النهايات والاتصال: مقدمة

ملخص

يفتتح هذا الدرس الوحدة المخصّصة للنهايات والاتصال. فهو يعرض مسار الوحدة، الذي ينطلق من تعريف النهاية بإبسيلون ودلتا ويصل، عبر دروس تعيد استخدام البراهين التي سبقت بدلًا من تكرارها، إلى اتصال الدوال الأولية وإلى مقارنة الدوال اللامتناهية في الصغر؛ ويعيد بناء تاريخ مفهوم النهاية، من مفارقات زينون وطريقة الاستنفاد إلى تعريف فايرشتراس، مرورًا بالكميات اللامتناهية في الصغر عند نيوتن ولايبنتس ونقد بيركلي؛ ويصوغ المسألة التي نشأ منها المفهوم، وهي إعطاء معنى لخارج قسمة يصير $\frac{0}{0}$ ، ويفحص لماذا لا تكفي فكرة الاقتراب ولا جدول القيم للحكم على نهاية. ويختم بالإشارة إلى المواضع التي تُستعمل فيها النهايات والاتصال في بقية الدورة، وفي دورات أخرى من الموقع، وفي العلم والتقنية.

أهداف التعلم

وصف مسار الوحدة وشرح ما يبرهنه كل درس وما يستند إليه من نتائج سابقة.
شرح لماذا تتطلب السرعة اللحظية والمماس والمساحة مفهوم النهاية، ولماذا لا تكفي الفكرة الحدسية للاقتراب ولا جداول القيم لتعريفه ولا لحسابه.
وضع مراحل مفهوم النهاية في سياقها التاريخي، من طريقة الاستنفاد إلى التعريف بإبسيلون ودلتا، وتحديد المسألة أو النقد الذي دفع كل مرحلة منها.
الإشارة إلى المواضع التي تتدخل فيها النهايات والاتصال في بقية الدورة، وفي دورات أخرى، وفي التطبيقات العلمية والتقنية.

تقييم الدخول

قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية. وهذا التقييم الذاتي لا تُمنح عليه درجة: إنما يفيد في معرفة المواضع التي ينبغي التوقف عندها. فالأسئلة العشرة الأولى تتناول، بالترتيب، دروس المحتوى العشرة في الوحدة، سؤالًا لكل درس، وتقيس مهارة في الحساب أو في الاستدلال، لا عبارة تُستظهر؛ وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة، بمعطيات أخرى. أما الأسئلة الستة الأخيرة فتتحقق مما تعدّه هذه الوحدة معلومًا من الجبر والهندسة 1 و2: القيمة المطلقة، والحد الأعلى الأصغر، وتركيب الدوال، وجداول الإشارات، والمتباينة بين الجيب والقوس والظل، والمتباينة الأساسية للدالة الأسية.

محتويات الوحدة

في الجبر والهندسة 1، استعمل الدرس المخصّص لـالدوال الكسرية المقاربات العمودية والمقاربات عند اللانهاية، واتصال تلك الدوال، ومبرهنة القيم الوسطى، على أنها حقائق مسلَّم بها، دون برهان، لأنها كانت تتطلب تعريفًا للنهاية لم يكن متاحًا بعد؛ وسلّمت الجبر والهندسة 2 بالطريقة نفسها باتصال الدوال المثلثية ودوالها العكسية. وهذه الوحدة تقدّم ذلك التعريف وتبرهن، واحدة واحدة، الحقائق المسلَّم بها، ما عدا مبرهنة القيم الوسطى، التي ستُبرهن في الوحدة اللاحقة. وقد رُتّبت البراهين بحيث يُعاد استخدامها: قليل منها يُنجز بإبسيلون ودلتا، والباقي يستشهد بالنتائج التي سبقت بدلًا من تكرار الحجة. وتأتي الدروس على هذا الترتيب:

