Οι φυσικοί αριθμοί: εισαγωγή

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ανοίγει την ενότητα που είναι αφιερωμένη στους φυσικούς αριθμούς. Παρουσιάζει τα δέκα μαθήματά της και τον αποδεικτικό ειρμό που τα συνδέει, από τη γλώσσα των συνόλων και τα αξιώματα του Πεάνο έως το διωνυμικό θεώρημα· διατρέχει την ιστορία αυτών των ιδεών, από την προϊστορική καταμέτρηση και την αριθμητική του Ευκλείδη έως την αξιωματική θεμελίωση του Ντέντεκιντ και του Πεάνο στα τέλη του 19ου αιώνα· διατυπώνει με ακρίβεια το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκαν, δηλαδή πώς να αποδειχθεί μια πρόταση για άπειρους αριθμούς χωρίς να εξεταστούν ένας ένας, και δείχνει πού χρησιμοποιούνται ξανά σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων, σε άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστότοπου και στην επιστήμη και την τεχνική.

Μαθησιακοί στόχοι

Να περιγράφει τη σειρά των περιεχομένων της ενότητας και να εξηγεί τι προσφέρει κάθε μάθημα στο επόμενο.
Να τοποθετεί στο ιστορικό τους πλαίσιο τα κύρια αποτελέσματα της αριθμητικής των φυσικών και τους δημιουργούς τους.
Να εξηγεί, με ένα παράδειγμα, γιατί κανένα πεπερασμένο πλήθος επαληθεύσεων δεν αποδεικνύει μια πρόταση για όλους τους φυσικούς, και ποιον ρόλο παίζει η αρχή της μαθηματικής επαγωγής.
Να αναγνωρίζει σε άλλα θέματα του κύκλου μαθημάτων και σε άλλες επιστήμες τα εργαλεία που κατασκευάζει η ενότητα.

Αρχική αξιολόγηση

Πριν διατρέξουμε την ενότητα, αξίζει να μετρήσουμε το σημείο εκκίνησης. Η αξιολόγηση αυτή είναι αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται, και μοναδικός σκοπός της είναι να προσανατολίσει τη μελέτη. Οι δέκα ερωτήσεις της αφορούν, μία προς μία και με τη σειρά, τα δέκα μαθήματα της ενότητας· η τέταρτη ζητά, επιπλέον, να διατυπωθεί ως άθροισμα ένα πρόβλημα που περιγράφεται με λόγια. Οι ίδιες δεξιότητες μετρώνται ξανά στο τέλος, στο μάθημα της σύνθεσης· καθώς αυτή είναι η πρώτη ενότητα του κύκλου μαθημάτων, δεν υπάρχουν ερωτήσεις για προηγούμενες ενότητες. Μια ερώτηση που δεν λύνεται δείχνει το μάθημα στο οποίο αξίζει να σταθεί κανείς.

Τα περιεχόμενα της ενότητας

Στο πρόγραμμα σπουδών επισημάνθηκε ότι ο κύκλος μαθημάτων κατασκευάζει τα αντικείμενά του αντί να τα υποθέτει γνωστά. Αυτή η πρώτη ενότητα είναι το θεμέλιο αυτής της κατασκευής: ξεκινά από λίγα αξιώματα για τους αριθμούς με τους οποίους μετράμε και συνάγει από αυτά ολόκληρη την αριθμητική των φυσικών. Το λίγο που δέχεται επιπλέον δηλώνεται ρητά στη θέση του: οι κανόνες της αφελούς θεωρίας συνόλων και της άρνησης των ποσοδεικτών· η ύπαρξη των συναρτήσεων που ορίζονται αναδρομικά, την οποία εξασφαλίζει το θεώρημα της αναδρομής του Ντέντεκιντ· η μοναδικότητα του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου, και το πεπερασμένο των υποσυνόλων του, πάνω στα οποία στηρίζεται η καταμέτρηση· η γενικευμένη αντιμεταθετικότητα των πεπερασμένων γινομένων· και οι στοιχειώδεις κανόνες των ακεραίων, των ρητών και των πραγματικών, που ορισμένα παραδείγματα και προβλήματα χρησιμοποιούν εκ των προτέρων και που η επόμενη ενότητα κατασκευάζει. Τα δέκα μαθήματά της σχηματίζουν μια αλυσίδα στην οποία κάθε κρίκος στηρίζεται στους προηγούμενους.

