Πρόγραμμα σπουδών της Άλγεβρας και γεωμετρίας I

Σκοπός και σε ποιους απευθύνεται

Ο κύκλος αυτός είναι ο πρώτος από τους δύο που συγκεντρώνουν την άλγεβρα και τη γεωμετρία που προηγούνται του απειροστικού λογισμού και των πανεπιστημιακών μαθηματικών. Σκοπός του δεν είναι μόνο να διδάξει πώς γίνονται οι υπολογισμοί, αλλά να δείξει από πού προέρχεται κάθε υπολογισμός: ο κύκλος κατασκευάζει τα αντικείμενά του αντί να τα θεωρεί γνωστά, ξεκινά από λίγα αξιώματα για τους φυσικούς αριθμούς και συνάγει από αυτά, επέκταση μετά από επέκταση, την αριθμητική των ακεραίων, των ρητών, των πραγματικών και των μιγαδικών σε αλγεβρική μορφή, την άλγεβρα των πολυωνύμων και τις αλγεβρικές συναρτήσεις, την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου και, τέλος, την εκθετική, τη λογαριθμική και τις υπερβολικές συναρτήσεις. Κάθε αποτέλεσμα που χρησιμοποιείται διατυπώνεται και αποδεικνύεται, ή δηλώνεται ρητά ότι γίνεται δεκτό όταν η απόδειξή του ανήκει σε άλλον κύκλο.

Απευθύνεται σε μαθητές των τελευταίων τάξεων της σχολικής εκπαίδευσης που επιθυμούν μια στέρεη προετοιμασία πριν εισαχθούν στο πανεπιστήμιο, σε φοιτητές του πρώτου πανεπιστημιακού έτους στις θετικές επιστήμες, στη μηχανική, στα οικονομικά ή στην παιδαγωγική των μαθηματικών, και σε όποιον θέλει να ανασυνθέσει με αυστηρότητα ένα μαθηματικό οικοδόμημα που έμαθε ως σύνολο συνταγών. Δεν προϋποθέτει τίποτε περισσότερο από τη σχολική αριθμητική: πράξεις με ακεραίους και κλάσματα, και αναγνώριση των στοιχειωδών σχημάτων της επίπεδης γεωμετρίας. Ωστόσο, επειδή ο κύκλος αποδεικνύει σχεδόν όλα όσα ισχυρίζεται, συνιστάται να έχει μελετηθεί πριν, ή να μελετάται παράλληλα, ο κύκλος Μαθηματική λογική I: προτασιακή λογική, που διδάσκει πώς διαβάζονται και πώς κατασκευάζονται οι αποδείξεις με ρητούς συνδέσμους, ποσοδείκτες και κανόνες συμπερασμού.

Αν αυτό ισχύει, ο κύκλος κατέχει θέση εισόδου στον ιστότοπο, και από αυτόν εξαρτώνται τρεις κύκλοι. Οι Χρηματοοικονομικά μαθηματικά και η Ανάλυση δεδομένων με R τον απαιτούν ως μοναδική προαπαιτούμενη γνώση, επειδή χρησιμοποιούν τις προόδους, την απαρίθμηση, τις εξισώσεις και τα γραμμικά συστήματα, την εκθετική συνάρτηση και τους λογαρίθμους που κατασκευάζονται εδώ. Ο τρίτος είναι η συνέχειά του, η Άλγεβρα και γεωμετρία II: τριγωνομετρία, μιγαδικοί αριθμοί και γεωμετρία του χώρου, που αξιοποιεί όσα επιτεύχθηκαν εδώ για να μελετήσει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, την πολική μορφή των μιγαδικών, τους πίνακες και την αναλυτική γεωμετρία του χώρου. Από αυτό προκύπτει ότι όποιος φιλοδοξεί να φτάσει στον Λογισμός I πρέπει να διατρέξει και τους δύο κύκλους, επειδή εκείνος ο κύκλος απαιτεί τον δεύτερο.

Γενικοί μαθησιακοί στόχοι

Οι στόχοι που ακολουθούν περιγράφουν τι πρέπει να μπορεί να κάνει ένας φοιτητής που ολοκληρώνει τον κύκλο. Ο καθένας διατυπώνεται ως παρατηρήσιμη επίδοση, ώστε να μπορεί να ελεγχθεί με μια συγκεκριμένη εργασία· κάθε θεματικό μάθημα δηλώνει, με τη σειρά του, τους δικούς του στόχους, που υπηρετούν έναν ή περισσότερους από τους γενικούς, και το μάθημα ολοκλήρωσης δείχνει σε ποιες ενότητες και μαθήματα δουλεύεται ο καθένας. Οι οκτώ στόχοι αριθμούνται ώστε να μπορούν να αναφέρονται.

