Gli insiemi numerici: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sugli insiemi numerici. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che le lezioni dell’unità hanno dimostrato: la costruzione degli interi, dei razionali e dei complessi a partire dall’insieme precedente, gli assiomi di campo ordinato completo che si ammettono per i reali, con la completezza come loro carattere proprio, e le conseguenze di ciascuna proprietà per il calcolo con disuguaglianze, numeri decimali, radicali, equazioni e numeri complessi. Spiega come questa catena si appoggi sull’aritmetica dei naturali dell’unità precedente e come prepari lo studio delle funzioni e dei polinomi dell’unità successiva. Termina con una valutazione d’uscita, parallela a quella d’ingresso, e con dieci sfide, più difficili dei problemi delle lezioni, ciascuna delle quali combina risultati di diverse di esse.

Obiettivi di apprendimento

Esporre in ordine logico le definizioni e i teoremi principali dell’unità, indicando da quali risultati precedenti dipende ciascuno.
Spiegare quale proprietà guadagna e quale perde ogni ampliamento numerico, e perché la completezza non si può ottenere con mezzi algebrici.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con l’aritmetica dei naturali e con lo studio delle funzioni algebriche e dei polinomi.
Risolvere problemi non di routine che richiedono di combinare l’aritmetica delle frazioni, l’ordine dei reali, il calcolo con i radicali, i sistemi lineari e i numeri complessi.

Ciò che l’unità ha ottenuto

L’unità è partita da una mancanza e da un principio. La mancanza: nei naturali non sempre si può sottrarre, dividere né estrarre radici. Il principio, enunciato nella lezione sugli insiemi numerici: ogni nuovo insieme conserva le operazioni e le proprietà del precedente e aggiunge gli elementi necessari perché un’operazione inversa, prima ristretta, risulti definita. Il risultato è la catena di inclusioni che organizza tutta l’unità:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Le costruzioni

Tre dei quattro ampliamenti si sono fatti con coppie di elementi dell’insieme precedente, e due di essi, quello degli interi e quello dei razionali, con uno stesso procedimento, che conviene riconoscere come tale. Si dichiara quando due coppie rappresentano lo stesso numero e si dimostra che questa dichiarazione si comporta come un’uguaglianza, cioè che è una relazione di equivalenza; le sue classi formano allora una partizione, come si è dimostrato nella lezione su insiemi, relazioni e funzioni, e il nuovo insieme è l’insieme quoziente; poi si definiscono le operazioni con rappresentanti e si dimostra che il risultato non dipende dai rappresentanti scelti. Nei numeri interi, la coppia di naturali $(a, b)$ rappresenta la sottrazione $a - b$ , e due coppie sono equivalenti quando $a + d = b + c$ ; nei numeri razionali, la frazione $\frac{p}{q}$ rappresenta un quoziente, e due frazioni sono equivalenti quando $ps = qr$ ; nei numeri complessi, la coppia di reali $(a, b)$ è già il numero, con un prodotto definito in modo che $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . Nei tre casi, l’insieme precedente ricompare dentro il nuovo mediante una corrispondenza che rispetta le operazioni, e ciò che nella presentazione intuitiva erano convenzioni diventa teorema: la regola dei segni, l’assenza di divisori dello zero, la cancellazione nel prodotto, l’unicità della frazione irriducibile e l’uguaglianza $i^2 = -1$ .