Σύνολα, σχέσεις και συναρτήσεις. Καθορίζει τη γλώσσα στην οποία γράφεται όλος ο κύκλος μαθημάτων: τα σύνολα και τις πράξεις τους, τις σχέσεις, ιδίως τις σχέσεις ισοδυναμίας και διάταξης, και τις συναρτήσεις. Οι σχέσεις ισοδυναμίας θα επανεμφανιστούν στην επόμενη ενότητα, όπου οι ακέραιοι και οι ρητοί κατασκευάζονται ως κλάσεις ζευγών.
Οι φυσικοί αριθμοί και τα αξιώματα του Πεάνο. Ορίζει τους φυσικούς μέσω του $1$ , της πράξης του επόμενου και πέντε αξιωμάτων, το τελευταίο από τα οποία είναι η αρχή της μαθηματικής επαγωγής. Ό,τι ακολουθεί στην ενότητα είναι συνέπεια αυτών των αξιωμάτων και του λίγου που γίνεται ρητά δεκτό.
Οι βασικές πράξεις και οι σχέσεις διάταξης. Διατυπώνει το θεώρημα της αναδρομής, ορίζει με αυτό την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την ύψωση σε δύναμη, αποδεικνύει με επαγωγή τις ιδιότητές τους και θεμελιώνει τη διάταξη στην πρόσθεση. Δείχνει ότι η αφαίρεση και η διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατές μεταξύ φυσικών, πράγμα που προαναγγέλλει την επόμενη ενότητα.
Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή. Εισάγει τον συμβολισμό του αθροίσματος, τα τηλεσκοπικά αθροίσματα και τις προόδους, και αποδεικνύει ότι η συνήθης επαγωγή συνεπάγεται την ισχυρή επαγωγή και την αρχή της καλής διάταξης, καθώς και με ποια έννοια αυτές είναι ισοδύναμες με εκείνη. Η τελευταία, η αρχή της καλής διάταξης, θα είναι το εργαλείο σχεδόν όλων των αποδείξεων ύπαρξης της ενότητας.
Διαιρετότητα και διαίρεση με υπόλοιπο. Αποδεικνύει, με την καλή διάταξη, ότι κάθε ακέραιος δέχεται μοναδικό πηλίκο και μοναδικό υπόλοιπο, και έτσι ταξινομεί τους ακέραιους κατά το υπόλοιπό τους και αιτιολογεί τα κριτήρια διαιρετότητας.
Οι πρώτοι αριθμοί και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Αποδεικνύει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι και ότι κάθε φυσικός μεγαλύτερος από το $1$ αναλύεται σε γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, και από αυτό συνάγει, μεταξύ άλλων, ότι η τετραγωνική ρίζα ενός φυσικού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο είναι άρρητη.
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Παρουσιάζει τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, που υπολογίζει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη χωρίς παραγοντοποίηση, συνάγει από αυτόν την ταυτότητα του Μπεζού και λύνει πλήρως τις γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις.
Οι ισοτιμίες και η αριθμητική υπολοίπων. Μετατρέπει τη διαίρεση με υπόλοιπο σε λογισμό: δύο ακέραιοι είναι ισότιμοι κατά μέτρο $n$ όταν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, και η ισοτιμία σέβεται την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, ώστε πολλά προβλήματα διαιρετότητας λύνονται κάνοντας πράξεις μόνο με τα υπόλοιπα.
Τα θεσιακά συστήματα αρίθμησης. Αποδεικνύει ότι κάθε φυσικός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο σε οποιαδήποτε βάση, εξηγεί γιατί οι σχολικές μέθοδοι υπολογισμού είναι σωστές και γιατί οι υπολογιστές δουλεύουν στη βάση $2$ .
Η συνδυαστική και το διώνυμο του Νεύτωνα. Ορίζει το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου, αποδεικνύει την αρχή του αθροίσματος και την πολλαπλασιαστική αρχή, διδάσκει με αυτές να μετράμε χωρίς απαρίθμηση, ορίζει τους διωνυμικούς συντελεστές και αποδεικνύει το διωνυμικό θεώρημα, που ενώνει την επαγωγή, τα αθροίσματα και την καταμέτρηση.

