自然数：導入 · Topos Uranos

要約

この課は、自然数を扱う単元の最初の課である。単元の十の課と、それらを結ぶ演繹の筋道を、集合の言葉とペアノの公理から二項定理まで紹介し、これらの考え方の歴史を、先史時代の数えることとユークリッドの算術から十九世紀末のデデキントとペアノによる公理化までたどり、それらを生んだ問題、すなわち無限に多くの数についての主張を一つずつ調べることなしに証明するという問題を正確に定式化し、それらがこのコース、サイトのほかのコース、そして科学と技術のどこで再び使われるかを示す。

学習目標

単元の内容の順序を述べ、各課が次の課に何をもたらすかを説明する。
自然数の算術の主な結果とその著者を、歴史的な文脈のなかに位置づける。
例を用いて、なぜ有限回の確認ではすべての自然数についての主張を証明できないのか、そして数学的帰納法の原理がどんな役割を果たすのかを説明する。
コースのほかの話題やほかの分野のなかに、単元が構築する道具を見いだす。

導入テスト

単元に取りかかる前に、出発点を測っておくとよい。このテストは自分の理解を確かめるためのものであり、採点はされず、学習の方向づけだけを目的とする。十の問いは、一問ずつ順に、単元の十の課を扱う。さらに第四問は、言葉で述べられた問題を和として立式することを求める。同じ技能は、最後のまとめの課で改めて測る。これはコースの最初の単元なので、前の単元についての問いはない。解けない問いは、立ち止まるとよい課を示している。

単元の内容

学習計画では、このコースが対象を既知のものと仮定せずに構成することを述べた。この最初の単元はその構成の土台である。数えるのに用いる数についてのわずかな公理から出発し、そこから自然数の算術全体を導く。それ以外に認めるわずかなことは、それぞれの箇所で明示的に宣言する。素朴集合論の規則と量化子の否定の規則、再帰によって定義される関数の存在（デデキントの再帰定理がこれを保証する）、有限集合の要素の個数の一意性とその部分集合の有限性（数え上げはこれに基づく）、有限個の積についての一般化された交換法則、そして整数・有理数・実数の初等的な規則（いくつかの例や問題が先取りして用い、次の単元で構成する）である。単元の十の課は鎖をなし、その各環は前の環に支えられている。

集合・関係・関数。コース全体を書き表す言葉を定める。集合とその演算、関係、とくに同値関係と順序関係、そして関数である。同値関係は次の単元で再び現れ、そこでは整数と有理数が対の同値類として構成される。
自然数とペアノの公理。 $1$ 、後者という演算、五つの公理によって自然数を定義する。その最後の公理が数学的帰納法の原理である。単元でこの先に続くすべては、これらの公理と、明示的に認めるわずかなことからの帰結である。
基本的な演算と順序関係。再帰定理を述べ、それによって加法、乗法、累乗を定義し、その性質を帰納法で証明し、順序を加法の上に基礎づける。減法と除法が自然数のあいだではつねに可能とは限らないことを示し、これが次の単元を予告する。
総和・数列・帰納法。総和記号、望遠鏡和、等差数列と等比数列を導入し、通常の帰納法から累積帰納法と整列原理が導かれること、そしてどんな意味でそれらが通常の帰納法と同値であるかを証明する。後者の整列原理は、単元のほとんどすべての存在証明の道具となる。
整除と余りのある割り算。整列原理を用いて、すべての整数がただ一つの商と余りをもつことを証明し、それによって整数を余りで分類し、倍数判定法を正当化する。
素数と算術の基本定理。素数が無限に多くあること、 $1$ より大きいすべての自然数がただ一通りに素数に分解されることを証明し、そこから、とりわけ、平方数でない自然数の平方根が無理数であることを導く。
最大公約数と最小公倍数。素因数分解をせずに最大公約数を計算するユークリッドの互除法を示し、そこからベズーの等式を導き、一次不定方程式を完全に解く。
合同式とモジュラ算術。余りのある割り算を計算に変える。二つの整数は、同じ余りを残すとき $n$ を法として合同であり、合同は加法と乗法を保つので、整除に関する多くの問題が余りだけを使って計算することで解ける。
位取り記数法。すべての自然数がどんな底でもただ一通りに書けることを証明し、学校で習う計算の手順がなぜ正しいのか、そしてなぜコンピュータが $2$ 進法で動くのかを説明する。
組合せ論と二項定理。有限集合の要素の個数を定義し、和の法則と積の法則を証明し、それらによって列挙せずに数える方法を教え、二項係数を定義し、帰納法・総和・数え上げを結びつける二項定理を証明する。

