Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Монотонность и признак экстремума по первой производной

Краткое содержание

Этот урок превращает знак производной в сведения о целом промежутке. С помощью теоремы Лагранжа о среднем значении он доказывает, что функция с положительной производной на промежутке строго возрастает на нём, а с неотрицательной производной возрастает; обратно, производная возрастающей функции неотрицательна, хотя производная строго возрастающей функции может обращаться в нуль, и урок описывает, когда это происходит. Отсюда вытекают обратимость функции с положительной производной, название кандидатов в точки локального экстремума, критические точки, и признак экстремума по первой производной, который решает, есть ли экстремум, по смене знака производной. Теорема Дарбу, доказанная с помощью теорем Вейерштрасса и Ферма, показывает, что производная, даже если она не непрерывна, не перескакивает через значения: у неё нет ни устранимых разрывов, ни разрывов типа скачка, и если она не обращается в нуль на промежутке, то не меняет на нём знак. Урок завершается неравенствами, которые доказываются сравнением функций по их производным, и выполняет то, что раздел о производных не раз обещал, не имея возможности доказать.

Цели обучения

  1. Доказать с помощью теоремы о среднем значении, что знак производной на промежутке определяет монотонность, и распознавать, когда строго возрастающая функция имеет нулевую производную в некоторых точках.
  2. Находить критические точки функции и определять с помощью признака экстремума по первой производной, какие из них являются точками локального экстремума, включая точки, где производной нет.
  3. Доказать теорему Дарбу и применять её, чтобы показать, что функция со скачком не является производной никакой функции на промежутке.
  4. Доказывать неравенства между функциями, исследуя знак производной их разности, и замечать, когда такое рассуждение было бы порочным кругом.

Знак производной и монотонность

Утверждение о знаке производной в точке, из урока о скорости изменения, сравнивает каждое значение вблизи aa с f(a)f(a), и не более того: функция x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}, доопределённая значением 00 в точке 00, имеет производную 11 в точке 00 и не возрастает ни на каком промежутке, содержащем 00. Чтобы получить сведения о целом промежутке, нужно знать знак производной во всех его точках, и теорема о среднем значении, из урока о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, переводит это знание в сравнение значений. Напомним, что, согласно уроку о действиях с функциями из курса «Алгебра и геометрия I», функция ff возрастает на множестве II, если из x<yx < y следует f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) для всех его точек, и строго возрастает, если из этого следует f(x)<f(y)f(x) < f(y):

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

и убывает или строго убывает, если из этого следует f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) или f(x)>f(y)f(x) > f(y).

ТеоремаМонотонность по знаку производной

Пусть функция ff непрерывна на промежутке II и дифференцируема в каждой внутренней точке II.

  • Если f′(x)≥0f'(x) \geq 0 в каждой внутренней точке xx промежутка II, то ff возрастает на II; если f′(x)>0f'(x) > 0 в каждой такой точке, она строго возрастает на II.
  • Если f′(x)≤0f'(x) \leq 0 в каждой внутренней точке xx промежутка II, то ff убывает на II; если f′(x)<0f'(x) < 0 в каждой такой точке, она строго убывает на II.

Для любых двух точек теорема о среднем значении придаёт разности значений знак производной в промежуточной точке.

Доказательство

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    Пусть x<yx < y есть две точки из II. Так как II является промежутком, он содержит [x,y]\icc{x}{y}, где ff непрерывна, а точки из (x,y)\ioo{x}{y} являются внутренними точками II, где ff дифференцируема. По теореме Лагранжа о среднем значении существует cc между xx и yy, такое что:

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    Множитель y−xy - x положителен, поэтому разность имеет знак f′(c)f'(c): если f′(c)≥0f'(c) \geq 0, она неотрицательна, а если f′(c)>0f'(c) > 0, она положительна. Поскольку xx и yy были любыми двумя точками из II, для которых x<yx < y, функция возрастает или, соответственно, строго возрастает.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    Если производная неположительна, сказанное выше применяется к −f-f, которая непрерывна на II и имеет производную −f′(x)-f'(x) в каждой внутренней точке по теореме о производной линейной комбинации из урока о правилах дифференцирования. То, что −f-f возрастает, означает, что ff убывает.