1. Στόχος 1. Να αποδεικνύει προτάσεις της αριθμητικής, της άλγεβρας και της γεωμετρίας με ρητό παραγωγικό συλλογισμό, χρησιμοποιώντας την ευθεία απόδειξη, την αντιθετοαντιστροφή, την απαγωγή σε άτοπο, την επαγωγή στις διάφορες μορφές της και την αρχή της καλής διάταξης, και να διακρίνει σε κάθε απόδειξη όσα συνάγονται από όσα γίνονται δεκτά.
2. Στόχος 2. Να κατασκευάζει τα αριθμητικά συστήματα με τη γλώσσα των συνόλων, των σχέσεων και των συναρτήσεων: τους φυσικούς, που ορίζονται από τα αξιώματα του Πεάνο, τους ακεραίους και τους ρητούς ως κλάσεις ισοδυναμίας, τους πραγματικούς ως πλήρες διατεταγμένο σώμα και τους μιγαδικούς ως ζεύγη πραγματικών· να εξηγεί ποια εξίσωση χωρίς λύση παρακινεί κάθε επέκταση και ποια ιδιότητα κερδίζεται ή χάνεται σε αυτήν.
3. Στόχος 3. Να αποδεικνύει και να εφαρμόζει την αριθμητική των ακεραίων: την ευκλείδεια διαίρεση και τη διαιρετότητα, τους πρώτους αριθμούς και τη μοναδικότητα της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων, τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και τις γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις, τις ισοτιμίες, τη θεσιακή αρίθμηση και τη συνδυαστική απαρίθμηση.
4. Στόχος 4. Να μετασχηματίζει αλγεβρικές παραστάσεις (δυνάμεις, ριζικά, πολυώνυμα και ρητές παραστάσεις) και να επιλύει εξισώσεις, ανισώσεις και συστήματα πρώτου βαθμού, πολυωνυμικά, ρητά, με ριζικά και με απόλυτη τιμή, τεκμηριώνοντας την ισοδυναμία κάθε μετάβασης και επαληθεύοντας τις λύσεις.
5. Στόχος 5. Να αναλύει πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής, προσδιορίζοντας το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών, τα πρόσημα, τις ρίζες, τις ασύμπτωτες, την αντίστροφη και τη σύνθεσή τους, και να παριστάνει τη γραφική τους παράσταση, ιδίως μέσω μετασχηματισμών γνωστών γραφικών παραστάσεων.
6. Στόχος 6. Να παριστάνει γεωμετρικούς τόπους του επιπέδου με εξισώσεις και, αντίστροφα, να αναγνωρίζει την καμπύλη που ορίζει μια εξίσωση: ευθείες σε καρτεσιανή, διανυσματική και παραμετρική μορφή, κύκλους, παραβολές, ελλείψεις και υπερβολές με άξονες παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων, και περιοχές που ορίζονται από ανισώσεις.
7. Στόχος 7. Να επιλύει προβλήματα με την εκθετική, τη λογαριθμική και τις υπερβολικές συναρτήσεις, συνάγοντας τις ιδιότητές τους από τους ορισμούς τους και επιλύοντας τις εξισώσεις και τις ανισώσεις που τις περιέχουν.
8. Στόχος 8. Να μοντελοποιεί μαθηματικά καταστάσεις της επιστήμης, της τεχνικής, της οικονομίας και της καθημερινής ζωής με τα εργαλεία του κύκλου (γραμμικά συστήματα, γραμμικός προγραμματισμός, μοντέλα αύξησης και απόσβεσης), και να επικοινωνεί γραπτώς τις διατυπώσεις, τους υπολογισμούς και τις αποδείξεις με σωστό συμβολισμό, πλήρη επιχειρηματολογία και έλεγχο της αληθοφάνειας των αποτελεσμάτων.

Οι στόχοι 2 έως 7 αντιστοιχούν, κατά βάση, στα μεγάλα θέματα του κύκλου· ο πρώτος και ο όγδοος, αντίθετα, είναι εγκάρσιοι: δεν ανήκουν σε μία ενότητα, αλλά ασκούνται σε όλες. Από αυτό προκύπτει ότι η επίτευξή τους δεν μπορεί να αποδοθεί σε ένα μόνο μάθημα, και ότι αξίζει να καλλιεργούνται σε όλη τη διάρκεια του κύκλου. Ωστόσο, και οι δύο έχουν επίσης μαθήματα που τους υπηρετούν κατά κύριο λόγο: τον πρώτο, η εισαγωγή της ενότητας 1, που δείχνει γιατί κανένα πεπερασμένο πλήθος ελέγχων δεν αποδεικνύει έναν ισχυρισμό για όλους τους φυσικούς, και οι πέντε συνθέσεις, των οποίων ο κεντρικός πυρήνας ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα κάθε ενότητας· τον όγδοο, εκείνα στα οποία η διατύπωση ενός προβλήματος είναι η ίδια η ύλη: τα γραμμικά συστήματα που μοντελοποιούν καταστάσεις, ο γραμμικός προγραμματισμός και τα μοντέλα αύξησης.