L’ordine e la completezza

Il quarto ampliamento è di natura diversa, e non si è fatto per costruzione. I razionali permettono già di sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere, e hanno un ordine compatibile con queste operazioni, denso e archimedeo; ma l’insieme dei razionali il cui quadrato è minore di $2$ è limitato e non ha estremo superiore razionale. Poiché la costruzione dei reali a partire dai razionali va oltre il corso, la lezione sugli insiemi numerici li ha ammessi come un campo ordinato completo: un insieme che contiene i razionali e soddisfa gli assiomi di campo, quelli d’ordine e quello di completezza, secondo il quale ogni insieme non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore. I primi due gruppi sono soddisfatti anche dai razionali; il terzo è quello che caratterizza i reali. Dalla completezza si sono dedotte, nella lezione sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali, la proprietà archimedea dei reali e il valore di ogni rappresentazione decimale infinita, con la caratterizzazione dei razionali come i numeri a rappresentazione finita o periodica; e nella lezione sulla retta reale, l’esistenza della radice $n$ -esima di ogni reale non negativo, la densità dei razionali nella retta e la caratterizzazione degli intervalli come gli insiemi senza lacune. Nessuna di queste proprietà si ottiene con somme e prodotti: la completezza è una proprietà dell’ordine, e per questo i reali non si possono costruire aggiungendo ai razionali le soluzioni di certe equazioni.

Il calcolo

Su questi fondamenti poggiano le tecniche di calcolo dell’unità. La lezione su potenze a esponente razionale e radicali ha usato l’unicità della radice principale per dimostrare che $a^{\frac{p}{q}}$ non dipende dalla frazione scelta e che valgono le proprietà delle potenze, e ha stabilito le proprietà dei radicali con le loro ipotesi sul segno, tra cui $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . La lezione su equazioni e disequazioni di primo grado ha trasformato le proprietà dei campi e dell’ordine in regole per trasformare equazioni e disequazioni senza perdere né aggiungere soluzioni, e ha classificato i sistemi di due equazioni mediante il loro determinante. Infine, i complessi hanno completato l’algebra: ogni equazione di secondo grado a coefficienti reali ha soluzione in essi, e quando il suo discriminante è negativo ne ha esattamente due, coniugate tra loro; e la geometria del piano si è tradotta in operazioni con il coniugato e il modulo. Il prezzo è stato l’ordine: in $\mathbb{C}$ non ce n’è nessuno compatibile con le operazioni, e la grandezza di un numero si misura con il suo modulo.

Ciò che si guadagna e ciò che si perde

Il bilancio dell’unità si può riassumere così:

Da $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ si guadagna l’opposto, e con esso la sottrazione; si perde il buon ordinamento, perché gli interi non hanno un elemento minimo.
Da $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ si guadagna l’inverso di ogni numero non nullo, e con esso la divisione; si perde il successore, perché tra due razionali ce n’è sempre un altro.
Da $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ si guadagna la completezza, e con essa le radici dei numeri non negativi e la misura di ogni segmento; si perde la rappresentazione finita o periodica di tutti i numeri.
Da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ si guadagna la soluzione di ogni equazione di secondo grado e, secondo il teorema fondamentale dell’algebra, di ogni equazione polinomiale non costante; si perde l’ordine compatibile con le operazioni.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli precedenti che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una tratteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che si ammettono o provengono dall’unità precedente, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

APrincipio degli ampliamenti. Ogni nuovo insieme numerico conserva le operazioni e le proprietà del precedente, e aggiunge gli elementi necessari perché un’operazione inversa, prima ristretta, risulti definita; si adotta come guida di tutta l’unità. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BAritmetica dei naturali. Le proprietà della somma, del prodotto e dell’ordine dei naturali, l’induzione, il buon ordinamento e la somma delle progressioni, dimostrati nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CDivisione con resto. Per ogni intero $a$ e ogni naturale $b$ esistono un unico quoziente $q$ e un unico resto $r$ tali che $a = bq + r$ e $0 \leq r < b$ ; dimostrato nell’unità sui numeri naturali, con le regole degli interi che la lezione sui numeri interi dimostra. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DBézout ed Euclide. Se $\operatorname{MCD}(a, b) = 1$ , esistono interi $x$ e $y$ con $ax + by = 1$ , e un primo che divide un prodotto divide qualcuno dei fattori; dimostrato nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
ECostruzione per classi. Si prendono coppie dell’insieme precedente, si dimostra che la condizione che identifica due coppie è una relazione di equivalenza, si prende come nuovo insieme il quoziente, le cui classi formano una partizione delle coppie, e si definiscono le operazioni con rappresentanti, provando che il risultato non dipende da quelli scelti. Stabilito in: 2. Costruzione degli interi.
FAssiomi di campo ordinato completo. Si ammette che i reali formino un campo ordinato completo che contiene i razionali: la somma e il prodotto soddisfano gli assiomi di campo; i positivi soddisfano la tricotomia e sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto; e ogni insieme non vuoto di reali limitato superiormente ha estremo superiore, che è l’assioma che caratterizza i reali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GUnicità della radice. Due reali non negativi con la stessa potenza $n$ -esima sono uguali; per questo basta esibire un numero non negativo la cui potenza sia quella data per sapere che è la radice principale. Stabilito in: 11. Unicità della radice principale.
HProprietà archimedea. Per ogni reale esiste un naturale maggiore di esso; di conseguenza, un reale $d$ con $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ per ogni naturale $n$ è nullo. Stabilito in: 13. Proprietà archimedea.