Η ενότητα κλείνει με το μάθημα σύνθεσης και προκλήσεων, που συγκεντρώνει όσα επιτεύχθηκαν, επαναλαμβάνει στην τελική αξιολόγησή του τις δεξιότητες της αρχικής αξιολόγησης και προτείνει δυσκολότερα προβλήματα που συνδυάζουν περισσότερα μαθήματα.

Το ιστορικό υπόβαθρο

Το μέτρημα προηγείται της γραφής. Οστά με σειρές από εγκοπές, όπως το οστό του Ισάνγκο, που βρέθηκε στο Κονγκό και του οποίου η ηλικία εκτιμάται σε περίπου είκοσι χιλιάδες χρόνια, ερμηνεύονται συχνά ως καταγραφές ποσοτήτων. Οι πρώτοι αστικοί πολιτισμοί χρειάστηκαν να καταμετρούν κοπάδια, να μετρούν χωράφια και να μοιράζουν σοδειές, και έτσι ανέπτυξαν συστήματα αρίθμησης: πριν από περίπου τέσσερις χιλιάδες χρόνια, οι γραφείς της Μεσοποταμίας χρησιμοποιούσαν ήδη ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης με βάση το $60$ , του οποίου τα ίχνη διατηρούνται στη μέτρηση του χρόνου και των γωνιών.

Στην Ελλάδα, από τον 6ο αιώνα πριν από την κοινή εποχή, οι Πυθαγόρειοι μελέτησαν τους αριθμούς καθ' εαυτούς και όχι μόνο ως εργαλεία υπολογισμού. Ταξινόμησαν τους σχηματικούς αριθμούς, όπως τους τριγωνικούς $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , που είναι τα αθροίσματα $1 + 2 + \cdots + n$ , και διέκριναν τους άρτιους από τους περιττούς. Γύρω στο 300 πριν από την κοινή εποχή, ο Ευκλείδης συγκέντρωσε στα βιβλία VII έως IX των Στοιχείων την αριθμητική της εποχής του, οργανωμένη αποδεικτικά: τον αλγόριθμο που φέρει το όνομά του, το λήμμα σύμφωνα με το οποίο ένας πρώτος που διαιρεί ένα γινόμενο διαιρεί έναν από τους παράγοντές του, την απόδειξη ότι οι πρώτοι είναι άπειροι και την κατασκευή των άρτιων τέλειων αριθμών. Τον 3ο αιώνα πριν από την κοινή εποχή, ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος επινόησε το κόσκινό του για τους πρώτους, και πιθανότατα τον 3ο αιώνα της κοινής εποχής, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς μελέτησε στα Αριθμητικά του εξισώσεις των οποίων οι λύσεις έπρεπε να είναι ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί.

Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης με το μηδέν ως ψηφίο διαμορφώθηκε στην Ινδία, εκτέθηκε τον 9ο αιώνα από τον αλ-Χουαρίζμι και έφτασε στην Ευρώπη, μεταξύ άλλων δρόμων, μέσω του Liber Abaci του Φιμπονάτσι, το 1202. Το τρίγωνο των διωνυμικών συντελεστών ήταν γνωστό στην Ινδία, στην Περσία και στην Κίνα αιώνες πριν ο Πασκάλ του αφιερώσει, στα μέσα του 17ου αιώνα, την πραγματεία χάρη στην οποία πήρε στη Δύση το όνομά του. Ωστόσο, ο συλλογισμός με επαγωγή ως ρητή μέθοδος απόδειξης είναι όψιμος: ο Φραντσέσκο Μαουρόλικο τον χρησιμοποίησε σε ένα έργο που δημοσιεύτηκε το 1575 για να αποδείξει ότι το άθροισμα των πρώτων περιττών είναι τετράγωνο, και ο Πασκάλ τον διατύπωσε με σαφήνεια στην πραγματεία του για το αριθμητικό τρίγωνο. Τον ίδιο αιώνα, ο Φερμά επινόησε τη μέθοδο της άπειρης καθόδου, μια μορφή της αρχής της καλής διάταξης, και γύρω στο 1665 ο Νεύτων επέκτεινε το διωνυμικό θεώρημα σε κλασματικούς και αρνητικούς εκθέτες. Το 1801 ο Γκάους δημοσίευσε τις Disquisitiones Arithmeticae, με τις οποίες η αριθμητική έγινε συστηματική θεωρία, και σε αυτές βρίσκεται η πρώτη ρητή απόδειξη της μοναδικότητας της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες.

Κατά τον 19ο αιώνα, η μαθηματική ανάλυση ανοικοδομήθηκε σε αριθμητικά θεμέλια: οι πραγματικοί αριθμοί ορίστηκαν από τους ρητούς, όπως έκανε ο Ντέντεκιντ το 1872 με τις τομές του, οι ρητοί από τους ακέραιους, και οι ακέραιοι από τους φυσικούς. Αν αυτό ισχύει, όλη η κατασκευή στηριζόταν στους φυσικούς, και έμενε να απαντηθεί τι είναι αυτοί και από ποιες αρχές συνάγεται η αριθμητική τους. Το 1861 ο Χέρμαν Γκράσμαν είχε δείξει ότι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αναδρομικά ξεκινώντας από τον επόμενο, και ότι οι ιδιότητές τους αποδεικνύονται με επαγωγή. Το 1888 ο Ρίχαρντ Ντέντεκιντ δημοσίευσε το δοκίμιό του Τι είναι και σε τι χρησιμεύουν οι αριθμοί;, που χαρακτηρίζει τους φυσικούς μέσω του επόμενου και της επαγωγής, και το 1889 ο Τζουζέπε Πεάνο δημοσίευσε, στα λατινικά, τα Arithmetices principia, nova methodo exposita, με τον κατάλογο αξιωμάτων που υιοθετεί αυτός ο κύκλος μαθημάτων και που, όπως εκεί, αρχίζει από το $1$ .

Το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε η θεωρία

Οι φυσικοί είναι άπειροι, και σχεδόν ό,τι ενδιαφέρει να ισχυριστεί κανείς γι' αυτούς είναι μια πρόταση για όλους μαζί: ότι η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, ότι κάθε φυσικός μεγαλύτερος από το $1$ αναλύεται σε γινόμενο πρώτων, ότι το άθροισμα των $n$ πρώτων περιττών είναι $n^2$ . Καμία πρόταση αυτού του είδους δεν μπορεί να επαληθευτεί εξετάζοντας τις περιπτώσεις μία μία, γιατί αυτό δεν θα τελείωνε ποτέ· και, το σοβαρότερο, η επαλήθευση πολλών περιπτώσεων, όσο πολυάριθμες κι αν είναι, δεν επιτρέπει κανένα συμπέρασμα για τις υπόλοιπες. Το πρόβλημα είναι, επομένως, το εξής: δεδομένης μιας ιδιότητας $P$ των φυσικών, με ποιες αρχές μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός την ικανοποιεί;

(\forall n \in \mathbb{N})\,P(n)

Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει ως ποιο σημείο μπορούν να ξεγελάσουν οι επαληθεύσεις.

