Приложения производной: введение

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

1. Вопрос 1В каком из этих случаев теорема Вейерштрасса гарантирует, что функция достигает наибольшего значения на указанном множестве?

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$ на $\icc{0}{2}$

   $f(x) = \arctan x$ на $\mathbb{R}$

   $f(x) = x^2$ на $\ico{0}{1}$

   Функция, равная $x$ на $\ico{0}{1}$ и $0$ в точке $1$, на промежутке $\icc{0}{1}$

2. Вопрос 2Функция $f$ дифференцируема на $\mathbb{R}$, причём $f(0) = 1$ и $\abs{f'(x)} \leq 2$ при всех $x$. Что можно гарантировать относительно $f(3)$?

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   Ничего, потому что производная неизвестна ни в одной точке.

3. Вопрос 3Вычислить $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$.

   $0$

   Не существует, потому что отношение производных не имеет предела.

   Не существует, потому что $\sin\frac{1}{x}$ не имеет предела при $x \to 0$.

   $1$

4. Вопрос 4Является ли строго возрастающей на $\mathbb{R}$ функция $f(x) = x + \cos x$?

   Да: её производная, $1 - \sin x$, неотрицательна и не обращается в нуль во всех точках никакого интервала.

   Нет: её производная обращается в нуль в бесконечном числе точек.

   Она возрастает, но не строго, потому что её производная положительна не во всех точках.

   Она не монотонна, потому что косинус то растёт, то убывает.

5. Вопрос 5Функция $f$ непрерывна на $\icc{0}{4}$ и дифференцируема в каждой точке $\ioo{0}{4}$, кроме $1$, а её производная обращается в нуль только в точке $3$. Если $f(0) = 2$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$, $f(3) = 5$ и $f(4) = 4$, то каковы её абсолютный максимум и абсолютный минимум на $\icc{0}{4}$?

   Максимум равен $5$, а минимум $-1$.

   Максимум равен $5$, а минимум $2$.

   Максимум равен $4$, а минимум $2$.

   Без формулы для $f$ этого узнать нельзя.

6. Вопрос 6Каковы точки перегиба функции $f(x) = x^5 - 5x^4$?

   Только $3$.

   $0$ и $3$, потому что в них обращается в нуль вторая производная.

   $0$ и $4$, потому что в них обращается в нуль производная.

   Таких нет, потому что третья производная обращается в нуль в точке $0$.

7. Вопрос 7Какова соприкасающаяся окружность графика функции $f(x) = \frac{1}{x}$ в точке $(1, 1)$?

   Окружность с центром $(2, 2)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

   Окружность с центром $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

   Окружность с центром $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ и радиусом $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

   Окружность с центром $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ и радиусом $\frac{1}{2}$.

8. Вопрос 8Какие точки параболы $y = x^2$ ближе всего к точке $(0, 2)$?

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ и $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   Вершина $(0, 0)$.

   Только $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$.

   Таких нет: поскольку парабола не ограничена, расстояние может не достигать наименьшего значения.

9. Вопрос 9Функция $f(x) = e^x - 3$ возрастает и выпукла вниз на $\mathbb{R}$, а её корень равен $\ln 3$, что близко к $1{,}0986$. Как ведут себя итерации Ньютона-Рафсона с начальным приближением $x_0 = 0$?

   Первая перескакивает на другую сторону от корня, в $x_1 = 2$, а оттуда итерации убывают к $\ln 3$, не переходя через него.

   Они возрастают к $\ln 3$, не переходя через него, потому что начинаются слева от него.

   Они не сходятся, потому что $f(x_0) < 0$ не удовлетворяет условию теоремы.

   Они чередуются по обе стороны от корня, всё ближе к нему.

10. Вопрос 10Из предыдущих разделовФункция $f$ непрерывна на $\icc{0}{1}$, причём $f(0) = 1$ и $f(1) = -1$. Что можно гарантировать?

    Что она обращается в нуль в некоторой точке $\ioo{0}{1}$.

    Что она обращается в нуль ровно в одной точке $\ioo{0}{1}$.

    Что она убывает на $\icc{0}{1}$.

    Что она обращается в нуль в точке $\frac{1}{2}$.

11. Вопрос 11Из предыдущих разделовФункция $f$ определена на интервале, содержащем $a$, и $f'(a) > 0$. Что можно гарантировать?

    Что существует $\delta > 0$, такое что $f(x) < f(a)$ при $a - \delta < x < a$ и $f(x) > f(a)$ при $a < x < a + \delta$.

    Что $f$ возрастает на некотором интервале, содержащем $a$.

    Что $f(x) > f(a)$ при всех $x > a$ из промежутка.

    Что $f'(x) > 0$ при всех $x$, близких к $a$.

12. Вопрос 12Из предыдущих разделовВычислить $f''(1)$ для $f(x) = x^2 \ln x$.

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. Вопрос 13Из предыдущих разделовУравнение $x^2 + xy + y^2 = 3$ задаёт вблизи точки $(1, 1)$ дифференцируемую функцию $y(x)$, причём $y(1) = 1$. Чему равно $y'(1)$?

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. Вопрос 14Из предыдущих разделовВычислить $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$.

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    Не существует, потому что отношение имеет вид $\frac{0}{0}$.