Περιεχόμενα

Ο κύκλος οργανώνεται σε επτά ενότητες. Η πρώτη και η τελευταία πλαισιώνουν τη διαδρομή· οι πέντε ενδιάμεσες αναπτύσσουν τα περιεχόμενα. Καθεμιά από αυτές ανοίγει με ένα εισαγωγικό μάθημα, που παρουσιάζει τα μαθήματά της, το ιστορικό υπόβαθρο των ιδεών της, το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκαν και τη σημασία τους, και κλείνει με ένα μάθημα σύνθεσης, που ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, τη συνδέει με τον υπόλοιπο κύκλο και προτείνει δέκα προκλήσεις μεγαλύτερης δυσκολίας από τα προβλήματα των μαθημάτων.

Ενότητα 0. Παρουσίαση του μαθήματος

Αποτελείται από αυτό το μάθημα, που ορίζει τον σκοπό, τους γενικούς στόχους, τα περιεχόμενα, τον φόρτο και τον σχεδιασμό του κύκλου.

Ενότητα 1. Οι φυσικοί αριθμοί

Στόχος της είναι να καθιερώσει τη γλώσσα των συνόλων, των σχέσεων και των συναρτήσεων, να συναγάγει από τα αξιώματα του Πεάνο την αριθμητική των φυσικών και των ακεραίων, ως τις ισοτιμίες, και να θεμελιώσει την επαγωγή ως το εργαλείο απόδειξης του κύκλου.

1. Οι φυσικοί αριθμοί: εισαγωγή.
2. Σύνολα, σχέσεις και συναρτήσεις.
3. Οι φυσικοί αριθμοί και τα αξιώματα του Πεάνο.
4. Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς και σχέσεις διάταξης.
5. Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή.
6. Διαιρετότητα και διαίρεση με υπόλοιπο.
7. Πρώτοι αριθμοί και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.
8. Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
9. Ισοτιμίες και αριθμητική υπολοίπων.
10. Θεσιακά συστήματα αρίθμησης.
11. Στοιχειώδης συνδυαστική και το διώνυμο του Νεύτωνα.
12. Οι φυσικοί αριθμοί: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 2. Τα σύνολα αριθμών

Στόχος της είναι να επεκτείνει τους φυσικούς ως τους μιγαδικούς, κάθε φορά για να λυθεί μια εξίσωση που δεν είχε λύση, και να κατακτήσει τη διάταξη, την απόλυτη τιμή, τις δυνάμεις και τις εξισώσεις πρώτου βαθμού.

1. Τα σύνολα αριθμών: εισαγωγή.
2. Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς.
3. Οι ακέραιοι αριθμοί: κατασκευή, πρόσημα και διάταξη.
4. Οι ρητοί αριθμοί: κλάσματα και οι πράξεις τους.
5. Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών.
6. Η πραγματική ευθεία: διάταξη, διαστήματα και απόλυτη τιμή.
7. Δυνάμεις με ρητό εκθέτη και ριζικά.
8. Εξισώσεις και ανισώσεις πρώτου βαθμού και γραμμικά συστήματα.
9. Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις.
10. Τα σύνολα αριθμών: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 3. Αλγεβρικές συναρτήσεις και πολυώνυμα

Στόχος της είναι να κάνει την παραγοντοποίηση το εργαλείο που κρίνει ρίζες, πρόσημα, ανισώσεις, πεδία ορισμού, ασύμπτωτες και γραφικές παραστάσεις των αλγεβρικών συναρτήσεων.

1. Αλγεβρικές συναρτήσεις και πολυώνυμα: εισαγωγή.
2. Αλγεβρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
3. Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων.
4. Άλγεβρα πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.
5. Δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και τριώνυμο βαθμού 2n: παραγοντοποίηση.
6. Ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού και συνθετική διαίρεση.
7. Αλγεβρικά κλάσματα και ανάλυση σε απλά κλάσματα.
8. Πίνακες προσήμων και ανισώσεις.
9. Ρητές συναρτήσεις: ασύμπτωτες και γραφική παράσταση.
10. Συναρτήσεις με ρίζες: πεδίο ορισμού, πρόσημα, γραφική παράσταση.
11. Αλγεβρικές συναρτήσεις και πολυώνυμα: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 4. Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου

Στόχος της είναι να μεταφράσει τις γεωμετρικές ιδιότητες σε εξισώσεις και τις εξισώσεις σε καμπύλες, από την ευθεία ως τις κωνικές τομές και τις περιοχές του γραμμικού προγραμματισμού. Τα ανάλογά τους στον χώρο, οι δευτεροβάθμιες επιφάνειες, δεν εξετάζονται σε αυτόν τον κύκλο ούτε στον κύκλο II, που μελετά από αυτές μόνο τη σφαίρα· στη σημερινή οργάνωση του ιστότοπου, η μελέτη τους ανήκει στον Λογισμός III.

1. Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου: εισαγωγή.
2. Η εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα.
3. Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.
4. Η εξίσωση της παραβολής: ορισμοί και ιδιότητες.
5. Χαρακτηρισμός των παραβολών και οι γραφικές τους παραστάσεις.
6. Η εξίσωση της έλλειψης και του κύκλου.
7. Ο κύκλος: εφαπτόμενες, σχετικές θέσεις και δύναμη σημείου.
8. Η εξίσωση της υπερβολής και η εξαγωγή της.
9. Κωνικές τομές: χαρακτηρισμός και γραφικές παραστάσεις.
10. Ανισώσεις στο επίπεδο και γραμμικός προγραμματισμός.
11. Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 5. Εκθετική, λογαριθμική και υπερβολικές συναρτήσεις

Στόχος της είναι να ορίσει τις συναρτήσεις που μετατρέπουν τα αθροίσματα σε γινόμενα και τα γινόμενα σε αθροίσματα, να συναγάγει τις ιδιότητές τους και να τις χρησιμοποιήσει στη μοντελοποίηση της αύξησης.

1. Εκθετική, λογαριθμική και υπερβολικές συναρτήσεις: εισαγωγή.
2. Η εκθετική συνάρτηση και η δύναμη με πραγματικό εκθέτη.
3. Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.
4. Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.
5. Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.
6. Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης.
7. Οι υπερβολικές συναρτήσεις.
8. Εκθετική, λογαριθμική και υπερβολικές: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 6. Ολοκλήρωση του μαθήματος

Αποτελείται από το μάθημα Τελικός απολογισμός της Άλγεβρας και γεωμετρίας I, που υπενθυμίζει τους οκτώ γενικούς στόχους, δείχνει σε ένα σχήμα σε ποιες ενότητες και μαθήματα δουλεύεται ο καθένας, συγκεντρώνει ανά στόχο την πρώτη προσπάθεια των τελικών αξιολογήσεων και υποδεικνύει πού συνεχίζεται η μελέτη.

Φόρτος εργασίας και πιστωτικές μονάδες

Ο φόρτος ενός κύκλου δεν μετριέται με τις ώρες παράδοσης, που σε έναν ασύγχρονο κύκλο δεν υπάρχουν, αλλά με τη συνολική εργασία του φοιτητή: ανάγνωση, παρακολούθηση των αποδείξεων, επίλυση προβλημάτων και επανάληψη. Η εκτίμηση λαμβάνει υπόψη τον χρόνο ανάγνωσης, μελέτης των λυμένων προβλημάτων, εργασίας στα προτεινόμενα και στις προκλήσεις και απάντησης στις αξιολογήσεις ενότητας, με ένα περιθώριο για την επανάληψη.

Αποτελέσματα

Τα μαθήματα του κύκλου περιέχουν συνολικά $212$ λυμένα προβλήματα, $210$ προτεινόμενα προβλήματα και $50$ προκλήσεις. Ο εκτιμώμενος φόρτος ανά ενότητα, στρογγυλεμένος στην ώρα, είναι ο εξής:

• Ενότητα 0, παρουσίαση του μαθήματος: $1$ ώρα.
• Ενότητα 1, οι φυσικοί αριθμοί: $69$ ώρες.
• Ενότητα 2, τα σύνολα αριθμών: $58$ ώρες.
• Ενότητα 3, αλγεβρικές συναρτήσεις και πολυώνυμα: $63$ ώρες.
• Ενότητα 4, αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου: $62$ ώρες.
• Ενότητα 5, εκθετική, λογαριθμική και υπερβολικές συναρτήσεις: $46$ ώρες.
• Ενότητα 6, ολοκλήρωση του μαθήματος: λιγότερο από μία ώρα.

Το σύνολο είναι περίπου $299$ ώρες εργασίας του φοιτητή. Τον αριθμό αυτόν πρέπει να τον διαβάζει κανείς ως αυτό που είναι: μια εκτίμηση για έναν φοιτητή που μελετά όλες τις αποδείξεις και λύνει όλα τα προβλήματα και τις προκλήσεις. Όποιος κατέχει ήδη μέρος των περιεχομένων, ή περιορίζεται στα προτεινόμενα προβλήματα χωρίς να καταπιάνεται με τις προκλήσεις, θα χρειαστεί αρκετά λιγότερο· όποιος μελετά το θέμα για πρώτη φορά και χωρίς συνήθεια στις αποδείξεις μπορεί να χρειαστεί περισσότερο.