يحوّل درس نهاية الدالة فكرة الاقتراب إلى التعريف بإبسيلون ودلتا، ويحدّد بنقاط التراكم أين يكون له معنى، ويكتب التعريف ونفيه عبارتين مكمّمتين، ويبرهن أن النهاية وحيدة، وأنها لا تتوقف إلا على القيم القريبة، وأنها تُلزم الدالة بأن تبقى محدودة وأن تحافظ على إشارتها قرب النقطة.
يردّ درس جبر النهايات قواعد الحساب إلى ثلاث توطئات مبرهنة بإبسيلون ودلتا، أهمها معيار الحد الأعلى، ويستنتج منها، بتوطئة مفادها أن تقييد مجال التعريف لا يُفقد النهاية، نهايات المجموع والجداء والمقلوب وخارج القسمة، ونهايات كثيرات الحدود والدوال الكسرية والجذور والقوى ذات الأس النسبي، ومبرهنة نهاية التركيب، التي تسوّغ تغيير المتغير.
يبرهن درس مبرهنة الحصر، بمعيار الحد الأعلى، أن النهايات تحفظ المتباينات غير الصارمة، ثم المبرهنة نفسها ونهاية جداء دالة محدودة في دالة أخرى تؤول إلى الصفر؛ وبها يحصل على نهايتي الجيب وجيب التمام وعلى النهاية الأساسية $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ، التي تُستنتج منها سائر النهايات المثلثية.
يعرّف درس النهايات من جهة واحدة هذه النهايات بوصفها نهايات للمقصور، فترث جميع المبرهنات التي سبقت؛ ويبرهن أن النهاية موجودة إذا وفقط إذا وُجدت النهايتان من جهة واحدة وتساوتا، وأن الدالة الرتيبة المحدودة لها نهاية من جهة واحدة تساوي الحد الأعلى الأصغر أو الحد الأدنى الأعظم لقيمها، وهي أول مبرهنة تضمن وجود نهاية دون معرفة قيمتها.
يعرّف درس النهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية النهاية عندما يتزايد المتغير بلا حد، ويبرهن، بتوطئة التعاكس، أنها تكافئ نهاية من جهة واحدة عند $0$ ، فتصح جميع المبرهنات التي سبقت عند اللانهاية أيضًا؛ وبها يحسب نهايات القوى والدوال الكسرية.
يردّ درس النهايات اللانهائية هذه النهايات، بتوطئة المقلوب، إلى نهايات تساوي الصفر؛ ومن ذلك ومن المقارنة تخرج قواعد المجموع والجداء وخارج القسمة، ويبيّن الدرس أن حالات عدم التعيين قد تعطي أي نتيجة، ويبرهن مبرهنة الدوال الرتيبة غير المحدودة ومبرهنة التركيب مع النهايات اللانهائية.
يعرّف درس الخطوط المقاربة المقاربات بالنهايات من جهة واحدة، وعند اللانهاية، واللانهائية؛ ويبرهن صيغتي الميل والترتيبة عند الأصل للمقارب المائل، ووحدانية المقارب غير العمودي عند كل طرف، والحقائق المسلَّم بها في الجبر والهندسة عن الدوال الكسرية، ويقترح طريقة لتمثيل الدوال بيانيًّا دون مشتقات.
يعرّف درس الاتصال الاتصال بالتحدي والرد المعهودين، دون استبعاد النقطة؛ ويبرهن أنه، عند نقطة تراكم، يكافئ أن تكون النهاية موجودة ومساوية للقيمة، ويصنّف حالات عدم الاتصال إلى قابلة للإزالة وقفزية وأساسية، ويرث من جبر النهايات اتصال العمليات، ويبرهن أن تركيب الدوال المتصلة متصل، فتدخل النهاية في الدالة المتصلة.
يُثبت درس اتصال الدوال الأولية أن هذه الدوال متصلة بحجة واحدة، هي أن الدالة الرتيبة التي صورتها فترة لا يمكن أن تقفز؛ وبهذا الاتصال وبالمتباينة الأساسية للدالة الأسية، يبرهن الدرس النهايات الشهيرة للدالة الأسية واللوغاريتم، ويحصل على العدد $e$ بوصفه نهاية، ويحل الحالة $1^\infty$ ، ويقارن الدالة الأسية والقوى واللوغاريتم عند اللانهاية.
يقارن درس الدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر هذه الدوال بـ $\operatorname{o}$ الصغيرة، و $\operatorname{O}$ الكبيرة، والرتبة نفسها، والتكافؤ؛ ويبرهن أنه، في جداء أو خارج قسمة، يمكن استبدال كل عامل بعامل مكافئ له، لا في مجموع، إلا إذا كانت مكافئات حدود المجموع من الإشارة نفسها، ويجمع نهايات الدروس التي سبقت في جدول للمتكافئات عند الصفر.

