الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للدوال المثلثية والإحداثيات القطبية. ويجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما بُرهن عليه في دروسها الستة: قياس الزوايا بطول القوس، وتعريف الجيب وجيب التمام على دائرة الوحدة ونتائجه، ودراسة هذه الدوال ودوالها العكسية، وحلّ المثلثات كلها، والإحداثيات القطبية ومنحنياتها. ويشرح كيف تستند هذه السلسلة إلى دورة الجبر والهندسة 1، من القسمة مع الباقي إلى القطوع المخروطية والمتجهات، وكيف تمهّد لعلم المثلثات التحليلي في الوحدة اللاحقة. ويعيد في تقييم الخروج مهارات تقييم الدخول في المقدمة، ويضيف سؤالين عن أسباب النتائج، ويختم بعشرة تحدّيات أصعب من مسائل الدروس، تجمع بين عدد منها وتتطلب في كل حالة فكرة خاصة.

أهداف التعلم

إعادة بناء سلسلة التعريفات والمبرهنات في الوحدة، من الراديان إلى المعادلة القطبية للقطوع المخروطية، مع تحديد النتيجة التي تعتمد عليها كل واحدة منها.
ربط نتائج الوحدة بنتائج دورة الجبر والهندسة 1 وبالمسائل التي يتركها علم المثلثات التحليلي مفتوحة.
حلّ مسائل تجمع بين قياس الأقواس، وتناظرات الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية، ودوالها العكسية، وحلّ المثلثات، والإحداثيات القطبية.

ما حقّقته الوحدة

من الزوايا إلى الدوال

تنطلق الوحدة من حقائق قليلة مقبولة، يحسن تعدادها بدقة. يتطلب الأوليان منها حساب التفاضل والتكامل: الحقائق المتعلقة بالأطوال والمساحات (لكل قوس طول، ولكل منطقة تحدّها قطع مستقيمة وأقواس مساحة؛ وكلاهما جمعيّ، ولا يتغير بتحريك الأشكال، ويكبر بكبرها؛ والأقواس التي تحصرها زاوية مركزية واحدة متناسبة مع أنصاف الأقطار، ومساحة القرص الذي نصف قطره $r$ هي $\pi r^2$ )، ومسلّمة السير على الدائرة بطول القوس: لكل عدد حقيقي $s$ توجد نقطة وحيدة $P(s)$ من دائرة الوحدة يُوصل إليها بالسير عليها انطلاقًا من $(1, 0)$ مسافةً طولها $\abs{s}$ ، في الاتجاه الذي تدل عليه إشارة $s$ ؛ ولهذا السير خاصية التعاقب (التقدم بمقدار $t$ انطلاقًا من $P(s)$ يؤدي إلى $P(s + t)$ )، ودوره $2\pi$ ، ويبلغ كل النقاط، ويقطع في نصف الدورة الأول، الذي ينتهي عند $P(\pi) = (-1, 0)$ ، نصف الدائرة العلوي بإحداثي سيني متناقص تناقصًا تامًا. أما الباقية فتأتي من الهندسة الأولية، التي لا تطوّرها الدورة: مجموع زوايا المثلث $\pi$ ، وتساوي زاويتي القاعدة في المثلث المتساوي الساقين، وجمع الزوايا المتجاورة، وموضع مركز الدائرة بالنسبة إلى زاوية محيطية، ومعايير التشابه، ومبرهنة فيثاغورس، وحفظ الأطوال بالانعكاسات، التي تعكس اتجاه الدوران، وبالدوران بنصف دورة، الذي يحفظه، ومقارنة الزوايا التي يُرى بها وتر الدائرة من نقاط داخل القرص وخارجه. ومعها تُقبل أيضًا قيمة $\pi$ ، التي يبدأ تمثيلها العشري بـ 3,14159، بحيث $3 < \pi < 4$ ، وكذلك كونه عددًا غير نسبي. وتُقبل حقيقتان أخريان، تتطلبان كذلك حساب التفاضل والتكامل، في الدرس المخصّص لـالدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية، ولا تستعملهما إلا بعض المسائل، ولا تستعملهما مبرهنات السلسلة أبدًا: اتصال الدوال المثلثية ودوالها العكسية، الذي بفضله تُطبَّق عليها مبرهنة القيم الوسطى، وهي لا تُقبل من جديد بل يُستشهد بها من دورة الجبر والهندسة 1، والتقعّر التام للجيب في كل فترة $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ؛ كما أن المسألة المحلولة الأخيرة في الدرس المخصّص لـالنسب المثلثية تقبل، للسبب نفسه، أن مساحات المضلعات المنتظمة المحاطة بالدائرة تقترب من مساحة القرص قدر ما نشاء. وعلى هذا الأساس عرّف الدرس المخصّص لـالزوايا وقياسها العدد $\pi$ بأنه نصف طول دائرة الوحدة، والقياس بالراديان بأنه طول القوس المقطوع، بإشارة؛ وبعكس نصف الدورة الأول بالنسبة إلى المحور $x$ ، برهن أن السير في النصف الثاني يمرّ بنصف الدائرة السفلي بإحداثي سيني متزايد تزايدًا تامًا؛ ومن الأساس نفسه نتج التحويل بين الدرجات والراديان، والصيغتان $s = r\theta$ و $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ ، ومبرهنة الزاوية المحيطية، التي تساوي نصف القوس الذي تحصره، ومبرهنة الردّ إلى الدورة الأولى، التي بموجبها يُكتب كل عدد حقيقي بطريقة وحيدة على الشكل $\theta_0 + 2k\pi$ حيث $\theta_0$ في $\ico{0}{2\pi}$ . وبما أن المسلّمة تقتضي أن الدورة الواحدة لا تمرّ مرتين بالنقطة نفسها، فإن عددين يحدّدان النقطة نفسها $P(\theta)$ إذا وفقط إذا اختلفا بمضاعف صحيح لـ $2\pi$ .

