぶように作られている。各単元はそれより前の単元を前提とし、多くの証明が先の課の結果を引用する。課を一つ飛ばすと、遅かれ早かれそこへ戻らなければならなくなる。

各単元には二つの確認点がある。導入テストは導入の課の初めにあり、出発点である。単元を学ぶ前に何も参照せずに答え、誤りが示す課を書き留めておくのがよい。それらがより注意を要する課である。まとめテストはまとめの課で挑戦課題の前にあり、照合である。各課を学び終えたときに、やはり何も参照せずに答え、導入テストと比べて、何が変わったか、どの課を復習するとよいかを見る。どちらも最初の解答が数えられる。比較されるのも、最終総括の概観にまとめられるのもそれである。それ以降の解答は、フィードバックを見たうえで行われる。挑戦課題は確認を完全なものにする。短い問いが触れるだけの内容を、組み合わせて書き表すことを求めるからである。このことから、ある単元をすでに身につけたと考える人も、一度のテストだけでそれを判断すべきではないことが従う。まとめテストの結果が確かで、まとめの課の挑戦課題が解けるなら、その先の単元に進んでよい。そうでなければ、両者が示す課を学び直すのがよい。

各課では、まず概要と目標を読むのがよい。それらは何を目指すかを述べている。そのうえで紙と鉛筆で理論を学び、再生器が書く前に証明の各ステップを予想するようにする。例題は解答を見る前に試み、演習問題は助けを借りずに解き、ヒントは試みが尽きたときにだけ開き、答えは最後に、確かめるためにだけ開く。試みる前に答えを見てしまった問題は、解いたのではなく、読んだのである。

挑戦課題は各課の問題よりも難しく、いくつかは日を改めて何度も試みる必要があるのが普通である。一つの課題にいつまでもとどまるのはよくない。それを書き留め、先へ進み、あとで戻ってくることが、しばしば最短の道である。ただし、見積もった学習量は、すべての課題に真剣に取り組むことを前提としており、コースが教えうることの大部分は、その努力にかかっている。

最後に、書くことを勧める。前提と結論を備えた証明や完全な解答を書くことは、理解したかどうかを知る唯一の方法であり、コースの第八の目標でもある。各単元の定義と定理を自分の言葉で書き直した学習ノートは、コースが残しうる最良の復習教材である。