Ωστόσο, ο αριθμός των $299$ ωρών είναι ονομαστικός: είναι αυτός που καθορίζει τις πιστωτικές μονάδες του κύκλου, και προϋποθέτει ανάγνωση του κειμένου με σταθερό ρυθμό και τρία τέταρτα της ώρας ανά πρόκληση. Όσο δεν έχει μετρηθεί με πραγματικούς φοιτητές, αξίζει να συνοδεύεται από ένα ρεαλιστικό εύρος. Αν η ανάγνωση προχωρούσε με τον μισό από τον υποτιθέμενο ρυθμό, όπως συμβαίνει όταν κάθε απόδειξη ξαναγράφεται με χαρτί και μολύβι, και κάθε πρόκληση απαιτούσε εβδομήντα πέντε λεπτά αντί για σαράντα πέντε, η ίδια εκτίμηση θα έδινε περίπου $370$ ώρες. Επομένως, ο αναμενόμενος φόρτος βρίσκεται μεταξύ περίπου $300$ και περίπου $370$ ωρών. Το ανώτερο άκρο είναι ένα συνετό φράγμα, όχι μέτρηση· το εύρος θα διορθωθεί όταν γίνει γνωστός ο χρόνος που αφιερώνουν όσοι μελετούν τον κύκλο, και ως τότε οι πιστωτικές μονάδες υπολογίζονται με τον ονομαστικό αριθμό.

Προτεινόμενος ρυθμός

Για να ονομάσουν τους ρυθμούς, αυτό το πρόγραμμα και εκείνο του κύκλου II χρησιμοποιούν το ίδιο κριτήριο: η πλήρης φοίτηση είναι ένα ακαδημαϊκό έτος $60$ πιστωτικών μονάδων, περίπου $1650$ ώρες μοιρασμένες σε περίπου σαράντα εβδομάδες, δηλαδή περίπου $40$ ώρες την εβδομάδα, και η μερική φοίτηση είναι το μισό, περίπου $20$ ώρες την εβδομάδα. Από αυτό προκύπτει ένας προτεινόμενος ρυθμός ενός εξαμήνου δεκαέξι εβδομάδων, με περίπου $18$ ή $19$ ώρες μελέτης την εβδομάδα, λίγο λιγότερο από τη μερική φοίτηση· με το ρεαλιστικό εύρος, από $19$ έως $23$ ώρες την εβδομάδα, τοποθετείται γύρω από τη μερική φοίτηση. Το εξάμηνο που ακολουθεί μπορεί τότε να αφιερωθεί στον κύκλο Άλγεβρα και γεωμετρία II. Ως πιο άνετη εναλλακτική, συμβατή με άλλα απαιτητικά μαθήματα, ο κύκλος μπορεί να κατανεμηθεί σε δύο εξάμηνα, με περίπου $9$ ώρες την εβδομάδα: το πρώτο μισό, ενότητες 0 έως 2, καταλαμβάνει περίπου $128$ ώρες, και το δεύτερο, ενότητες 3 έως 6, περίπου $171$, οπότε αξίζει να αρχίσει το δεύτερο εξάμηνο με κάποιο προβάδισμα.

Αντιστοιχία σε μεταφερόμενες πιστωτικές μονάδες

Τα συστήματα μεταφερόμενων πιστωτικών μονάδων μετρούν έναν κύκλο μαθημάτων με τη συνολική εργασία που απαιτεί από τον φοιτητή, και όχι με τις ώρες διδασκαλίας με φυσική παρουσία, ώστε οι σπουδές που πραγματοποιήθηκαν σε ένα ίδρυμα να μπορούν να αναγνωριστούν σε άλλο. Το Ευρωπαϊκό Σύστημα Μεταφοράς και Συσσώρευσης Πιστωτικών Μονάδων, που υιοθέτησαν τα ευρωπαϊκά πανεπιστήμια μετά τη Διακήρυξη της Μπολόνια, αποδίδει $60$ πιστωτικές μονάδες σε ένα ακαδημαϊκό έτος πλήρους φοίτησης, και ορίζει κάθε μονάδα μεταξύ $25$ και $30$ ωρών εργασίας. Το Σύστημα Μεταφερόμενων Πιστωτικών Μονάδων της Χιλής, που υιοθέτησαν τα χιλιανά πανεπιστήμια με ανάλογο σχεδιασμό, αποδίδει επίσης $60$ μονάδες στο ακαδημαϊκό έτος και ορίζει κάθε μονάδα μεταξύ $24$ και $31$ ωρών εργασίας.