قدّم الدرس المخصّص لـالنسب المثلثية ودائرة الوحدة تعريفين للجيب وجيب التمام والظل: بوصفها نسبًا بين أضلاع مثلث قائم، يجعلها التشابه مستقلة عن المثلث، وبوصفها إحداثيات $P(\theta)$ ، وهذا التعريف صالح لكل عدد حقيقي؛ وبرهن أن التعريفين يتطابقان في الزوايا الحادة. ومن التعريف الثاني استُنتجت المتطابقة الفيثاغورية $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ ، والقيم الخاصة لـ $\frac{\pi}{6}$ و $\frac{\pi}{4}$ و $\frac{\pi}{3}$ ، وتناظرات الدائرة، التي تعطي الزوجية والفردية والدورية والعلاقات بين الزوايا المتكاملة والزوايا المتتامة. ومن ثمّ تأتي طريقة الزاوية المرجعية، التي تردّ حساب النسب المثلثية لأي زاوية إلى حسابها لزاوية حادة.

في الدرس المخصّص لـالدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية، صارت تلك النسب دوالّ لمتغير حقيقي. وقد بيّنت توطئة الأدوار، المبرهَن عليها بخاصية أرخميدس، وتحديد مواضع القيم العظمى أن $2\pi$ هو الدور الأصغر للجيب ولجيب التمام، وبيّن تحديد مواضع الأصفار أن $\pi$ هو الدور الأصغر للظل؛ وبُنيت التمثيلات البيانية بفرد الدائرة، وأعطت مقارنة مساحات مثلثين وقطاع المتباينة $\sin x < x < \tan x$ عندما $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ، التي ينتج عنها الحدّ $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ والمقاربات العمودية للظل. والمنحنيات الجيبية $a \sin(b(x - c)) + d$ ، المستخرجة من الجيب بتحويلات وحدة دورة الجبر والهندسة 1 المخصّصة للدوال الجبرية، تنمذج كل ظاهرة دورية ذات شكل بسيط.

العكس وقياس المثلثات

غير أن الدالة الدورية ليست تباينية. فقد قرأ الدرس المخصّص لـالدوال المثلثية العكسية في مسلّمة السير أن جيب التمام متناقص تناقصًا تامًا على $\icc{0}{\pi}$ ، لأن ذلك هو بند نصف الدورة مكتوبًا بالإحداثيات؛ ومن ذلك ومن تناظر الزوايا المتتامة برهن أن الجيب متزايد تزايدًا تامًا على $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ، ومن الاثنين أن الظل متزايد على $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ؛ وعرّف على هذه الفترات قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل، وميّز المساواة $\sin(\arcsin x) = x$ ، الصحيحة دائمًا، من $\arcsin(\sin x) = x$ ، الصحيحة في الفترة الرئيسية فقط. وبالتناظرات، حلّت الدوال العكسية المعادلات الأولية في دورة كاملة.

