Applicazioni delle derivate: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulle applicazioni delle derivate e, con essa, il corso. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che le nove lezioni dell’unità hanno dimostrato: il teorema di Weierstrass, ottenuto dall’assioma di completezza come quello di Bolzano, e il teorema di Fermat, ottenuto dal segno della derivata in un punto, danno il teorema di Rolle; da questo seguono i teoremi del valor medio di Lagrange e di Cauchy, e da questi la regola di de l’Hôpital, la monotonia dal segno della derivata, i criteri per gli estremi, la convessità, l’ottimizzazione e la stima dell’errore del metodo di Newton-Raphson. Spiega come l’unità si appoggia sulle due unità che la precedono e su Algebra e Geometria, e che cosa lascia al corso che viene dopo: l’integrale, le successioni e le serie, e il polinomio di Taylor. Termina con una valutazione d’uscita, parallela a quella d’ingresso, e con dieci sfide, più difficili dei problemi delle lezioni, ciascuna delle quali combina risultati di diverse lezioni e delle unità anteriori.

Obiettivi di apprendimento

Esporre nell’ordine logico i principali teoremi dell’unità, indicando da quali risultati anteriori dipende ciascuno e in quali dimostrazioni si riutilizzano il teorema di Weierstrass, il teorema del valor medio e la monotonia dal segno della derivata.
Distinguere ciò che l’unità assume da ciò che dimostra, riconoscere le ipotesi di ogni risultato e segnalare dove interviene l’assioma di completezza.
Collegare i risultati dell’unità alle unità sui limiti e sulle derivate, ad Algebra e Geometria e a ciò che studia Analisi II.
Risolvere problemi non abituali che combinano l’esistenza di estremi, il valor medio, la regola di de l’Hôpital, la monotonia, la convessità, la curvatura, l’ottimizzazione e il metodo di Newton-Raphson.

Ciò che l’unità ha ottenuto

Le due unità anteriori hanno lavorato in un punto: il limite in un punto, la continuità in un punto, la derivata in un punto. Questa unità è passata dal puntuale al globale, e il ponte è stato l’assioma di completezza. Il teorema di Weierstrass, dimostrato con l’estremo superiore come quello di Bolzano, assicura che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato raggiunge il suo massimo e il suo minimo; il teorema di Fermat, che segue dal segno della derivata in un punto, dice dove possono trovarsi gli estremi interni; e insieme danno il teorema di Rolle, da cui seguono i due teoremi del valor medio. Quello di Lagrange si scrive così:

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Questa uguaglianza converte un’informazione sulla derivata in tutti i punti di un intervallo in un’informazione sui valori della funzione, e quasi tutto il resto dell’unità ne è una lettura: la monotonia, i criteri per gli estremi, la convessità, la regola di de l’Hôpital, attraverso la versione di Cauchy, e la stima dell’errore del metodo di Newton-Raphson. Le dimostrazioni citano questi teoremi invece di rifare l’argomento.

L’esistenza e il valor medio

La lezione sul teorema di Weierstrass ha dimostrato prima il teorema di limitatezza, prendendo l’estremo superiore dei punti fino ai quali la funzione è limitata e avanzando oltre grazie alla limitatezza locale che dà la continuità; poi, che l’estremo superiore dei valori è raggiunto, perché se non lo fosse, il reciproco della distanza dei valori da tale estremo sarebbe continuo e non limitato. Ha mostrato con controesempi che nessuna ipotesi è superflua (un intervallo aperto, uno non limitato, una funzione discontinua e i razionali, dove manca la completezza), ha dedotto con il teorema dei valori intermedi che l’immagine di un intervallo chiuso e limitato è un altro intervallo dello stesso tipo, e che una funzione che assume valori uguali agli estremi di un intervallo raggiunge un estremo al suo interno. La lezione sui teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy ha definito gli estremi locali come enunciati quantificati, ha dimostrato con il segno della derivata in un punto che la derivata si annulla in un estremo locale interno, e ha ottenuto uno dopo l’altro il teorema di Rolle, il teorema del valor medio di Lagrange e quello di Cauchy, mostrando la necessità delle loro ipotesi. I suoi corollari sono state le prime conclusioni globali: una funzione con derivata nulla su un intervallo è costante, due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante, una limitazione della derivata limita gli incrementi, tra due radici di una funzione c’è una radice della sua derivata, e il limite della derivata, se esiste, è la derivata. La lezione sulla regola di de l’Hôpital l’ha dimostrata con il teorema di Cauchy, per la forma $\frac{0}{0}$ e, con più cura, per la forma $\frac{\infty}{\infty}$ , da un lato di un punto, nel punto e all’infinito; vi ha ricondotto le forme $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ , ha mostrato che la regola non decide quando il quoziente delle derivate non ha limite, ha avvertito che non serve per i limiti con cui si sono calcolate le derivate, e ne ha ricavato il corollario delle derivate nulle in un punto, che confronta l’incremento di una funzione con una potenza di $x - a$ .