وتُختتم الوحدة بدرس الخلاصة والتحديات، الذي يجمع ما تحقق في سلسلة استنتاجية، ويعيد في تقييم الخروج الخاص به مهارات تقييم الدخول، ويقترح عشر مسائل أشد صعوبة.

الخلفية التاريخية

ولا يتطابق الترتيب المنطقي للوحدة مع الترتيب التاريخي كذلك. فطوال أكثر من قرن مورس حساب التفاضل والتكامل بنجاح دون تعريف للنهاية؛ وعُرّف الاتصال تعريفًا دقيقًا قبل النهاية بصورتها الحالية، وجاء التعريف بإبسيلون ودلتا في نهاية المسار، حين كان حساب التفاضل والتكامل قد حلّ المسائل التي نشأ من أجلها. ويحسن تتبّع هذا التاريخ، لأن الاعتراضات التي كان عليه أن يتغلب عليها هي نفسها التي يثيرها الطالب عادة.

اللانهاية عند الإغريق

اقترح زينون الإيلي، الذي عاش بين سنتي 490 و425 قبل الميلاد تقريبًا، حججًا ضد إمكان الحركة تُعرف خصوصًا من كتاب الطبيعة لأرسطو. وتقول حجة التنصيف إنه لقطع طريق يجب أولًا بلوغ منتصفه، وقبل ذلك منتصف نصفه، وهكذا بلا نهاية، فلا يمكن للحركة أن تبدأ. وتطرح المفارقة، دون أن تحلّها، مسألة ما إذا كان يمكن لمقادير لا نهائية العدد أن يكون مجموعها مقدارًا منتهيًا، مثل $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

وقد تجنّب الرياضيون الإغريق هذه المسألة بطريقة الاستنفاد، التي أعطاها يودوكسوس الكنيدي صيغة دقيقة نحو سنة 370 قبل الميلاد: لبرهان أن مساحة ما تساوي مقدارًا معيّنًا، تُرسم داخل الشكل مضلعات يمكن جعل الفرق بينها وبينه أصغر من أي مقدار معطى، ويُبرهن بالخلف أن المساحة لا يمكن أن تكون أكبر من ذلك المقدار ولا أصغر منه. ونحو سنة 225 قبل الميلاد برهن أرشميدس بهذه الطريقة أن مساحة القطعة المكافئية تساوي $\frac{4}{3}$ من مساحة المثلث المرسوم داخلها الذي له القاعدة نفسها والرأس نفسه، بجمع المثلثات التي تضاف في كل مرحلة، والتي تكوّن مساحاتها المتتالية $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . ومخطط الحجة، أي مقدار يمكن جعله أصغر من أي مقدار معطى، هو بالفعل مخطط التحدي والرد.