وبذلك صار كل شيء مهيّأً للدرس المخصّص لـحل المثلثات. فعند وضع رأس في المبدأ، تكون إحداثيات الرأس المقابل لضلعٍ $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ؛ ومن هنا تنتج، بهذا الترتيب، المساحة $\frac{1}{2} bc \sin A$ ، وقانون الجيوب، وبمبرهنة الزاوية المحيطية علاقته بنصف قطر الدائرة المحيطة، وقانون جيوب التمام، الذي يعمّم مبرهنة فيثاغورس، وصيغة هيرون. ولأن جيب التمام يحدّد زاوية المثلث والجيب لا يحدّدها، فإن حالة ضلعين والزاوية المقابلة لأحدهما لا تقبل أي حلّ أو تقبل حلًا واحدًا أو حلّين، ومبرهنة الحالة الملتبسة تعدّها بواسطة جذور معادلة تربيعية. وأخيرًا، أعطى قانون جيوب التمام ونشر مربع نظيم فرقٍ قياسَ الزاوية بين متجهين بواسطة الجداء السلمي.

نظام إحداثيات ثانٍ

قلب الدرس المخصّص لـالإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية وجهة النظر: فبدلًا من حساب الإحداثيات الديكارتية لنقطة انطلاقًا من بعدها عن المبدأ ومن زاويتها، سمّى النقطة بهذين العددين. وبقبول أنصاف الأقطار القطبية السالبة، وصف كل تمثيلات النقطة، وبرهن صيغ الانتقال، مع قوس الظل مصحّحًا بحسب الربع، واستخرج من قانون جيوب التمام المسافة بين نقطتين بالإحداثيات القطبية. ومكّنت معايير التناظر وجداول القيم من رسم المنحنيات القلبية والمنحنيات الوردية واللوالب والحلزونات، وتحوّلت مبرهنة البؤرة والمستقيم الدليل إلى المعادلة $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ ، التي يُقرأ فيها نوع كل قطع مخروطي ورؤوسه ووتره البؤري العمودي.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يأتي من دورة الجبر والهندسة 1 أو يُقبل دون برهان، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aالسير على الدائرة بطول القوس. لكل عدد حقيقي $s$ توجد نقطة وحيدة $P(s)$ من دائرة الوحدة يُوصل إليها بالسير عليها انطلاقًا من $(1, 0)$ مسافةً طولها $\abs{s}$ ، عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كان $s > 0$ وفي اتجاه عقارب الساعة إذا كان $s < 0$ . والتقدم انطلاقًا من $P(s)$ مسافةً طولها $t$ عكس اتجاه عقارب الساعة يؤدي إلى $P(s + t)$ ، وفي اتجاه عقارب الساعة إلى $P(s - t)$ ؛ ويتحقق $P(s + 2\pi) = P(s)$ ؛ وكل نقطة من الدائرة هي $P(s)$ لعدد ما $s$ ؛ و $P(\pi) = (-1, 0)$ ، والإحداثي السيني لـ $P(s)$ متناقص تناقصًا تامًا، مع إحداثي صادي غير سالب، عندما يتزايد $s$ من $0$ إلى $\pi$ . تُقبل دون برهان، لأنها تستند إلى طول القوس وإلى خاصية القيمة الوسطى؛ ويُستنتج نصف الدورة الثاني من الأول بالانعكاسات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bالأطوال والمساحات. لكل قوس طول، ولكل منطقة تحدّها قطع مستقيمة وأقواس مساحة؛ وللأشكال المتطابقة القياس نفسه، والقياسات جمعية، ومساحة منطقة تحوي أخرى ليست أصغر منها، وهي أكبر إذا احتوى الفرق قرصًا؛ والأقواس التي تحصرها زاوية مركزية واحدة متناسبة مع أنصاف الأقطار، ومساحة القرص الذي نصف قطره $r$ هي $\pi r^2$ . تُقبل دون برهان، لأن الأطوال والمساحات المنحنية تُعرَّف بواسطة النهايات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cالانعكاسات والدورانات. الانعكاس بالنسبة إلى مستقيم يحفظ المسافات وأطوال الأقواس، ويعكس اتجاه الدوران؛ والدوران بنصف دورة حول المبدأ يحفظها ويحفظ الاتجاه. يُقبل من الهندسة الأولية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dالهندسة الأولية. مجموع زوايا المثلث الثلاث $\pi$ ؛ وزاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان؛ ونصف المستقيم الذي يمرّ بداخل زاوية يقسمها إلى زاويتين مجموعهما الزاوية المعطاة؛ وإذا كان المركز داخل زاوية محيطية فإن القطر الخارج من الرأس يقسمها إلى زاويتين ويقطع القوس المحصور، وإذا كان خارجها وقع أحد الضلعين بين هذا القطر والضلع الآخر؛ ومعايير تشابه المثلثات ومبرهنة فيثاغورس؛ والنقطة الواقعة خارج القرص ترى وتر الدائرة بزاوية أصغر من الزاوية المحيطية الواقعة في الجهة نفسها، والنقطة الواقعة داخله بزاوية أكبر. تُقبل من الهندسة الأولية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eخاصية أرخميدس. إذا أُعطي عددان حقيقيان موجبان $p$ و $q$ ، فإن مضاعفًا طبيعيًا ما لـ $q$ يتجاوز $p$ ؛ وينتج عنها كثافة الأعداد النسبية ووجود أصغر عدد صحيح أكبر من عدد حقيقي معطى. بُرهن عليها في دورة الجبر والهندسة 1، في الوحدة المخصّصة للمجموعات العددية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fالدوال وكثيرات الحدود. الدالة الرتيبة تمامًا تباينية، والتمثيل البياني لدالتها العكسية هو انعكاس تمثيلها بالنسبة إلى المستقيم $y = x$ ، والتحويلات تسحب التمثيلات البيانية وتمدّدها، وجداول الإشارات وعلاقات فييت تحكم إشارات الخوارج وجذور كثيرات الحدود. بُرهن عليه في دورة الجبر والهندسة 1، في الوحدة المخصّصة للدوال الجبرية وكثيرات الحدود. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Gالهندسة التحليلية. صيغة المسافة، ومعادلة الدائرة، وميل المستقيم، والمتجهات مع الجداء السلمي، وتوصيف القطوع المخروطية بالبؤرة والمستقيم الدليل. بُرهن عليه في دورة الجبر والهندسة 1، في الوحدة المخصّصة للهندسة التحليلية في المستوي. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Hالتناظرات. الجيب دالة فردية وجيب التمام دالة زوجية؛ و $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ و $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ و $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ و $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ و $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ ، وكلاهما دوري دوره $2\pi$ . تثبت في: 10. التناظرات والدورية.