Tratto 1 Le costruzioni
- Costruire gli interi come classi di coppie di naturali e i razionali come classi di frazioni, con operazioni ben definite.
- Trasformare in teoremi la regola dei segni, l’assenza di divisori dello zero e la cancellazione nel prodotto.
- Dimostrare che ogni razionale ha un’unica frazione irriducibile, e che l’ordine dei razionali è denso e archimedeo.
- Costruire i complessi come coppie di reali, con un prodotto che dà $i^2 = -1$ .
1. Unicità dell’elemento neutro e dell’opposto. L’elemento neutro additivo è unico e ogni numero ha un unico opposto, in modo che $-(-c) = c$ ; allo stesso modo, ogni numero non nullo ha un unico inverso.
  Dimostrato in: Insiemi numerici: dai naturali ai complessi.
2. Costruzione degli interi. La relazione che rende equivalenti le coppie di naturali $(a, b)$ e $(c, d)$ quando $a + d = b + c$ è di equivalenza; le sue classi sono gli interi, con una somma e un prodotto ben definiti, commutativi, associativi e distributivi, con gli elementi neutri $C(1, 1)$ e $C(2, 1)$ e l’opposto $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali). Dimostrato in: I numeri interi: costruzione, segni e ordine.
3. Tricotomia degli interi. Identificando il naturale $n$ con la classe $C(n + 1, 1)$ si conservano la somma e il prodotto, e ogni intero è esattamente una di queste cose: un naturale, lo zero o l’opposto di un naturale.
  Usa: 2. Costruzione degli interi. Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali), A (Principio degli ampliamenti). Dimostrato in: I numeri interi: costruzione, segni e ordine.
4. Regola dei segni. Per tutti gli interi valgono $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ e $(-a)(-b) = ab$ ; inoltre, se $ab = 0$ , uno dei fattori è nullo, e un fattore non nullo comune a due prodotti uguali si cancella.
  Usa: 1. Unicità dell’elemento neutro e dell’opposto, 2. Costruzione degli interi, 3. Tricotomia degli interi. Dimostrato in: I numeri interi: costruzione, segni e ordine.
5. Ordine degli interi. Se $a < b$ significa che $b - a$ è naturale, sommare uno stesso intero conserva l’ordine, moltiplicare per un positivo lo conserva e per un negativo lo inverte; e la divisione con resto di un dividendo negativo si riduce a quella di un dividendo naturale.
  Usa: 1. Unicità dell’elemento neutro e dell’opposto, 3. Tricotomia degli interi, 4. Regola dei segni. Si appoggia su: C (Divisione con resto). Dimostrato in: I numeri interi: costruzione, segni e ordine.
6. Costruzione dei razionali. La relazione che rende equivalenti le frazioni $\frac{p}{q}$ e $\frac{r}{s}$ quando $ps = qr$ è di equivalenza; le sue classi sono i razionali, con una somma e un prodotto ben definiti, e ogni razionale non nullo $\frac{p}{q}$ ha per inverso $\frac{q}{p}$ .
  Usa: 1. Unicità dell’elemento neutro e dell’opposto, 4. Regola dei segni. Si appoggia su: E (Costruzione per classi), A (Principio degli ampliamenti). Dimostrato in: I numeri razionali: le frazioni e le loro operazioni.
7. Frazione irriducibile. Ogni numero razionale è rappresentato da una frazione irriducibile con denominatore naturale, e da una sola.
  Usa: 4. Regola dei segni, 6. Costruzione dei razionali. Si appoggia su: D (Bézout ed Euclide). Dimostrato in: I numeri razionali: le frazioni e le loro operazioni.
8. Ordine dei razionali. Con denominatori naturali, $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ quando $ps < qr$ ; quest’ordine non dipende dalle frazioni scelte, estende quello degli interi ed è compatibile con le operazioni, ed è denso e archimedeo: tra due razionali ce ne sono infiniti, e ogni razionale è superato da un naturale.