الكميات اللامتناهية في الصغر عند نيوتن ولايبنتس

في القرن السابع عشر، نالت مسألة المماسات ومسألة المساحات طريقة عامة. فقد كتب إسحاق نيوتن في أكتوبر 1666 رسالة عن التدفقات لم ينشرها، وفي سنة 1671 كتابه طريقة التدفقات والمتسلسلات اللانهائية، الذي لم يُنشر إلا سنة 1736. وأدخل غوتفريد فيلهلم لايبنتس رمز التكامل في مخطوطة مؤرخة في 29 أكتوبر 1675، وفي 21 نوفمبر كتب لأول مرة تكاملًا بالرمز والتفاضل، ونشر حسابه التفاضلي سنة 1684 في مجلة Acta Eruditorum في لايبزيغ، بعنوان Nova methodus pro maximis et minimis، وحسابه التكاملي في المجلة نفسها سنة 1686. وكان كلاهما يحسب بتزايدات تُعامل على أنها غير الصفر لتمكن القسمة عليها، وعلى أنها صفر لإهمالها في النهاية.

في سنة 1734، نشر جورج بيركلي المحلِّل، وهو نقد لأسس حساب نيوتن. فقد ذهب إلى أن التزايدات المتلاشية ليست كميات منتهية، ولا كميات لامتناهية في الصغر، ولا لا شيء، وأن الحساب يغيّر الفرض في منتصف الاستدلال، وسأل ألا يمكن تسميتها أشباح الكميات الراحلة. كانت النتائج صحيحة؛ والذي أظهره بيركلي هو أن الاستدلال الذي يسوّغها لم يكن كذلك. والمثال الآتي يعيد الحساب الذي كان ينتقده ويبيّن كيف يحلّه تعريف النهاية.

مثالخارج القسمة الذي انتقده بيركلي

لنعتبر ميل المماس للقطع المكافئ $y = x^2$ عند النقطة $(1, 1)$ . يرسم الشكل القواطع التي تصل هذه النقطة بنقطة أخرى من القطع المكافئ تزداد قربًا منها، ثم خارج القسمة بوصفه دالة في التزايد، مع الثغرة التي يتركها عند $h = 0$ .

البرهان

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
القاطع الذي يصل $(1, 1)$ بالنقطة التي فاصلتها $1 + h$ ، مع $h \neq 0$ ، ميله هو نسبة التزايد.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
من أجل $h \neq 0$ يساوي البسط $2h + h^2$ ، ويُختزل العامل $h$ . وكلما صغر $h$ قلّ ميل القواطع.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
هنا يكمن اعتراض بيركلي: إذا كان $h = 0$ فخارج القسمة $\frac{0}{0}$ ولا يمكن اختزاله؛ وإذا كان $h \neq 0$ فالنتيجة ليست $2$ . وكان حساب الكميات اللامتناهية في الصغر يستعمل $h \neq 0$ للقسمة و $h = 0$ لإهمال الحد $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
تعريف النهاية يزيل الاعتراض: فهو لا يفحص $h = 0$ ولا يشترط أن تساوي $q(h)$ القيمة $2$ ، بل أن تكون قريبة من $2$ بالقدر الذي نريد. ويُردّ على التحدي $\varepsilon$ بـ $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
إذن النهاية هي $2$ ، ميل المماس، ولا يلزم أن تكون أي كمية صفرًا وغير صفر في آن واحد. والمستقيم الذي ميله $2$ ويمر بـ $(1, 1)$ هو المماس.

النهاية أساسًا

وظل المخرج الذي أشار إليه المثال يشق طريقه طوال قرن. فقد اقترح جان لو رون دالمبير، في مقالة «التفاضل» من المجلد الرابع من الموسوعة، المكتوبة سنة 1754، أن يُبنى الحساب على نظرية النهايات، وعرّف المشتقة بأنها نهاية نسبة تزايدات. وفي سنة 1817 نشر برنارد بولزانو برهانًا تحليليًّا خالصًا لمبرهنة القيم الوسطى، بهدف معلن هو تحرير الحساب من مفهوم الكمية اللامتناهية في الصغر، واستعمل فيه مفهومًا للاتصال قريبًا جدًا من المفهوم الحالي؛ وبقي عمله قليل الشهرة في حياته. وفي سنة 1821 نشر أوغستان لويس كوشي كتابه دروس في التحليل، الذي كُتب لطلاب مدرسة البوليتكنيك في باريس، ووضع النهايات في أساس الحساب، وعرّف الدالة المتصلة بأنها التي يُحدث فيها تزايد لامتناهٍ في الصغر للمتغير تزايدًا لامتناهيًا في الصغر للدالة.