المقطع 1 من الزوايا إلى الدوال
- قياس الزوايا بطول القوس الذي تقطعه، وربط الزاوية المحيطية بالقوس الذي تحصره، وردّ كل عدد حقيقي إلى الدورة الأولى.
- تعريف الجيب وجيب التمام على دائرة الوحدة والبرهان على توافقهما مع نسب المثلث القائم.
- استنتاج المتطابقة الفيثاغورية والقيم الخاصة والتناظرات، وبها طريقة الزاوية المرجعية.
- دراسة الجيب وجيب التمام والظل بوصفها دوالّ: أدوارها الصغرى، وتمثيلاتها البيانية، والمتباينة $\sin x < x < \tan x$ ، والمنحنيات الجيبية.
1. القياس بالراديان. إذا كان $\pi$ يساوي نصف طول دائرة الوحدة، فإن القياس بالراديان لزاوية موجّهة هو طول القوس الذي تقطعه، بإشارة؛ وكل عدد حقيقي هو قياس زاوية ما، والزاوية التي قياسها $g$ درجة قياسها $\frac{\pi g}{180}$ راديان.
  تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), B (الأطوال والمساحات). يُبرهن في: الزوايا وقياسها: الدرجات والراديان.
2. القوس والقطاع. في دائرة نصف قطرها $r$ ، تحصر زاوية مركزية قياسها $\theta$ راديان، حيث $0 < \theta \leq 2\pi$ ، قوسًا طوله $s = r\theta$ وقطاعًا مساحته $\frac{1}{2} r^2 \theta$ .
  تستعمل: 1. القياس بالراديان. تستند إلى: B (الأطوال والمساحات), E (خاصية أرخميدس). يُبرهن في: الزوايا وقياسها: الدرجات والراديان.
3. الزاوية المحيطية. الزاوية المحيطية في دائرة نصف قطرها $r$ التي تحصر قوسًا طوله $s$ قياسها $\frac{s}{2r}$ ؛ ومن ثمّ فإن الزوايا المحيطية على وتر واحد متساوية أو متكاملة بحسب وقوع رؤوسها على القوس نفسه أو على قوسين مختلفين، والزاوية المحيطية في نصف دائرة قائمة.
  تستعمل: 2. القوس والقطاع. تستند إلى: B (الأطوال والمساحات), D (الهندسة الأولية). يُبرهن في: الزوايا وقياسها: الدرجات والراديان.
4. الردّ إلى الدورة الأولى. يُكتب كل عدد حقيقي $\theta$ بطريقة وحيدة على الشكل $\theta_0 + 2k\pi$ ، حيث $k$ عدد صحيح و $\theta_0$ في $\ico{0}{2\pi}$ ؛ ولأن الدورة الواحدة لا تكرّر النقاط، فإن زاويتين تشتركان في الضلع النهائي إذا وفقط إذا كان الفرق بينهما مضاعفًا صحيحًا لـ $2\pi$ .
  تستعمل: 1. القياس بالراديان. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), E (خاصية أرخميدس), C (الانعكاسات والدورانات). يُبرهن في: الزوايا وقياسها: الدرجات والراديان.
5. نسب الزاوية الحادة. في المثلثات القائمة التي فيها زاوية حادة $\alpha$ ، تتوقف النسب بين الأضلاع على $\alpha$ وحدها، وجيب $\alpha$ وجيب تمامها يقعان بين $0$ و $1$ دون أن يساويا أيًّا منهما.
  تستند إلى: D (الهندسة الأولية). يُبرهن في: النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. لكل عدد حقيقي $\theta$ ، جيب تمام $\theta$ وجيبه هما الإحداثي السيني والإحداثي الصادي للنقطة $P(\theta)$ من دائرة الوحدة، والظل هو خارج قسمتهما $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ عندما لا ينعدم جيب التمام؛ وإشاراتها في كل ربع تُستنتج من خاصية نصف الدورة ومن انعكاسها، أي نصف الدورة الثاني، وإشارات زاوية ما هي إشارات ردّها إلى الدورة الأولى.
  تستعمل: 1. القياس بالراديان, 4. الردّ إلى الدورة الأولى. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), C (الانعكاسات والدورانات). يُبرهن في: النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
7. توافق التعريفين. إذا كان $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ ، فإن الجيب وجيب التمام والظل المعرَّفة على دائرة الوحدة تتطابق مع المعرَّفة في مثلث قائم فيه زاوية حادة قياسها $\theta$ .
  تستعمل: 5. نسب الزاوية الحادة, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), C (الانعكاسات والدورانات), G (الهندسة التحليلية). يُبرهن في: النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
8. المتطابقة الفيثاغورية. لكل عدد حقيقي $\theta$ يتحقق $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ ، ومنها $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ عندما $\cos \theta \neq 0$ .
