Комплексные числа в тригонометрической форме: введение

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

1. Вопрос 1Каково главное значение аргумента числа $z = -1 - i\sqrt{3}$?

   $-\frac{2\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{4\pi}{3}$

   $-\frac{\pi}{3}$

2. Вопрос 2Вычислить $\left( \sqrt{3} + i \right)^6$.

3. Вопрос 3Какова линеаризация выражения $\sin^2 \theta \cos^2 \theta$?

   $\frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

   $\frac{1 - \cos 4\theta}{4}$

   $\frac{1 + \cos 4\theta}{8}$

   $\frac{1 - \cos 2\theta}{8}$

4. Вопрос 4Какое из этих чисел является корнем четвёртой степени из $-16$?

   $\sqrt{2} + i\sqrt{2}$

   $2i$

   $-2$

   $4\left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

5. Вопрос 5Сколько существует первообразных корней девятой степени из единицы?

6. Вопрос 6Каковы комплексные числа $z$, удовлетворяющие уравнению $e^z = -e$?

   $z = 1 + (2k + 1)\pi i$, где $k$ целое.

   $z = 1$

   $z = 1 + 2k\pi i$, где $k$ целое.

   Таких нет, поскольку экспонента положительна.

7. Вопрос 7Два громкоговорителя издают один и тот же чистый тон. В месте, где находится тот, кто слушает, создаваемые ими колебания давления равны $3 \cos(\omega t)$ и $8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right)$, в миллипаскалях. Какова амплитуда суммарного колебания давления, в миллипаскалях?

8. Вопрос 8Каков образ точки $3 + i$ при повороте на четверть оборота в положительном направлении вокруг точки $1 + i$?

   $1 + 3i$

   $-1 + 3i$

   $1 - i$

   $3 + 3i$

9. Вопрос 9Пусть $z_1$, $z_2$ и $z_3$ суть корни многочлена $z^3 - 2z^2 + 5z - 1$. Вычислить $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2$.

10. Вопрос 10Каковы корни уравнения $t^3 - 6t + 2 = 0$?

    Три различных действительных корня.

    Один действительный корень и два комплексно сопряжённых недействительных.

    Три действительных корня, один из них двойной.

    Ни одного действительного корня.

11. Вопрос 11Из предыдущих разделовКакое число является обратным к $3 - 4i$?

    $\frac{3 + 4i}{25}$

    $\frac{3 + 4i}{5}$

    $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} i$

    $\frac{-3 + 4i}{25}$

12. Вопрос 12Из предыдущих разделовКаково точное значение $\sin \frac{\pi}{12}$?

    $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

    $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

    $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$

    $\frac{1}{2}$