ΠαράδειγμαΈνα πολυώνυμο που φαίνεται να δίνει μόνο πρώτους

Ο Όιλερ επισήμανε τον 18ο αιώνα ότι η παράσταση $n^2 + n + 41$ δίνει πρώτο αριθμό για καθεμία από τις τιμές $n = 1, 2, \ldots, 39$ . Εύλογα ρωτά κανείς αν τον δίνει για κάθε φυσικό $n$ .

Απόδειξη

$1^2 + 1 + 41 = 43, \quad 2^2 + 2 + 41 = 47, \quad 3^2 + 3 + 41 = 53$
Οι πρώτες τιμές είναι πρώτοι αριθμοί, όπως επαληθεύεται δοκιμάζοντας τους πρώτους των οποίων το τετράγωνο δεν τις υπερβαίνει.
$39^2 + 39 + 41 = \resaltar{1601}$
Η επαλήθευση μπορεί να συνεχιστεί, με υπομονή, έως το $n = 39$ : οι τριάντα εννέα τιμές είναι πρώτοι, και η τελευταία είναι $1601$ .
$40^2 + 40 + 41 = \resaltar{40 \cdot 41} + 41 = \resaltar{41 \cdot 41}$
Για $n = 40$ , οι δύο πρώτοι όροι έχουν τον κοινό παράγοντα $40$ , και το αποτέλεσμα είναι $41$ φορές το $41$ .
$41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot \resaltar{43}$
Για $n = 41$ η αποτυχία είναι ακόμη πιο φανερή, γιατί και οι τρεις όροι είναι πολλαπλάσια του $41$ .
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$
Τριάντα εννέα ευνοϊκές επαληθεύσεις δεν αρκούσαν: ο ισχυρισμός είναι ψευδής. Αντίθετα, ο τύπος του αθροίσματος των πρώτων περιττών, που ο Μαουρόλικο απέδειξε με επαγωγή, ισχύει για κάθε φυσικό, και όχι επειδή επαληθεύτηκε σε πολλές περιπτώσεις, αλλά επειδή συνάγεται από μια αρχή που τους περιλαμβάνει όλους.

Η απάντηση που έδωσαν ο Ντέντεκιντ και ο Πεάνο συνίσταται στο να δηλωθεί, ως αξίωμα, η αρχή που επιτρέπει τη μετάβαση από το πεπερασμένο στο άπειρο: αν μια ιδιότητα ισχύει για το $1$ και μεταβιβάζεται από κάθε φυσικό στον επόμενό του, ισχύει για όλους. Από αυτό έπεται ένα σαφές πρόγραμμα, που είναι το πρόγραμμα αυτής της ενότητας: να οριστούν οι πράξεις έτσι ώστε κάθε περίπτωση να ανάγεται στην προηγούμενη, και να αποδειχθεί με επαγωγή, ή με κάποια από τις ισοδύναμες αρχές, καθεμία από τις ιδιότητές τους. Ωστόσο, το πρόβλημα έχει και μια δεύτερη όψη, που διατρέχει όλη την ενότητα: εκείνη των αντίστροφων πράξεων. Η αφαίρεση και η διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατές μεταξύ φυσικών, και το ερώτημα πότε είναι οδηγεί στη διαιρετότητα, στους πρώτους και στον μέγιστο κοινό διαιρέτη· το ερώτημα πώς θεραπεύεται αυτό οδηγεί στην επόμενη ενότητα, που επεκτείνει τους φυσικούς έως τους μιγαδικούς.