  تستعمل: 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية). يُبرهن في: النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
9. القيم الخاصة. جيب $\frac{\pi}{4}$ وجيب تمامه يساويان $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ؛ وجيب $\frac{\pi}{6}$ وجيب تمام $\frac{\pi}{3}$ يساويان $\frac{1}{2}$ ، وجيب تمام $\frac{\pi}{6}$ وجيب $\frac{\pi}{3}$ يساويان $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  تستعمل: 1. القياس بالراديان, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية), D (الهندسة الأولية), C (الانعكاسات والدورانات). يُبرهن في: النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
10. التناظرات والدورية. الجيب دالة فردية وجيب التمام دالة زوجية؛ للزاوية ومكمّلتها الجيب نفسه وجيبا تمام متعاكسان، و $\theta$ و $\pi + \theta$ جيباهما متعاكسان وجيبا تمامهما متعاكسان، وجيب زاوية هو جيب تمام متمّمتها، وكلاهما دوري دوره $2\pi$ ؛ ومن ثمّ فإن جيب زاوية وجيب تمامها هما، باستثناء إشارة ربعها، جيب زاويتها المرجعية وجيب تمامها.
  تستعمل: 4. الردّ إلى الدورة الأولى, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), C (الانعكاسات والدورانات), F (الدوال وكثيرات الحدود). يُبرهن في: النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
11. خواص الجيب وجيب التمام. مدى الجيب وجيب التمام هو $\icc{-1}{1}$ ؛ وينعدم الجيب بالضبط عند الأعداد $k\pi$ ويساوي $1$ بالضبط عند الأعداد $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ، ويساوي جيب التمام $1$ بالضبط عند الأعداد $2k\pi$ ، حيث $k$ عدد صحيح.
  تستعمل: 4. الردّ إلى الدورة الأولى, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه, 8. المتطابقة الفيثاغورية. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), H (التناظرات). يُبرهن في: الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.
12. الدور الأصغر. إذا كان $q$ الدور الأصغر لدالة، فإن أدوارها هي بالضبط الأعداد $kq$ ، حيث $k$ عدد طبيعي؛ و $2\pi$ هو الدور الأصغر للجيب ولجيب التمام.
  تستعمل: 11. خواص الجيب وجيب التمام. تستند إلى: E (خاصية أرخميدس). يُبرهن في: الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.
13. الجيب والقوس والظل. إذا كان $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ، يتحقق $\sin x < x < \tan x$ ؛ وينتج عن ذلك أن $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ لكل عدد حقيقي $x$ ، مع المساواة فقط عند $x = 0$ .
  تستعمل: 2. القوس والقطاع, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه, 11. خواص الجيب وجيب التمام. تستند إلى: B (الأطوال والمساحات), G (الهندسة التحليلية), H (التناظرات). يُبرهن في: الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.
14. خواص الظل. الظل دالة فردية، دورها الأصغر $\pi$ ، وتنعدم بالضبط عند الأعداد $k\pi$ ، ومداها $\mathbb{R}$ ، والمستقيمات $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ مقاربات عمودية لتمثيلها البياني.
  تستعمل: 8. المتطابقة الفيثاغورية, 11. خواص الجيب وجيب التمام, 13. الجيب والقوس والظل. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), F (الدوال وكثيرات الحدود), H (التناظرات). يُبرهن في: الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.
15. المنحنيات الجيبية. يُستخرج المنحنى الجيبي $y = a \sin(b(x - c)) + d$ ، حيث $a > 0$ و $b > 0$ ، من الجيب بتحويلات؛ ومداه $\icc{d - a}{d + a}$ ودوره الأصغر $\frac{2\pi}{b}$ .
  تستعمل: 11. خواص الجيب وجيب التمام, 12. الدور الأصغر. تستند إلى: F (الدوال وكثيرات الحدود). يُبرهن في: الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.
المقطع 2 العكس وقياس المثلثات
- استنتاج الرتابة التامة لجيب التمام والجيب من مسلّمة السير، ومنها رتابة الظل، على فتراتها الرئيسية، وتعريف دوالها العكسية.