  Usa: 5. Ordine degli interi, 6. Costruzione dei razionali. Dimostrato in: I numeri razionali: le frazioni e le loro operazioni.
9. Costruzione dei complessi. Con $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ e $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ , le coppie di reali formano i complessi: le loro operazioni sono commutative, associative e distributive, le coppie $(a, 0)$ operano come i reali, $i = (0, 1)$ soddisfa $i^2 = -1$ e ogni complesso si scrive in un unico modo come $a + bi$ .
  Si appoggia su: A (Principio degli ampliamenti), F (Assiomi di campo ordinato completo). Dimostrato in: I numeri complessi: operazioni ed equazioni.
Tratto 2 L’ordine e la completezza
- Dedurre dagli assiomi dell’ordine le regole per operare con le disuguaglianze e l’unicità della radice principale.
- Dimostrare che i razionali non sono completi, perché l’insieme dei razionali di quadrato minore di $2$ non ha estremo superiore razionale.
- Dedurre dalla completezza la proprietà archimedea, il valore di ogni rappresentazione decimale infinita e la caratterizzazione dei razionali mediante le loro rappresentazioni finite o periodiche.
- Dedurre dalla completezza la densità dei razionali nella retta, l’esistenza delle radici e la caratterizzazione degli intervalli, e operare con il valore assoluto.
1. Ordine dei reali. Se i positivi soddisfano la tricotomia e sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto, l’ordine dei reali è transitivo, si conserva sommando e moltiplicando per un positivo, si inverte moltiplicando per un negativo, e prendere gli inversi di due positivi ne inverte l’ordine.
  Usa: 4. Regola dei segni. Si appoggia su: F (Assiomi di campo ordinato completo). Dimostrato in: Insiemi numerici: dai naturali ai complessi.
2. Unicità della radice principale. Se $p$ e $r$ sono non negativi e $p^n = r^n$ , allora $p = r$ ; se $n$ è dispari, ogni reale ha al più una radice $n$ -esima, che è negativa quando il numero lo è.
  Usa: 4. Regola dei segni, 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali). Dimostrato in: Insiemi numerici: dai naturali ai complessi.
3. I razionali non sono completi. La radice quadrata di $2$ non è razionale; per questo l’insieme dei razionali il cui quadrato è minore di $2$ è limitato superiormente, ma nessuno dei suoi maggioranti razionali è il minimo.
  Usa: 8. Ordine dei razionali, 11. Unicità della radice principale. Si appoggia su: D (Bézout ed Euclide). Dimostrato in: Insiemi numerici: dai naturali ai complessi.
4. Proprietà archimedea. Per ogni reale $x$ esiste un naturale maggiore di $x$ ; di conseguenza, se $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ per ogni naturale $n$ , allora $d = 0$ .
  Usa: 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: F (Assiomi di campo ordinato completo), B (Aritmetica dei naturali). Dimostrato in: La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
5. Valore di una rappresentazione decimale. La divisione in colonna di $p$ per $q$ dà cifre i cui troncamenti distano da $\frac{p}{q}$ meno di $\frac{1}{10^n}$ ; e ogni rappresentazione decimale infinita rappresenta un unico numero reale, che per la divisione in colonna è $\frac{p}{q}$ ; un reale positivo ha due rappresentazioni solo quando una è finita e l’altra termina con una coda di nove.
  Usa: 6. Costruzione dei razionali, 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali), C (Divisione con resto), F (Assiomi di campo ordinato completo), H (Proprietà archimedea). Dimostrato in: La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