Производная требуется только во внутренних точках; в концах, принадлежащих промежутку, достаточно непрерывности. Так, x\sqrt{x} строго возрастает на [0,∞)\ico{0}{\infty}, хотя не дифференцируема в точке 00. Теорема выполняет три обещания раздела о производных. Урок о производных элементарных функций отметил, что производная тангенса, 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x, положительна, хотя тангенс не возрастает на своей области определения, которая не является промежутком; на каждом интервале (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}, где kk целое, теорема делает его строго возрастающим. Урок о переменной в показателе вычислил производную x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}, которая положительна на (0,e)\ioo{0}{e} и отрицательна на (e,∞)\ioo{e}{\infty}; поскольку функция непрерывна на (0,∞)\ioo{0}{\infty}, она строго возрастает на (0,e]\ioc{0}{e} и строго убывает на [e,∞)\ico{e}{\infty}. Это заново даёт утверждение о максимуме xx в степени 1x\frac{1}{x} из того урока и, кроме того, сравнивает два числа, лежащие по одну сторону от ee: так как e<3<4e < 3 < 4, имеем 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, то есть 34>433^4 > 4^3. Тот же урок доказал, что производная (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x положительна при всех x>0x > 0: функция строго возрастает на (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

УтверждениеЗнак производной монотонной функции

Пусть ff возрастает на промежутке II и дифференцируема во внутренней точке aa промежутка II. Тогда f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Если ff убывает, то f′(a)≤0f'(a) \leq 0. Если бы производная была отрицательной, утверждение о знаке производной в точке дало бы справа от aa значения, меньшие f(a)f(a).

Доказательство

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    Пусть r>0r > 0 таково, что J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} содержится в II, и пусть FF есть сужение ff на JJ; по лемме о локальном характере производной из урока о правилах дифференцирования FF дифференцируема в точке aa и F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). Предположим, что f′(a)<0f'(a) < 0. По утверждению о знаке производной в точке, применённому к FF на интервале JJ, существует δ>0\delta > 0, такое что:

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    Пусть ρ\rho есть меньшее из чисел δ\delta и rr. Точка a+ρ2a + \frac{\rho}{2} лежит в JJ и больше aa; поскольку ff возрастает, её значение там не меньше f(a)f(a), что противоречит полученному выше. Следовательно, f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Если ff убывает, то −f-f возрастает, и −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

Таким образом, для функции, дифференцируемой во всех точках интервала, возрастание равносильно неотрицательности производной. На строгую монотонность обратное утверждение не распространяется: x3x^3 строго возрастает на R\mathbb{R}, а её производная обращается в нуль в точке 00. Утверждение объясняет и пример из начала: урок о скорости изменения нашёл сколь угодно близко к 00 точки, в которых производная функции x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} отрицательна, и ни на каком промежутке, содержащем их, функция не может возрастать. Изъян в том, что эта производная не непрерывна в точке 00; если же она непрерывна, знак в точке распространяется на промежуток.

СледствиеПоложительная производная, непрерывная в точке

Пусть ff дифференцируема в каждой точке интервала II, и пусть aa есть точка из II, в которой f′f' непрерывна, причём f′(a)>0f'(a) > 0. Тогда существует δ>0\delta > 0, такое что ff строго возрастает на (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}. Производная сохраняет знак вблизи aa, и теорема применяется на промежутке, где знак сохраняется.

Доказательство

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    Так как f′f' непрерывна в точке aa, её предел в aa равен f′(a)>0f'(a) > 0. По утверждению о локальной ограниченности и сохранении знака из урока о пределе функции существует δ>0\delta > 0, которое можно выбрать так, чтобы (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} содержался в II, причём f′(x)>0f'(x) > 0 на этом интервале. Там ff дифференцируема, а значит, непрерывна; по теореме она строго возрастает.

Когда функция с неотрицательной производной строго возрастает? Пример x3x^3 показывает, что производная может обращаться в нуль в отдельных точках; чего она не может, так это обращаться в нуль на целом промежутке.

УтверждениеСтрогая монотонность при неотрицательной производной

Пусть ff непрерывна на промежутке II и дифференцируема в каждой внутренней точке II, причём f′(x)≥0f'(x) \geq 0 в каждой из них. Тогда ff строго возрастает на II в том и только в том случае, если не существует никакого интервала (p,q)\ioo{p}{q}, где p<qp < q, содержащегося в II, во всех точках которого f′f' обращается в нуль. В частности, если f′f' обращается в нуль лишь в конечном числе точек, то ff строго возрастает на II. Возрастающая функция, которая не возрастает строго, повторяет некоторое значение и между двумя точками, где она его повторяет, постоянна.