- التمييز بين المساواة $\sin(\arcsin x) = x$ ، الصحيحة دائمًا، و $\arcsin(\sin x) = x$ ، وحلّ المعادلات الأولية في دورة كاملة.
- استنتاج مساحة المثلث وقانون الجيوب وقانون جيوب التمام وصيغة هيرون من إحداثيات رأس.
- عدّ حلول الحالة الملتبسة وقياس الزاوية بين متجهين بالجداء السلمي.
1. الرتابة والتقييدات التقابلية. بخاصية نصف الدورة في مسلّمة السير، جيب التمام متناقص تناقصًا تامًا على $\icc{0}{\pi}$ ؛ ومن ذلك ومن التناظرات، الجيب متزايد تزايدًا تامًا على $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ والظل على $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ؛ ومقيّدةً بهذه الفترات، هي تقابلات على $\icc{-1}{1}$ و $\icc{-1}{1}$ و $\mathbb{R}$ .
  تستعمل: 4. الردّ إلى الدورة الأولى, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه, 14. خواص الظل. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), F (الدوال وكثيرات الحدود), H (التناظرات). يُبرهن في: الدوال المثلثية العكسية.
2. الدوال العكسية. قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل، وهي الدوال العكسية لهذه التقييدات، تحقّق $\sin(\arcsin x) = x$ على $\icc{-1}{1}$ ، في حين أن $\arcsin(\sin x) = x$ لا يتحقق إلا على $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ؛ وفضلًا عن ذلك، $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ و $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  تستعمل: 8. المتطابقة الفيثاغورية, 16. الرتابة والتقييدات التقابلية. تستند إلى: F (الدوال وكثيرات الحدود), H (التناظرات). يُبرهن في: الدوال المثلثية العكسية.
3. المعادلات الأولية. إذا كان $-1 < c < 1$ و $\alpha = \arcsin c$ ، فإن للمعادلة $\sin x = c$ في $\ico{0}{2\pi}$ حلّين بالضبط، هما $\pi - \alpha$ ، وبحسب إشارة $\alpha$ ، إما $\alpha$ نفسه أو $2\pi + \alpha$ ؛ وللمعادلة $\cos x = c$ فيها الحلّان $\arccos c$ و $2\pi - \arccos c$ .
  تستعمل: 16. الرتابة والتقييدات التقابلية, 17. الدوال العكسية. تستند إلى: H (التناظرات). يُبرهن في: الدوال المثلثية العكسية.
4. مساحة المثلث. إذا وُضع الرأس $A$ في المبدأ والرأس $B$ على نصف محور الفواصل الموجب، فإن إحداثيات الرأس $C$ هي $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ، ومساحة المثلث هي $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  تستعمل: 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية), H (التناظرات). يُبرهن في: حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
5. قانون الجيوب. أضلاع المثلث متناسبة مع جيوب الزوايا المقابلة لها، والنسبة المشتركة $\frac{a}{\sin A}$ هي القطر $2R$ للدائرة المحيطة.
  تستعمل: 7. توافق التعريفين, 3. الزاوية المحيطية, 19. مساحة المثلث. تستند إلى: D (الهندسة الأولية), H (التناظرات). يُبرهن في: حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
6. قانون جيوب التمام. في كل مثلث يتحقق $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ ، الذي يؤول إلى مبرهنة فيثاغورس عندما تكون الزاوية $A$ قائمة.
  تستعمل: 8. المتطابقة الفيثاغورية, 19. مساحة المثلث. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية). يُبرهن في: حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
7. صيغة هيرون. مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه $a$ و $b$ و $c$ ونصف محيطه $s$ هي $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  تستعمل: 8. المتطابقة الفيثاغورية, 19. مساحة المثلث, 21. قانون جيوب التمام. تستند إلى: F (الدوال وكثيرات الحدود). يُبرهن في: حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
8. الحالة الملتبسة. إذا أُعطيت زاوية $A$ ، والضلع المجاور $c$ والضلع المقابل $a$ ، فإن المثلثات الممكنة تقابل الجذور الموجبة لـ $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ ، وعددها صفر أو واحد أو اثنان بحسب مقارنة $a$ بـ $c \sin A$ وبـ $c$ .