6. Rappresentazioni finite. La rappresentazione decimale di una frazione irriducibile $\frac{p}{q}$ è finita se e solo se $q = 2^a 5^b$ con $a$ e $b$ interi non negativi.
  Usa: 7. Frazione irriducibile, 14. Valore di una rappresentazione decimale. Si appoggia su: D (Bézout ed Euclide). Dimostrato in: La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
7. Rappresentazioni dei razionali. La rappresentazione decimale di ogni razionale positivo $\frac{p}{q}$ è finita o periodica, e la lunghezza del suo periodo è al più $q - 1$ .
  Usa: 14. Valore di una rappresentazione decimale. Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali), C (Divisione con resto). Dimostrato in: La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
8. Frazione generatrice. Ogni rappresentazione decimale periodica rappresenta un razionale, e quella periodica semplice di periodo $A$ , di $k$ cifre, rappresenta $\frac{A}{10^k - 1}$ ; da cui un reale è razionale se e solo se la sua rappresentazione è finita o periodica.
  Usa: 14. Valore di una rappresentazione decimale, 16. Rappresentazioni dei razionali. Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali), H (Proprietà archimedea). Dimostrato in: La rappresentazione decimale dei numeri razionali.
9. Densità dei razionali. Tra due reali distinti c’è sempre un numero razionale, e quindi infiniti.
  Usa: 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: B (Aritmetica dei naturali), H (Proprietà archimedea). Dimostrato in: La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto.
10. Esistenza della radice. Per ogni naturale $n \geq 2$ e ogni reale $a \geq 0$ esiste un reale $s \geq 0$ tale che $s^n = a$ , che è la radice $n$ -esima principale di $a$ .
  Usa: 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: F (Assiomi di campo ordinato completo), G (Unicità della radice). Dimostrato in: La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto.
11. Caratterizzazione degli intervalli. Un insieme di reali con almeno due elementi è un intervallo se e solo se contiene tutti i numeri compresi tra due qualsiasi dei suoi elementi.
  Usa: 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: F (Assiomi di campo ordinato completo). Dimostrato in: La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto.
12. Valore assoluto. Valgono $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ e $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ; la condizione $\abs{x - a} < r$ equivale a $a - r < x < a + r$ , e vale la disuguaglianza triangolare $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ .
  Usa: 4. Regola dei segni, 10. Ordine dei reali. Si appoggia su: G (Unicità della radice). Dimostrato in: La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto.
Tratto 3 Il calcolo
- Definire le potenze a esponente razionale, provare che non dipendono dalla frazione scelta e dedurre le proprietà delle potenze.
- Stabilire le proprietà dei radicali con le loro ipotesi sul segno, tra cui $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- Trasformare equazioni e disequazioni senza perdere né aggiungere soluzioni, e classificare i sistemi di due equazioni mediante il loro determinante.
- Operare con il coniugato e il modulo, risolvere in $\mathbb{C}$ ogni equazione di secondo grado a coefficienti reali e riconoscere che $\mathbb{C}$ non ammette un ordine compatibile con le sue operazioni.
1. Proprietà delle potenze. Per $a > 0$ , la potenza $a^{\frac{p}{q}}$ , radice $q$ -esima principale di $a^p$ , non dipende dalla frazione scelta, e valgono $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ e $(ab)^x = a^x b^x$ ; se $a > 1$ , cresce con l’esponente.