Η σημασία των φυσικών αριθμών

Μέσα σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων, τα αποτελέσματα της ενότητας επανεμφανίζονται διαρκώς. Το μάθημα για τους ακέραιους αριθμούς τους κατασκευάζει ως ζεύγη φυσικών, και εκείνο για τους ρητούς, ως ζεύγη ακεραίων· η διαίρεση πολυωνύμων στο μάθημα για τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού μιμείται τη διαίρεση με υπόλοιπο, και ο κανόνας του Χόρνερ προέρχεται από το θεσιακό σύστημα αρίθμησης. Το φράγμα που δίνει το διωνυμικό θεώρημα για την $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ προετοιμάζει το μάθημα για τον αριθμό $e$ . Η συνέχεια αυτού του κύκλου μαθημάτων, η Άλγεβρα και γεωμετρία II, συνεχίζει να τα χρησιμοποιεί: στην ενότητά της για τους μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή, ο τύπος του Ντε Μουάβρ αποδεικνύεται με επαγωγή, και στην ενότητά της για τους πίνακες και τις αλγεβρικές δομές, το μάθημα για τις αλγεβρικές δομές μετατρέπει τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το $n$ σε δακτύλιο, που είναι σώμα ακριβώς όταν ο $n$ είναι πρώτος.

Έξω από αυτόν τον κύκλο μαθημάτων, οι ακολουθίες και τα αθροίσματα του Λογισμού I μελετώνται με τον συμβολισμό του αθροίσματος και με την επαγωγή, και η παράγωγος μιας δύναμης προκύπτει με το διωνυμικό θεώρημα. Στον κύκλο Βασικές αρχές της μηχανικής, ο νόμος που δημοσίευσε ο Γαλιλαίος το 1638, σύμφωνα με τον οποίο ένα σώμα που πέφτει από την ηρεμία διανύει σε ίσα χρονικά διαστήματα αποστάσεις ανάλογες προς τους διαδοχικούς περιττούς $1, 3, 5, 7, \ldots$ , μετατρέπεται, μέσω του αθροίσματος των πρώτων περιττών, στην αναλογία ανάμεσα στην απόσταση που διανύθηκε και στο τετράγωνο του χρόνου. Ο απλός και ο σύνθετος τόκος των Χρηματοοικονομικών μαθηματικών είναι αριθμητικές και γεωμετρικές πρόοδοι· τα προγράμματα του κύκλου Προγραμματισμός σε C++ I παριστάνουν τους αριθμούς στη βάση $2$ , υπολογίζουν υπόλοιπα και εφαρμόζουν τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, και η αναδρομή τους είναι η ίδια ιδέα με τους αναδρομικούς ορισμούς της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Ο κύκλος μαθημάτων Μαθηματική λογική I: προτασιακή λογική μελετά τους κανόνες συμπερασμού που χρησιμοποιούν οι αποδείξεις της ενότητας.

Στην επιστήμη και την τεχνική, η βάση $2$ είναι η γλώσσα κάθε υπολογιστή, και η αριθμητική των υπολοίπων στηρίζει τα ψηφία ελέγχου με τα οποία ανιχνεύονται λάθη κατά την αντιγραφή αριθμών εγγράφων, λογαριασμών ή βιβλίων. Το κρυπτογραφικό σύστημα που δημοσίευσαν το 1977 οι Ριβέστ, Σαμίρ και Άντλμαν, στο οποίο στηρίζεται μεγάλο μέρος της ασφάλειας των επικοινωνιών, θεμελιώνεται σε μια αντίθεση που αυτή η ενότητα επιτρέπει να κατανοηθεί: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη υπολογίζει γρήγορα τον μέγιστο κοινό διαιρέτη αριθμών με εκατοντάδες ψηφία, ενώ δεν είναι γνωστή καμία γρήγορη μέθοδος για την παραγοντοποίησή τους. Η συνδυαστική, τέλος, είναι το θεμέλιο του λογισμού των πιθανοτήτων, και μέσω αυτού της στατιστικής και μεγάλου μέρους της φυσικής και της βιολογίας.