Доказательство

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    Предположим, что f′f' обращается в нуль во всех точках интервала (p,q)\ioo{p}{q}, содержащегося в II, и пусть p<s<t<qp < s < t < q. На [s,t]\icc{s}{t} функция непрерывна и имеет нулевую производную в точках (s,t)\ioo{s}{t}; по следствию о нулевой производной на промежутке из урока о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши она постоянна на [s,t]\icc{s}{t} и не является строго возрастающей.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    Обратно, предположим, что ff не возрастает строго. По теореме она возрастает, поэтому существуют s<ts < t из II, для которых f(s)=f(t)f(s) = f(t); всякое промежуточное значение заключено между двумя равными значениями, и ff постоянна на [s,t]\icc{s}{t}.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    Пусть xx из (s,t)\ioo{s}{t}. Сужение ff на (s,t)\ioo{s}{t} постоянно и имеет нулевую производную в точке xx; по лемме о локальном характере производной f′(x)=0f'(x) = 0. Производная обращается в нуль на всём интервале (s,t)\ioo{s}{t}, содержащемся в II. Если f′f' обращается в нуль лишь в конечном числе точек, такого интервала нет, потому что всякий интервал (p,q)\ioo{p}{q}, где p<qp < q, содержит бесконечно много точек.

Функция x+sin⁡xx + \sin x из решённой задачи 1 урока о производной обратной функции имеет производную 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0, которая обращается в нуль в бесконечном множестве точек π+2kπ\pi + 2k\pi; между двумя соседними из них производная положительна, и ни один интервал не состоит из нулей. Утверждение делает её строго возрастающей на R\mathbb{R}; тот урок получил это с помощью формулы разности синусов, и там это казалось удивительным. То же рассуждение допускает конечное число точек, где производной нет: если ff непрерывна на II и имеет положительную производную во всех её внутренних точках, кроме x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k, то теорема делает её строго возрастающей на каждом промежутке между двумя соседними из этих точек (и на крайних кусках), и неравенства соединяются одно с другим. Так, x3\sqrt[3]{x} строго возрастает на R\mathbb{R}, хотя не дифференцируема в точке 00. От непрерывности отказаться нельзя (задача 1 для самостоятельного решения).

СледствиеПоложительная производная и обратная функция

Пусть ff непрерывна на промежутке II, содержащем больше одной точки, и дифференцируема в каждой внутренней точке II, причём f′(x)>0f'(x) > 0 в каждой из них или f′(x)<0f'(x) < 0 в каждой из них. Тогда ff строго монотонна на II, её образ J=f(I)J = f(I) является промежутком, а обратная функция f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I непрерывна; в каждой точке b=f(a)b = f(a), где aa внутренняя точка II, обратная функция дифференцируема, и (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. Теорема даёт строгую монотонность, которая и является условием теоремы о производной обратной функции.

Доказательство

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    По теореме ff строго возрастает или строго убывает на II. По следствиям об образе промежутка и о непрерывности обратной функции из урока о теореме о промежуточном значении JJ является промежутком, а f−1f^{-1} непрерывна на JJ.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Если aa внутренняя, то ff дифференцируема в точке aa, причём f′(a)≠0f'(a) \neq 0, и теорема о производной обратной функции из урока о производной обратной функции даёт производную f−1f^{-1} в точке b=f(a)b = f(a).

Проверки раздела о производных считали известным, что x5+xx^5 + x и x3+2x+1x^3 + 2x + 1 строго возрастают на R\mathbb{R}; теперь достаточно заметить, что их производные, 5x4+15x^4 + 1 и 3x2+23x^2 + 2, положительны. А задача повышенной трудности об обратной к xexx e^x в итогах того раздела, где требовалось доказать без знака производной, что эта функция строго возрастает на [−1,∞)\ico{-1}{\infty}, решается теперь в одну строку: она там непрерывна, и её производная, (1+x)ex(1 + x) e^x, положительна на (−1,∞)\ioo{-1}{\infty}.