  Usa: 6. Costruzione dei razionali, 19. Esistenza della radice. Si appoggia su: G (Unicità della radice). Dimostrato in: Potenze a esponente razionale e radicali.
2. Proprietà dei radicali. Per radicandi non negativi, la radice di un prodotto è il prodotto delle radici e la radice di una radice è la radice di indice prodotto; $\sqrt[n]{a^n}$ è $\abs{a}$ se $n$ è pari, e $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , con l’uguaglianza solo se $ab = 0$ .
  Usa: 19. Esistenza della radice, 21. Valore assoluto. Si appoggia su: G (Unicità della radice). Dimostrato in: Potenze a esponente razionale e radicali.
3. Equazioni equivalenti. Sommare una stessa espressione a entrambi i membri o moltiplicarli per un numero non nullo conserva le soluzioni di un’equazione; in una disequazione, moltiplicare per un positivo conserva il verso e per un negativo lo inverte; ed elevare al quadrato può aggiungere le soluzioni di $A = -B$ .
  Usa: 1. Unicità dell’elemento neutro e dell’opposto, 10. Ordine dei reali. Dimostrato in: Equazioni e disequazioni di primo grado e sistemi lineari.
4. Sistemi di due equazioni. Se il determinante $D$ del sistema non è nullo, l’unica soluzione è $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ ; se $D = 0$ e ogni equazione ha qualche coefficiente non nullo, il sistema ha infinite soluzioni quando $D_x = D_y = 0$ , e nessuna negli altri casi.
  Usa: 24. Equazioni equivalenti. Dimostrato in: Equazioni e disequazioni di primo grado e sistemi lineari.
5. Coniugato e modulo. Il coniugato di una somma o di un prodotto è la somma o il prodotto dei coniugati, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ e $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  Usa: 9. Costruzione dei complessi, 21. Valore assoluto. Si appoggia su: G (Unicità della radice). Dimostrato in: I numeri complessi: operazioni ed equazioni.
6. Inverso di un complesso. Ogni complesso $z$ non nullo ha un unico inverso, $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ; pertanto si può dividere per ogni complesso non nullo, e un prodotto di complessi si annulla solo se si annulla qualcuno dei suoi fattori.
  Usa: 1. Unicità dell’elemento neutro e dell’opposto, 26. Coniugato e modulo. Dimostrato in: I numeri complessi: operazioni ed equazioni.
7. Equazione di secondo grado. Se $a$ , $b$ e $c$ sono reali, $a \neq 0$ e $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , l’equazione $az^2 + bz + c = 0$ ha in $\mathbb{C}$ esattamente due soluzioni, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , che sono coniugate e non reali.
  Usa: 19. Esistenza della radice, 27. Inverso di un complesso. Dimostrato in: I numeri complessi: operazioni ed equazioni.
8. Radici coniugate. Se un polinomio a coefficienti reali si annulla in $z_0$ , si annulla anche in $\conj{z_0}$ ; sicché le sue radici non reali si presentano in coppie di coniugati.
  Usa: 26. Coniugato e modulo. Dimostrato in: I numeri complessi: operazioni ed equazioni.
9. I complessi non si ordinano. In $\mathbb{C}$ non esiste un ordine compatibile con le operazioni: il quadrato di ogni numero non nullo sarebbe positivo, e allora $1$ e $i^2 = -1$ sarebbero positivi, e anche la loro somma, che è $0$ .
  Usa: 4. Regola dei segni, 9. Costruzione dei complessi. Dimostrato in: Insiemi numerici: dai naturali ai complessi.

Verso le funzioni algebriche. La catena si ferma dove i numeri smettono di essere studiati isolatamente: l’unità successiva studia regole che associano numeri a numeri, con domini che sono intervalli, radicandi non negativi, tabelle dei segni e il teorema delle radici coniugate per scomporre i polinomi a coefficienti reali.