La monotonia, gli estremi e la forma del grafico

La lezione sulla monotonia ha dimostrato, con il teorema del valor medio, che una derivata non negativa su un intervallo dà una funzione crescente, e una derivata strettamente positiva, una funzione strettamente crescente, e ha caratterizzato la monotonia stretta con derivata non negativa: la derivata non deve annullarsi su tutto un intervallo. Così sono state mantenute le promesse dell’unità sulle derivate, come quella per cui una derivata strettamente positiva su un intervallo basta perché l’inversa esista e sia derivabile. Ha definito i punti critici, ha dimostrato il criterio della derivata prima e il teorema di Darboux, secondo cui una derivata assume tutti i valori intermedi anche se non è continua, cosicché non ha discontinuità di salto, e ne ha dedotto che una derivata che non si annulla su un intervallo non cambia segno. La lezione su massimi e minimi ha definito gli estremi assoluti e stretti; ha dimostrato il criterio della derivata seconda e, con la regola di de l’Hôpital e senza il polinomio di Taylor, quello delle derivate di ordine superiore, che decide per la parità del primo ordine la cui derivata non è nulla; e ha cercato gli estremi assoluti su un intervallo chiuso e limitato tra gli estremi dell’intervallo e i punti critici, e su un intervallo aperto o non limitato con i limiti agli estremi e con la monotonia, che dà anche che un estremo locale nell’unico punto critico è assoluto. La lezione sulla concavità e convessità ha definito la convessità mediante la posizione del grafico rispetto alle sue corde, con la convenzione dell’unità (convessa, sotto le sue corde), e ha dimostrato che, per una funzione derivabile, essere convessa equivale ad avere derivata crescente e a che il grafico resti sopra le sue tangenti, e, per una funzione derivabile due volte, a che la derivata seconda sia non negativa; ha definito i punti di flesso, li ha riconosciuti per il cambio di segno della derivata seconda o per la derivata terza, ha mostrato con $x^4$ che una derivata seconda nulla non basta, e ha ottenuto la disuguaglianza di Jensen e quella tra le medie geometrica e aritmetica. La lezione sulla curvatura ha definito la circonferenza osculatrice come quella che ha nel punto lo stesso valore, la stessa derivata e la stessa derivata seconda della funzione; ha dimostrato con la derivazione implicita che esiste ed è unica quando la derivata seconda non si annulla, di raggio $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ e con il centro sulla normale, dal lato verso cui il grafico si incurva, e ha mostrato che tale centro è il limite delle intersezioni di normali vicine.

L’ottimizzazione e l’approssimazione

La lezione sui problemi di ottimizzazione ha fissato un metodo in cinque fasi (la variabile, la funzione, il dominio, gli estremi assoluti con la loro giustificazione e la conclusione), il cui punto decisivo è giustificare che l’estremo trovato è assoluto: con il teorema di Weierstrass se il dominio è chiuso e limitato, e altrimenti con il segno della derivata, la convessità o i limiti agli estremi. Ha dimostrato che una funzione e la sua composta con una funzione strettamente crescente raggiungono i loro estremi negli stessi punti, che il punto di un grafico più vicino a un punto dato esiste e si trova su una normale, e ha dedotto dal tempo minimo le leggi della rifrazione e della riflessione. La lezione sul metodo di Newton-Raphson ha sostituito il grafico con la sua tangente per approssimare una radice; ha trattato le iterate come una funzione definita sui numeri naturali, con la definizione di limite all’infinito e senza la teoria delle successioni; ha dimostrato con la convessità e l’estremo inferiore delle iterate che, dal lato giusto, si avvicinano alla radice senza oltrepassarla e convergono a essa, e che dal lato sbagliato la prima iterazione salta al lato giusto; ha stimato l’errore con il teorema del valor medio, ha mostrato i fallimenti del metodo (una derivata nulla, un ciclo, iterate che si allontanano) e lo ha confrontato con la bisezione, che guadagna una cifra binaria a ogni iterazione, mentre il metodo di Newton-Raphson, vicino a una radice semplice, raddoppia negli esempi il numero di cifre esatte.