وفي الوقت نفسه كان مفهوم الدالة يتغير. فالدالة عند أويلر، سنة 1748، كانت عبارة تحليلية؛ وقبل بيتر غوستاف لوجون ديريشليه سنة 1837 مفهومًا أوسع بكثير، يمكن فيه أن تتعاقب القيم على أي نحو، وإليه يُنسب مثال الدالة التي تساوي $0$ على الأعداد النسبية و $1$ على غير النسبية، وهي غير متصلة عند كل النقاط. ومع دوال بهذه العمومية لم يعد الحدس الهندسي دليلًا مأمونًا، وصار على التعريفات ألا تتحدث إلا عن الأعداد والمتباينات.

تعريف فايرشتراس

تناول كارل فايرشتراس، الأستاذ في جامعة برلين منذ 1856، أسس التحليل لأول مرة في مقرره التمهيدي في التحليل سنتي 1859 و1860. وفي محاضراته، المعروفة خصوصًا من خلال مذكرات طلابه، كُتب تعريف النهاية والاتصال بإبسيلون ودلتا، بالصورة التي تستعملها هذه الدورة: دون حركة، ودون كميات لامتناهية في الصغر، بوصفه عبارة مكمّمة عن الأعداد الحقيقية. وفي سنة 1872، وهي السنة نفسها التي نشر فيها ريتشارد ديديكند وغيورغ كانتور إنشاءيهما للأعداد الحقيقية، اللذين يبرهنان التمام، قدّم فايرشتراس إلى أكاديمية برلين للعلوم دالة متصلة ليس لها مشتقة عند أي نقطة، دليلًا على أن حدس المنحنى المتصل لا يكفي للاستدلال عليه.

والترميز الذي يقارن به آخر دروس الوحدة الدوال لاحق لذلك. فقد أدخل باول باخمان الرمز $\operatorname{O}$ سنة 1894، في Die analytische Zahlentheorie، المجلد الثاني من مؤلَّفه في نظرية الأعداد، وأدخل إدموند لانداو، الذي تبنّاه، الرمز $\operatorname{o}$ سنة 1909، في مؤلَّفه عن توزيع الأعداد الأولية.

المسألة التي نشأ منها المفهوم

قادت ثلاث مسائل قديمة إلى حساب التفاضل والتكامل، وللمسائل الثلاث البنية نفسها. فسرعة متحرك في لحظة ينبغي أن تكون خارج قسمة المسافة المقطوعة على الزمن المستغرق حين يكون الزمن المستغرق صفرًا؛ وميل المماس لمنحنى ينبغي أن يكون ميل قاطع تنطبق نقطتاه؛ ومساحة شكل منحنٍ ينبغي أن تكون مجموع عدد لا نهائي من المستطيلات عرضها صفر. وفي الحالات الثلاث يعطي التعويض المباشر $\frac{0}{0}$ أو مجموعًا لا معنى له، والنتيجة الصحيحة هي ما تقترب منه التقريبات. والمسألتان الأوليان تقودان إلى المشتقة، التي هي موضوع الوحدة اللاحقة؛ والثالثة إلى التكامل، الذي يُدرس في التفاضل والتكامل 2.