Ωστόσο, αν διαιρέσουμε τις $299$ εκτιμώμενες ώρες με τα άκρα κάθε διαστήματος, ο κύκλος ισοδυναμεί με $10$ έως $12$ ευρωπαϊκές πιστωτικές μονάδες, κατά προσέγγιση (από 10,0 έως 12,0), και με $10$ έως $12$ χιλιανές μεταφερόμενες πιστωτικές μονάδες (από 9,6 έως 12,5). Αν πάρουμε ως αναφορά την κεντρική τιμή και των δύο διαστημάτων, 27,5 ώρες ανά μονάδα, προκύπτει και στα δύο συστήματα ο ίδιος αριθμός, 10,9, που στρογγυλεύεται σε 11. Για τις ευρωπαϊκές μονάδες, ο αριθμός $C$ των μονάδων φράσσεται ως εξής:

Επομένως, συνιστάται να αποδοθούν στον κύκλο $11$ ευρωπαϊκές πιστωτικές μονάδες και $11$ χιλιανές μεταφερόμενες πιστωτικές μονάδες, δηλαδή λίγο περισσότερο από το ένα έκτο ενός ακαδημαϊκού έτους πλήρους φοίτησης. Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από εκείνον ενός συνηθισμένου εξαμηνιαίου μαθήματος άλγεβρας, και αυτό εξηγείται από την απαίτηση να μελετηθούν όλες οι αποδείξεις και από την κατασκευή των αριθμητικών συστημάτων, που τα συνήθη προγράμματα συχνά παραλείπουν.

Σχεδιασμός του κύκλου

Μορφή

Ο κύκλος είναι ασύγχρονος, διαδικτυακός και με αυτόνομο ρυθμό: δεν έχει ημερομηνίες, ζωντανές συνεδρίες ούτε προθεσμίες, και κάθε φοιτητής προχωρά με την ταχύτητα που του επιτρέπουν η προετοιμασία και ο χρόνος του. Προσφέρεται στις δεκατέσσερις γλώσσες του ιστότοπου, με τα ίδια μαθηματικά σε όλες: οι τύποι και τα βήματα των αποδείξεων είναι ίδια σε κάθε έκδοση, και μεταφράζεται μόνο το κείμενο. Τα μαθήματα δηλώνουν ποια άλλα μαθήματα καλό είναι να έχουν μελετηθεί πριν, ώστε η προτεινόμενη σειρά να είναι ρητή και να μπορεί να επαληθευτεί.

Η δομή ενός μαθήματος

Όλα τα θεματικά μαθήματα ακολουθούν την ίδια δομή. Αρχίζουν με μια περίληψη και με έναν κατάλογο δικών τους μαθησιακών στόχων, διατυπωμένων ως παρατηρήσιμες επιδόσεις. Ακολουθεί η θεωρία, με τους ορισμούς, τα θεωρήματα διατυπωμένα με ακρίβεια και τις αποδείξεις τους, καθώς και τα παραδείγματα. Οι αποδείξεις και τα παραδείγματα παρουσιάζονται ως αναπαραγωγοί βημάτων: κάθε βήμα γράφει μια γραμμή του συλλογισμού, φωτίζει τους όρους που συμμετέχουν και, όταν στηρίζεται σε προηγούμενο αποτέλεσμα, επιστρέφει σε αυτό και το φωτίζει όσο διαβάζεται, ώστε η μνήμη του συλλογισμού να μένει ορατή· πολλά συνοδεύονται από ένα σχήμα που αλλάζει σε κάθε βήμα. Το μάθημα κλείνει με πέντε λυμένα προβλήματα (έξι σε δύο μαθήματα της ενότητας 3), με τη λύση τους βήμα προς βήμα, και πέντε προτεινόμενα προβλήματα, το καθένα με μια διπλωμένη υπόδειξη και, μετά, την τελική απάντηση, ώστε ο φοιτητής να ελέγχει το αποτέλεσμά του χωρίς να του αποκαλύπτεται ο δρόμος· τα προτεινόμενα προβλήματα απόδειξης προσθέτουν, διπλωμένη μετά την απάντηση, μια αναλυτική λύση, που αξίζει να ανοίγεται μόνο αφού έχει συνταχθεί η δική του.

Τα εισαγωγικά μαθήματα και τα μαθήματα σύνθεσης έχουν δική τους δομή. Η εισαγωγή παρουσιάζει την ενότητα, την ιστορία της, το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε και τη σημασία της· η σύνθεση ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, τη συνδέει με τις προηγούμενες και με τις επόμενες, και προτείνει δέκα προκλήσεις, την καθεμιά με υπόδειξη, τελική απάντηση και μια διπλωμένη αναλυτική λύση, που συνδυάζουν διάφορα μαθήματα και απαιτούν περισσότερη επινοητικότητα από τα προτεινόμενα προβλήματα.