Ciò che si assume, ciò che si dimostra e ciò che resta

Il bilancio dell’unità si può riassumere così:

Si assumono l’assioma di completezza, che l’unità usa direttamente nel teorema di limitatezza, in quello di Weierstrass e nella convergenza delle iterate di Newton-Raphson; i teoremi delle unità sui limiti e sulle derivate, in particolare il teorema di Bolzano, la permanenza del segno, il carattere locale della derivata e il segno della derivata in un punto; e risultati di Algebra e Geometria, come le formule trigonometriche, la disuguaglianza $\sin x < x < \tan x$ e le leggi degli esponenti e dei logaritmi.
Si dimostrano fatti che l’unità sulle derivate aveva annunciato senza poterli dimostrare: che una derivata strettamente positiva su un intervallo dà una funzione crescente, che una funzione con derivata nulla su un intervallo è costante e che l’errore dell’approssimazione mediante il differenziale si può limitare; e la tangente diventa uno strumento per approssimare radici, per confrontare il grafico con sé stesso e per misurare quanto si incurva.
Si riutilizzano tre strumenti invece di ripetere argomenti: il teorema di Weierstrass, che dà gli estremi; il teorema del valor medio, che traduce il segno della derivata in informazione sui valori; e la monotonia dal segno della derivata, che sorregge i criteri per gli estremi e la convessità.
Resta per Analisi II ciò che richiede più della derivata: l’integrale, la lunghezza d’arco, con cui la curvatura si legge come il tasso di variazione dell’angolo della tangente, la continuità uniforme, le successioni e le serie, e il polinomio di Taylor; e per Analisi III, gli estremi delle funzioni di più variabili e la curvatura delle curve parametriche.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una tratteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che provengono dalle unità anteriori o da Algebra e Geometria, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AAssioma di completezza. Si assume, da Algebra e Geometria I, che i reali formano un campo ordinato completo: ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente dell’insieme dei reali ha un estremo superiore, e ogni sottoinsieme non vuoto e limitato inferiormente ha un estremo inferiore. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BEredità dell’unità 1. Risultati dimostrati nell’unità sui limiti e la continuità: l’algebra dei limiti; i limiti unilaterali, all’infinito e infiniti; il passaggio al limite nelle disuguaglianze; la continuità delle operazioni e della composizione; la limitatezza locale e la permanenza del segno, per i limiti e per le funzioni continue; e i limiti notevoli. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CEredità dell’unità 2. Risultati dimostrati nell’unità sulle derivate: la definizione di derivata e le derivate unilaterali, il fatto che derivabile implica continua, il carattere locale della derivata, le regole di derivazione e la regola della catena, le derivate delle funzioni elementari, la derivata della funzione inversa e la derivazione implicita, e le derivate di ordine superiore. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DValori intermedi. Dimostrato con l’estremo superiore nell’unità sulle derivate: se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ e $f(a)$ e $f(b)$ hanno segni opposti, $f$ si annulla in un punto di $\ioo{a}{b}$ , che è il teorema di Bolzano; e l’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
ESegno della derivata in un punto. Dimostrato nell’unità sulle derivate: se $f$ è definita su un intervallo aperto e $f'(a) > 0$ , esiste $\delta > 0$ tale che $f(x) < f(a)$ se $a - \delta < x < a$ , e $f(x) > f(a)$ se $a < x < a + \delta$ ; non ne segue che $f$ sia crescente vicino ad $a$ . Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FEstremi raggiunti. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato vi raggiunge il suo massimo e il suo minimo: lo strumento che dà l’esistenza degli estremi e dei punti intermedi dei teoremi seguenti. Stabilito in: 2. Teorema di Weierstrass.
GValor medio. Se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ e derivabile in ogni punto di $\ioo{a}{b}$ , esiste $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : un’informazione sulla derivata in tutti i punti si converte in un’informazione sui valori. Stabilito in: 7. Teorema del valor medio di Lagrange.
HMonotonia dalla derivata. Su un intervallo, una derivata non negativa dà una funzione crescente, e una derivata strettamente positiva, una funzione strettamente crescente: lo strumento con cui si decide sugli estremi e sulla convessità. Stabilito in: 12. Monotonia dal segno della derivata.