غير أن «ما تقترب منه» ليس تعريفًا بعد، لثلاثة أسباب. الأول أن الاقتراب لا يكفي: فدرس نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد يبيّن أن قيم $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ تقترب من $3$ عندما ينتقل $x$ من $0{,}9$ إلى $0{,}99$ ، مع أن النهاية $2$ . والثاني أن الجدول يفحص عددًا منتهيًا من النقاط: فالدرس نفسه يبيّن أن $\sin\frac{\pi}{x}$ تساوي $0$ عند جميع النقاط التي على الصورة $\frac{1}{n}$ ومع ذلك ليس لها نهاية عند $0$ . والثالث أن قيم الجدول قد تكون محسوبة خطأً، كما يبيّن المثال الآتي.

مثالجدول مضلِّل

لنعتبر الدالة $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ ، المعرّفة من أجل $x \neq 0$ . يرسم الشكل تمثيلها البياني، مع الثغرة عند $x = 0$ ، وقيم جدول، والقيمة التي يعطيها حاسوب قريبًا جدًا من $0$ ؛ ثم الحد الأعلى الذي يحسم النهاية.

البرهان

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
القيم عند $1$ و $10^{-1}$ و $10^{-2}$ تبدو مقتربة من $0{,}1666\ldots$ ، أي من $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
لكن عند $x = 10^{-8}$ ، يحصل برنامج يحسب بالفاصلة العائمة المعتادة ذات الدقة المضاعفة على $0$ : فالمجموع $9 + 10^{-16}$ يُقرَّب إلى $9$ ، وطرح البسط يعطي $0$ تمامًا. والجدول وحده لا يحسم بين $\frac{1}{6}$ و $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
من أجل $x \neq 0$ ، نضرب ونقسم على المرافق $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ ؛ فيصير البسط $x^2$ ، الذي يُختزل.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
تُكتب المسافة إلى $\frac{1}{6}$ بالمرافق نفسه، وتُحدّ من الأعلى لأن $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ ، فيكون مربع $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ على الأقل $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
يُردّ على التحدي $\varepsilon$ بـ $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ ، والنهاية هي $\frac{1}{6}$ . والصفر $0$ الذي يعطيه الحاسوب خطأ تقريب: فالحد الأعلى يضمن أن $q\left(10^{-8}\right)$ يبعد عن $\frac{1}{6}$ أقل من $10^{-18}$ .

يجيب تعريف النهاية عن الاعتراضات الثلاثة: فهو يتحدث عن جميع النقاط القريبة دفعة واحدة، ويحدّد بالأعداد معنى «قريبًا بالقدر الذي نريد»، ويُبرهن بالمتباينات، لا بحسابات تقريبية. لكن للمسألة وجهًا آخر، لا يتعلق بالحساب بل بالوجود. فكثير من نهايات الوحدة يُبرهن بعد معرفة قيمتها أو تخمينها؛ أما غيرها فموجود دون أن نعرف كيف نحسبه، ووجوده يستند إلى تمام الأعداد الحقيقية. فمبرهنة الدوال الرتيبة في درس النهايات من جهة واحدة تعطي النهاية حدًّا أعلى أصغر، وعليها يتوقف اتصال الدالة الأسية واللوغاريتم وسائر الدوال الأولية. ودرس النهاية والاتصال يبرهن أن الدالة المتصلة والموجبة عند نقطة تكون موجبة أيضًا عند نقاط مجال تعريفها القريبة منها، وحفظ الإشارة هذا، مع التمام، سيعطي في الوحدة اللاحقة مبرهنة القيم الوسطى. ودون التمام لا يصح شيء من هذا: فالدالة $x^2 - 2$ ، إذا اعتُبرت على الأعداد النسبية وحدها، تنتقل من قيم سالبة إلى قيم موجبة دون أن تنعدم أبدًا.