単元はまとめと挑戦課題の課で終わる。この課は達成したことをまとめ、そのまとめテストで導入テストの技能を再び測り、複数の課を組み合わせるより難しい問題を出す。

歴史的背景

数えることは書くことよりも古い。刻み目の列をもつ骨、たとえばコンゴで発見され、およそ二万年前のものと推定されるイシャンゴの骨は、しばしば量の記録と解釈される。最初の都市文明は、家畜の群れを数え、畑を測り、収穫を分ける必要があり、そのなかで記数法を発達させた。およそ四千年前には、メソポタミアの書記たちがすでに $60$ を底とする位取り記数法を用いており、その名残は時間と角度の測り方に今も残っている。

ギリシャでは、紀元前六世紀以降、ピタゴラス学派が数を計算の道具としてだけでなく、それ自体として研究した。彼らは図形数を分類した。たとえば三角数 $1$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $10$ は和 $1 + 2 + \cdots + n$ である。また彼らは偶数と奇数を区別した。紀元前 300 年ごろ、ユークリッドは『原論』の第 VII 巻から第 IX 巻に、その時代の算術を演繹的に整理してまとめた。そこには、彼の名を冠する互除法、素数が積を割り切るならばその因数のどれかを割り切るという補題、素数が無限に多くあることの証明、偶数の完全数の構成が含まれる。紀元前三世紀には、キュレネのエラトステネスが素数の篩を考案し、おそらく紀元三世紀には、アレクサンドリアのディオファントスが『算術』において、解が整数または有理数でなければならない方程式を研究した。

ゼロを数字として用いる十進記数法はインドで形成され、九世紀にフワーリズミーによって解説され、いくつかの経路を通ってヨーロッパに伝わった。その一つが 1202 年のフィボナッチの『Liber Abaci』である。二項係数の三角形は、十七世紀半ばにパスカルがそれに論考を捧げ、それによって西洋でパスカルの名で呼ばれるようになる何世紀も前に、インド、ペルシア、中国で知られていた。しかし、明示的な証明の方法としての帰納法による推論が現れるのは遅い。フランチェスコ・マウロリコは 1575 年に出版された著作のなかで、最初のいくつかの奇数の和が平方数であることを示すためにこれを用い、パスカルは算術三角形についての論考のなかでこれを明確に定式化した。同じ世紀に、フェルマーは整列原理の一つの形である無限降下法を考案し、1665 年ごろ、ニュートンは二項定理を分数の指数と負の指数に拡張した。1801 年、ガウスは『Disquisitiones Arithmeticae』を出版し、これによって算術は体系的な理論となった。そのなかに、素因数分解の一意性の最初の明示的な証明がある。

十九世紀のあいだに、解析学は算術的な基礎の上に再建された。実数は有理数から定義され（デデキントが 1872 年に切断によって行ったように）、有理数は整数から、整数は自然数から定義された。そうであるなら、構成全体は自然数に依拠しており、自然数とは何か、その算術はどんな原理から導かれるのかという問いに答えることが残っていた。1861 年に、ヘルマン・グラスマンは、加法と乗法が後者から再帰的に定義でき、その性質が帰納法で証明できることをすでに示していた。1888 年、リヒャルト・デデキントは論文『数とは何か、何の役に立つのか』を発表して、後者と帰納法によって自然数を特徴づけ、1889 年、ジュゼッペ・ペアノはラテン語で『Arithmetices principia, nova methodo exposita』を出版して、このコースが採用する公理の一覧を示した。この一覧は、そこでと同じく $1$ から始まる。

理論を生んだ問題

自然数は無限に多く、それについて主張したいことのほとんどすべては、すべての自然数について同時に成り立つという主張である。加法は可換である、 $1$ より大きいすべての自然数は素数に分解される、最初の $n$ 個の奇数の和は $n^2$ である、といった主張である。この種の主張はどれも、場合を一つずつ調べて確かめることはできない。終わることがないからである。さらに重大なことに、多くの場合を確かめても、それがどれほど多くても、残りの場合については何も結論できない。したがって問題は次のとおりである。自然数の性質 $P$ が与えられたとき、どんな原理によって、すべての自然数がそれを満たすことを証明できるか。

(\forall n \in \mathbb{N})\,P(n)