Ο αναγνώστης φωνής

Κάθε μάθημα μπορεί να ακουστεί φωναχτά με τον αναγνώστη του ιστότοπου, που χρησιμοποιεί τις φωνές της ίδιας της συσκευής: το κείμενο διαβάζεται όπως είναι γραμμένο και οι τύποι προφέρονται με λέξεις. Αυτό επιτρέπει να γίνεται επανάληψη ενός μαθήματος μακριά από την οθόνη, να παρακολουθείται μια απόδειξη ακούγοντάς την ενώ κανείς κοιτάζει τον αναπαραγωγό βημάτων, και να μελετά κανείς με προβλήματα όρασης.

Αξιολόγηση

Ο κύκλος δεν βαθμολογεί: η αξιολόγησή του είναι διαμορφωτική και στηρίζεται στην αυτοαξιολόγηση. Τα προτεινόμενα προβλήματα επιτρέπουν να ελεγχθεί η επίτευξη των στόχων κάθε μαθήματος, και οι προκλήσεις, η επίτευξη των στόχων κάθε ενότητας.

Σε αυτά προστίθενται οι αξιολογήσεις ενότητας. Η αρχική αξιολόγηση, στην αρχή της εισαγωγής, είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση, με δέκα ερωτήσεις για την ενότητα, στις οποίες από την ενότητα 2 και μετά προστίθενται τρεις για όσα η ενότητα θεωρεί γνωστά από τις προηγούμενες, και μετρά το σημείο εκκίνησης· η τελική αξιολόγηση, στη σύνθεση και πριν από τις προκλήσεις, έχει δώδεκα ερωτήσεις, μετρά όσα επιτεύχθηκαν και συγκρίνεται με την αρχική. Και οι δύο διορθώνονται στον ίδιο τον φυλλομετρητή: κάθε απάντηση λαμβάνει μια εξήγηση, κάθε τυπικό λάθος, μια παρατήρηση που το εντοπίζει, και κάθε ερώτηση παραπέμπει στο μάθημα που αξίζει να επαναληφθεί. Καμία από τις δύο δεν βαθμολογεί ούτε πιστοποιεί, και τα αποτελέσματά τους φυλάσσονται μόνο στον φυλλομετρητή του φοιτητή· η επικύρωση των δεξιοτήτων που αποκτήθηκαν θα γίνει αργότερα σε άλλη πλατφόρμα. Και οι πέντε ενότητες περιλαμβάνουν τις δύο αξιολογήσεις, και ο τελικός απολογισμός συγκεντρώνει την πρώτη προσπάθεια κάθε τελικής αξιολόγησης σε ένα προφίλ ανά γενικό στόχο.

Για τους γενικούς στόχους, προτείνονται τα ακόλουθα τεκμήρια επίτευξης:

• Στόχος 1: να συντάξει, χωρίς να συμβουλευτεί το μάθημα, την απόδειξη ενός θεωρήματος του κύκλου, όπως η απειρία των πρώτων αριθμών ή η μοναδικότητα της ευκλείδειας διαίρεσης, και εκείνη μιας πρόκλησης που απαιτεί επαγωγή.
• Στόχος 2: να εξηγήσει γραπτώς ποια εξίσωση παρακινεί κάθε επέκταση από τους φυσικούς ως τους μιγαδικούς, και να αποδείξει ότι η πρόσθεση των ακεραίων, ορισμένη μέσω κλάσεων ζευγών φυσικών, είναι καλά ορισμένη.
• Στόχος 3: να λύσει μια γραμμική διοφαντική εξίσωση με περιορισμούς, και να υπολογίσει με ισοτιμίες το υπόλοιπο μιας μεγάλης δύναμης.
• Στόχος 4: να λύσει μια ρητή ανίσωση ή μια ανίσωση με ριζικά και απόλυτη τιμή, τεκμηριώνοντας κάθε ισοδυναμία και ελέγχοντας τη λύση.
• Στόχος 5: να μελετήσει πλήρως μια ρητή συνάρτηση ή μια συνάρτηση με ρίζες και να σχεδιάσει τη γραφική της παράσταση χωρίς υπολογιστικά εργαλεία, και να την επαληθεύσει έπειτα με ένα από αυτά.
• Στόχος 6: να αναγνωρίσει την κωνική τομή που ορίζει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού χωρίς όρο σε $xy$, με όλα τα στοιχεία της, και να περιγράψει με ανισώσεις μια περιοχή που οριοθετείται από ευθείες και κωνικές τομές.
• Στόχος 7: να λύσει μια λογαριθμική εξίσωση με επαλήθευση του πεδίου ορισμού, και να αποδείξει μια υπερβολική ταυτότητα με βάση τους ορισμούς.
• Στόχος 8: να διατυπώσει και να λύσει ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ή να προσαρμόσει ένα εκθετικό μοντέλο σε κάποια δεδομένα, και να γράψει την πλήρη λύση, με διατύπωση, ανάπτυξη, απάντηση και έλεγχο αληθοφάνειας, ώστε ένα άλλο πρόσωπο να μπορεί να την παρακολουθήσει χωρίς πρόσθετες εξηγήσεις.