  تستعمل: 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه, 8. المتطابقة الفيثاغورية, 21. قانون جيوب التمام. تستند إلى: F (الدوال وكثيرات الحدود). يُبرهن في: حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
9. الزاوية بين متجهين. إذا كانت $\theta$ الزاوية بين المتجهين غير المنعدمين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ ، يتحقق $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  تستعمل: 21. قانون جيوب التمام. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية). يُبرهن في: حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
المقطع 3 نظام إحداثيات ثانٍ
- وصف كل التمثيلات القطبية لنقطة، مع قبول أنصاف الأقطار القطبية السالبة.
- الانتقال من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية بقوس الظل مصحّحًا بحسب الربع.
- حساب المسافات بالإحداثيات القطبية ورسم المنحنيات القطبية بمعايير التناظر.
- كتابة القطوع المخروطية التي بؤرتها في القطب وقراءة النوع والرؤوس والوتر البؤري العمودي في معادلتها.
1. تمثيلات النقطة. يمثّل الزوجان $(r_1, \theta_1)$ و $(r_2, \theta_2)$ النقطة نفسها المختلفة عن القطب إذا وفقط إذا كان $r_2 = r_1$ و $\theta_2 - \theta_1$ مضاعفًا زوجيًا لـ $\pi$ ، أو كان $r_2 = -r_1$ و $\theta_2 - \theta_1$ مضاعفًا فرديًا لـ $\pi$ .
  تستعمل: 4. الردّ إلى الدورة الأولى, 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه, 8. المتطابقة الفيثاغورية. تستند إلى: H (التناظرات). يُبرهن في: الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.
2. من الديكارتية إلى القطبية. لكل نقطة $(x, y)$ مختلفة عن القطب تمثيل وحيد فيه $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ و $\theta$ في $\ioc{-\pi}{\pi}$ ؛ وإذا كان $x \neq 0$ ، فزاويتها $\arctan \frac{y}{x}$ ، يُضاف إليها $\pi$ أو يُطرح منها عندما $x < 0$ .
  تستعمل: 25. تمثيلات النقطة, 17. الدوال العكسية. تستند إلى: A (السير على الدائرة بطول القوس), G (الهندسة التحليلية), H (التناظرات). يُبرهن في: الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.
3. المسافة بالإحداثيات القطبية. المسافة $d$ بين النقطتين $(r_1, \theta_1)$ و $(r_2, \theta_2)$ تحقق $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ ، أيًّا كانت إشارات أنصاف الأقطار.
  تستعمل: 4. الردّ إلى الدورة الأولى, 21. قانون جيوب التمام, 25. تمثيلات النقطة. تستند إلى: H (التناظرات). يُبرهن في: الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.
4. معايير التناظر. إذا تحوّلت معادلة منحنى قطبي إلى معادلة مكافئة عند تعويض $\theta$ بـ $-\theta$ ، أو $\theta$ بـ $\pi - \theta$ ، أو $r$ بـ $-r$ ، كان المنحنى متناظرًا، على الترتيب، بالنسبة إلى المحور القطبي، أو المستقيم $\theta = \frac{\pi}{2}$ ، أو القطب.
  تستعمل: 6. جيب عدد حقيقي وجيب تمامه. تستند إلى: H (التناظرات). يُبرهن في: الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.
5. المعادلة القطبية للقطوع المخروطية. إذا كان $e > 0$ و $d > 0$ ، فإن النقاط التي بعدها عن القطب يساوي $e$ مرة بعدها عن المستقيم $x = d$ تشكّل التمثيل البياني لـ $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ .
  تستعمل: 25. تمثيلات النقطة. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية), H (التناظرات). يُبرهن في: الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.
6. عناصر القطع المخروطي القطبي. في القطع المخروطي $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ ، المحور القطبي هو المحور البؤري، وأحد الرأسين على بعد $\frac{ed}{1 + e}$ من القطب، وطول الوتر البؤري العمودي $2ed$ ؛ وإذا كان $e < 1$ ، فنصف المحور الأكبر هو $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  تستعمل: 28. معايير التناظر, 29. المعادلة القطبية للقطوع المخروطية. تستند إلى: G (الهندسة التحليلية). يُبرهن في: الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.