أهمية النهايات والاتصال

في بقية الدورة

تقوم الدورة كلها على هذه الوحدة. فالوحدة اللاحقة، المخصّصة للمشتقات، تعرّف في أول دروسها المشتقة بوصفها نهاية لدالة، أي نسبة التزايد في مثال بيركلي، وتستخرج قواعد الاشتقاق من جبر النهايات؛ ومشتقات الجيب والدالة الأسية واللوغاريتم، في درس مشتقات الدوال الأولية، هي النهايات الشهيرة في هذه الوحدة؛ وقاعدة السلسلة تستند إلى تركيب الدوال المتصلة؛ ومبرهنة القيم الوسطى تُبرهن بحفظ الإشارة والتمام، وتسوّغ طريقة التنصيف؛ ومشتقة الدالة العكسية، في الدرس المخصّص لمشتقة الدالة العكسية والاشتقاق الضمني، تتطلب اتصال الدالة العكسية. والوحدة الثالثة، المخصّصة لتطبيقات المشتقات، تبدأ بـمبرهنة فايرشتراس، التي تنص على أن الدالة المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة تبلغ قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى، وعليها تستند مبرهنة رول ومبرهنة التزايدات المنتهية، والبحث عن القيم العظمى والصغرى، ومسائل الأمثلة. وقاعدة لوبيتال تحل حالات عدم التعيين التي لا تعرف هذه الوحدة إلا التعرف عليها، وطريقة نيوتن-رافسون، التي تختم الدورة، تبرهن تقاربها بالتقعر نحو الأعلى وبالحد الأعلى الأصغر.

في دورات أخرى

في التفاضل والتكامل 2، يُعرَّف التكامل بأنه نهاية مجاميع مساحات مستطيلات، وهي مسألة أرشميدس؛ والمتتاليات والمتسلسلات، التي لا تدرسها هذه الدورة، تُعالج بتعريفات من النوع نفسه، وكثيرة حدود تايلور تقيس خطأها بـ $\operatorname{O}$ الكبيرة من آخر دروس الوحدة. وفي التفاضل والتكامل 3، ينتقل التعريف بإبسيلون ودلتا إلى الدوال متعددة المتغيرات، بمسافة المستوى بدلًا من القيمة المطلقة، وقد تتوقف النهاية على الطريق الذي يُبلغ به النقطة. وفي أساسيات الميكانيكا، السرعة والتسارع اللحظيان نهايتان لنسب تزايدات. وفي الرياضيات المالية، الرسملة المستمرة هي نهاية $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ عندما يؤول $x$ إلى اللانهاية، وهي تساوي $e^{r}$ بحسب درس النهايات الشهيرة. وفي تحليل البيانات بلغة R، تتمايز نماذج النمو بسلوكها عند اللانهاية، وهو السلوك الذي تقارنه مقارنة الدالة الأسية والقوى واللوغاريتم. وفي البرمجة بلغة C++ I، يقرّب التنصيف جذرًا معتمدًا على مبرهنة القيم الوسطى، وتُقاس كلفة الخوارزمية بالترميز $\operatorname{O}$ لباخمان ولانداو، وتفرض أعداد الفاصلة العائمة التمييز بين النهاية الدقيقة والقيمة المحسوبة، كما في الجدول المضلِّل.

في العلم والتقنية

كل مقدار يتغير بصورة متصلة، كالموضع ودرجة الحرارة والتركيز والجهد الكهربائي، يوصف بدوال متصلة، ومعدلات تغيّره اللحظية نهايات. والتقريبات التي تعمل بها الهندسة والعلوم التجريبية (التخطيط الخطي لظاهرة قرب نقطة توازن، وتعويض $\sin x$ بـ $x$ في الاهتزازات الصغيرة، وإهمال حد أمام حد آخر أكبر منه بكثير) هي تكافؤات كتلك التي في آخر دروس الوحدة، وتصح بالشروط نفسها. والمقاربات تصف قيمة التشبع لعملية تستقر والنمو بلا حد لعملية لا تستقر. والحساب العددي، الذي يحل في الحاسوب ما ليس له صيغة مغلقة، يقوم على التمييز الذي أبرزه مثال الجدول المضلِّل: فالخوارزمية تنتج تقريبات، ولا يقول مدى اقترابها من القيمة الدقيقة إلا حد أعلى للخطأ مبرهن بالمتباينات.