Πώς να μελετήσετε αυτόν τον κύκλο

Ο κύκλος είναι σχεδιασμένος για να μελετάται με τη σειρά. Κάθε ενότητα προϋποθέτει τις προηγούμενες, και πολλές αποδείξεις επικαλούνται αποτελέσματα από προηγούμενα μαθήματα· η παράλειψη ενός μαθήματος αναγκάζει, αργά ή γρήγορα, να επιστρέψει κανείς σε αυτό.

Κάθε ενότητα έχει δύο σημεία ελέγχου. Η αρχική αξιολόγηση, στην αρχή της εισαγωγής, είναι το σημείο εκκίνησης: αξίζει να απαντηθεί πριν από τη μελέτη της ενότητας, χωρίς να συμβουλευτεί κανείς τίποτα, και να σημειωθούν τα μαθήματα στα οποία παραπέμπουν τα λάθη, που είναι εκείνα που ζητούν περισσότερη προσοχή. Η τελική αξιολόγηση, στη σύνθεση και πριν από τις προκλήσεις, είναι η αντιπαραβολή: απαντάται στο τέλος των μαθημάτων, επίσης χωρίς βοήθημα, και συγκρίνεται με την αρχική για να φανεί τι άλλαξε και ποια μαθήματα αξίζει να επαναληφθούν. Και στις δύο μετρά η πρώτη προσπάθεια, που είναι αυτή που συγκρίνεται και αυτή που συγκεντρώνει το προφίλ του τελικού απολογισμού· οι επόμενες γίνονται αφού έχει ήδη φανεί η ανατροφοδότηση. Οι προκλήσεις συμπληρώνουν τον έλεγχο, επειδή απαιτούν να συνδυαστεί και να συνταχθεί ό,τι οι σύντομες ερωτήσεις μόνο αγγίζουν. Από αυτό προκύπτει ότι όποιος πιστεύει ότι κατέχει ήδη μια ενότητα δεν πρέπει να το αποφασίσει με βάση μία μόνο δοκιμασία: αν η τελική του αξιολόγηση είναι στέρεη και λύνει τις προκλήσεις της σύνθεσης, μπορεί να περάσει στην ενότητα που ακολουθεί· αν όχι, αξίζει να διατρέξει τα μαθήματα που υποδεικνύουν η μία και οι άλλες.

Σε κάθε μάθημα, αξίζει να διαβάζονται πρώτα η περίληψη και οι στόχοι, που λένε τι επιδιώκεται· να μελετάται έπειτα η θεωρία με χαρτί και μολύβι, προσπαθώντας να προβλέπεται κάθε βήμα των αποδείξεων πριν το γράψει ο αναπαραγωγός· να επιχειρούνται τα λυμένα προβλήματα πριν κοιτάξει κανείς τη λύση τους, και να λύνονται τα προτεινόμενα χωρίς βοήθεια, ανοίγοντας την υπόδειξη μόνο όταν η προσπάθεια έχει εξαντληθεί, και την απάντηση μόνο στο τέλος, για έλεγχο. Ένα πρόβλημα του οποίου η απάντηση κοιτάχτηκε πριν από την προσπάθεια δεν έχει λυθεί, αλλά διαβαστεί.

Οι προκλήσεις είναι δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, και είναι φυσικό ορισμένες να απαιτούν αρκετές προσπάθειες σε διαφορετικές ημέρες. Δεν αξίζει να σταματά κανείς επ’ αόριστον σε μία: το να τη σημειώσει, να συνεχίσει να προχωρά και να επιστρέψει σε αυτήν αργότερα είναι, συχνά, ο συντομότερος δρόμος. Ωστόσο, ο εκτιμώμενος φόρτος προϋποθέτει ότι όλες επιχειρούνται με σοβαρότητα, και σε αυτή την προσπάθεια κρίνεται μεγάλο μέρος όσων μπορεί να διδάξει ο κύκλος.

Τέλος, αξίζει να γράφει κανείς. Η σύνταξη μιας απόδειξης ή μιας πλήρους λύσης, με τις προκείμενες και τα συμπεράσματά της, είναι ο μόνος τρόπος για να ξέρει κανείς αν έχει καταλάβει, και είναι επίσης ο όγδοος από τους στόχους του κύκλου. Ένα τετράδιο μελέτης, στο οποίο ξαναγράφονται με δικά του λόγια οι ορισμοί και τα θεωρήματα κάθε ενότητας, είναι το καλύτερο υλικό επανάληψης που μπορεί να αφήσει ο κύκλος.