نحو علم المثلثات التحليلي. تتوقف السلسلة أمام جيب مجموع زاويتين وجيب تمامه: فالتناظرات لا تعطيهما إلا إذا كان أحد الحدّين مضاعفًا لـ $\frac{\pi}{2}$ . وتستنتج الوحدة اللاحقة صيغ المجموع والفرق، وتبرهن بها متطابقات، وتحلّ المعادلات المثلثية في الحالة العامة، وتصنّف معادلات الدرجة الثانية بواسطة دوران المحورين.

الوحدة داخل الدورة

تستند الوحدة، وهي الأولى في دورة الجبر والهندسة 2، إلى دورة الجبر والهندسة 1 في مواضع محدّدة. فالردّ إلى الدورة الأولى هو القسمة مع الباقي من درس دورة الجبر والهندسة 1 المخصّص لـقابلية القسمة، منقولةً إلى الأعداد الحقيقية بخاصية أرخميدس من درس دورة الجبر والهندسة 1 المخصّص لـالتمثيل العشري للأعداد النسبية، ومُدّت مساحة القطاع إلى كل الزوايا بكثافة الأعداد النسبية من درس دورة الجبر والهندسة 1 المخصّص لـالمستقيم الحقيقي. وطبّقت الدوال العكسية مبرهنتي الدالة العكسية والتحويلات من درس دورة الجبر والهندسة 1 المخصّص لـالعمليات على الدوال، ودُرست المقاربات بجداول الإشارات. وتأتي دائرة الوحدة والميول والمتجهات والجداء السلمي والقطوع المخروطية من وحدة دورة الجبر والهندسة 1 المخصّصة للهندسة التحليلية في المستوي، التي أعطى درسها المخصّص لـالقطوع المخروطية مبرهنة البؤرة والمستقيم الدليل. وأخيرًا، استبق درس دورة الجبر والهندسة 1 المخصّص لـالدوال الزائدية المماثلةَ التي تكملها هذه الوحدة: يصف الجيب وجيب التمام الدائرة $x^2 + y^2 = 1$ كما يصف الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي القطع الزائد $x^2 - y^2 = 1$ .

ومع ذلك يبقى سؤال بلا جواب يخترق الوحدة كلها: كيف يُحسب جيب مجموع زاويتين وجيب تمامه انطلاقًا من جيب كل حدّ وجيب تمامه؟ لا تجيب عنه التناظرات إلا إذا كان أحد الحدّين مضاعفًا لـ $\frac{\pi}{2}$ ؛ وقيم $\frac{\pi}{12}$ أو $\frac{\pi}{10}$ تتطلب إنشاءات هندسية خاصة؛ وضرب عددين مركبين في الشكل القطبي، الذي أُعلن عنه في الدرس المخصّص للإحداثيات القطبية، يتوقف عليه. والوحدة اللاحقة، التي تبدأ بـمقدمة علم المثلثات التحليلي، تجيب عن هذا السؤال بصيغ المجموع والفرق، وتبرهن بها متطابقات، وتحلّ المعادلات المثلثية في الحالة العامة، وتصنّف معادلات الدرجة الثانية بواسطة دوران المحورين.