次の例は、確認がどれほど人を欺きうるかを示す。

例素数だけを生み出すように見える多項式

オイラーは十八世紀に、式 $n^2 + n + 41$ が値 $n = 1, 2, \ldots, 39$ のそれぞれに対して素数を生み出すことを指摘した。これがすべての自然数 $n$ に対して素数を生み出すかどうかが問われる。

証明

$1^2 + 1 + 41 = 43, \quad 2^2 + 2 + 41 = 47, \quad 3^2 + 3 + 41 = 53$
最初のいくつかの値は素数である。これは、平方がそれらの値を超えない素数で割ってみることで確かめられる。
$39^2 + 39 + 41 = \resaltar{1601}$
根気よく続ければ、確認は $n = 39$ まで延ばせる。三十九個の値はすべて素数であり、最後の値は $1601$ である。
$40^2 + 40 + 41 = \resaltar{40 \cdot 41} + 41 = \resaltar{41 \cdot 41}$
$n = 40$ のとき、最初の二つの項は共通因数 $40$ をもち、結果は $41$ の $41$ 倍である。
$41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot \resaltar{43}$
$n = 41$ のとき、破綻はさらに明らかである。三つの項がすべて $41$ の倍数だからである。
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$
三十九回の好ましい確認では足りなかった。この主張は偽である。これに対して、マウロリコが帰納法で証明した最初のいくつかの奇数の和の公式は、すべての自然数について成り立つ。それは多くの場合で確かめられたからではなく、すべての自然数を包含する原理から導かれるからである。

デデキントとペアノが与えた答えは、有限から無限へ移ることを可能にする原理を公理として宣言することにある。ある性質が $1$ について成り立ち、各自然数からその後者へ受け継がれるならば、それはすべての自然数について成り立つ。ここから明確な計画が導かれ、それがこの単元の計画である。各場合が直前の場合に帰着するように演算を定義し、その性質の一つ一つを、帰納法または同値な原理のいずれかによって証明することである。しかし、この問題には単元全体を貫く第二の側面がある。逆演算の側面である。減法と除法は自然数のあいだでつねに可能とは限らず、いつ可能かという問いは整除、素数、最大公約数へと導く。それをどう補うかという問いは次の単元へと導き、そこでは自然数を複素数にまで拡張する。

自然数の意義

このコースのなかでは、単元の結果が随所で再び現れる。整数についての課は整数を自然数の対として構成し、有理数についての課は有理数を整数の対として構成する。高次多項式の根についての課の多項式の割り算は余りのある割り算にならったものであり、ホーナー法は位取り記数法に由来する。 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ に対する二項定理による不等式は、数 $e$ についての課の準備となる。このコースの続編である代数と幾何 IIも、それらを使い続ける。その極形式の複素数についての単元では、ド・モアブルの公式が帰納法で証明され、行列と代数的構造についての単元では、代数的構造についての課が、 $n$ で割った余りを環にし、それはちょうど $n$ が素数のときに体になる。

このコースの外では、微分積分学 Iの数列と和は総和記号と帰納法で調べられ、累乗の導関数は二項定理で求められる。力学の基礎では、ガリレオが 1638 年に発表した法則、すなわち静止状態から落下する物体は等しい時間間隔ごとに、連続する奇数 $1, 3, 5, 7, \ldots$ に比例する距離を進むという法則が、最初のいくつかの奇数の和によって、進んだ距離と時間の二乗との比例関係に変わる。金融数学の単利と複利は等差数列と等比数列である。C++ プログラミング Iのプログラムは数を $2$ 進法で表し、余りを計算し、ユークリッドの互除法を適用する。そしてその再帰は、加法と乗法の再帰的定義と同じ考え方である。数理論理学 I：命題論理のコースは、単元の証明が用いる演繹規則を研究する。

科学と技術においては、 $2$ 進法はあらゆるコンピュータの言語であり、余りの算術は、書類や口座や書籍の番号を書き写すときの誤りを検出する検査数字を支えている。1977 年にリベスト、シャミア、エーデルマンが発表した暗号方式は、通信の安全の大部分を支えるものであり、この単元によって理解できる一つの対比に基づいている。ユークリッドの互除法は何百桁もの数の最大公約数をすばやく計算するのに対し、それらを素因数分解する速い方法は知られていない。最後に、組合せ論は確率の計算の基礎であり、それを通じて統計学の、そして物理学と生物学の大部分の基礎である。