Tratto 1 L’esistenza e il valor medio
- Dimostrare con la completezza che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata e raggiunge il suo massimo e il suo minimo, e mostrare che nessuna ipotesi è superflua.
- Localizzare gli estremi locali interni con il teorema di Fermat e dedurne, con il teorema di Weierstrass, i teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy.
- Trarre dal teorema del valor medio che una derivata nulla dà una funzione costante, limitare incrementi e contare radici.
- Dimostrare con il teorema di Cauchy la regola di de l’Hôpital, ricondurvi le altre forme indeterminate e non usarla per i limiti con cui si sono calcolate le derivate.
1. Teorema di limitatezza. Se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $\icc{a}{b}$ , esiste un numero $K$ tale che $\abs{f(x)} \leq K$ per ogni $x$ di $\icc{a}{b}$ .
  Si appoggia su: A (Assioma di completezza), B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Teorema di Weierstrass dei valori estremi.
2. Teorema di Weierstrass. Se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $\icc{a}{b}$ , esistono $x_1$ e $x_2$ in $\icc{a}{b}$ tali che $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ per ogni $x$ di $\icc{a}{b}$ ; nessuna delle ipotesi si può omettere.
  Usa: 1. Teorema di limitatezza. Si appoggia su: A (Assioma di completezza), B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Teorema di Weierstrass dei valori estremi.
3. L’immagine di un intervallo chiuso e limitato. Se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ , e $m$ e $M$ sono i suoi valori minimo e massimo su tale intervallo, l’immagine di $\icc{a}{b}$ è l’intervallo $\icc{m}{M}$ .
  Usa: 2. Teorema di Weierstrass. Si appoggia su: F (Estremi raggiunti), D (Valori intermedi). Dimostrato in: Teorema di Weierstrass dei valori estremi.
4. Un estremo all’interno. Se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ e $f(a) = f(b)$ , raggiunge il suo massimo o il suo minimo in un punto di $\ioo{a}{b}$ .
  Usa: 2. Teorema di Weierstrass. Si appoggia su: F (Estremi raggiunti). Dimostrato in: Teorema di Weierstrass dei valori estremi.
5. Teorema di Fermat. Se $f$ , definita su $A$ , raggiunge un estremo locale in un punto interno $a$ di $A$ , cioè se esiste $\delta > 0$ tale che $f(x) \leq f(a)$ per tutti gli $x$ di $A$ con $\abs{x - a} < \delta$ , oppure $f(a) \leq f(x)$ per tutti questi, e $f$ è derivabile in $a$ , allora $f'(a) = 0$ .
  Si appoggia su: E (Segno della derivata in un punto), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
6. Teorema di Rolle. Se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ , derivabile in ogni punto di $\ioo{a}{b}$ e $f(a) = f(b)$ , esiste $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $f'(c) = 0$ .
  Usa: 4. Un estremo all’interno, 5. Teorema di Fermat. Si appoggia su: F (Estremi raggiunti), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
7. Teorema del valor medio di Lagrange. Se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ , e derivabile in ogni punto di $\ioo{a}{b}$ , esiste $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : una tangente è parallela alla corda.
  Usa: 6. Teorema di Rolle. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
8. Teorema del valor medio di Cauchy. Se $f$ e $g$ sono continue su $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ , e derivabili in ogni punto di $\ioo{a}{b}$ , esiste $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ; se inoltre $g'$ non si annulla su $\ioo{a}{b}$ , allora $g(b) \neq g(a)$ e $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .
  Usa: 6. Teorema di Rolle. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
9. Conseguenze del teorema del valor medio. Sia $f$ continua su un intervallo $I$ e derivabile in ogni punto interno. Se $f'$ si annulla in tali punti, $f$ è costante; due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante; se $\abs{f'(x)} \leq K$ in tali punti, $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ per ogni $x$ , $y$ di $I$ ; e se $f$ è derivabile su $I$ e vi ha $n \geq 2$ radici distinte, $f'$ ne ha almeno $n - 1$ .
  Usa: 6. Teorema di Rolle, 7. Teorema del valor medio di Lagrange. Si appoggia su: G (Valor medio), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
10. Regola di de l’Hôpital. Se $f$ e $g$ sono derivabili su $\ioo{a}{b}$ , con $g'(x) \neq 0$ su tale intervallo, se $f(x)$ e $g(x)$ tendono a $0$ , oppure $g(x)$ tende a $\infty$ o a $-\infty$ , quando $x \to a^+$ , e $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ tende a $L$ , reale, $\infty$ o $-\infty$ , allora $\frac{f(x)}{g(x)}$ tende a $L$ ; lo stesso vale a sinistra, da entrambi i lati di un punto e all’infinito.
  Usa: 8. Teorema del valor medio di Cauchy. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Regola di de l’Hôpital.
11. Derivate nulle in un punto. Siano $n \geq 2$ un numero naturale, $I$ un intervallo aperto, $a$ un punto di $I$ e $f$ una funzione derivabile $n - 1$ volte su $I$ e $n$ volte in $a$ , con $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ . Allora $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ tende a $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ quando $x \to a$ .
  Usa: 10. Regola di de l’Hôpital. Si appoggia su: C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Regola di de l’Hôpital.
Tratto 2 La monotonia, gli estremi e la forma del grafico
- Decidere sulla monotonia mediante il segno della derivata, caratterizzare la monotonia stretta e dimostrare il teorema di Darboux.
- Classificare i punti critici con i criteri della derivata prima, della derivata seconda e delle derivate di ordine superiore, e trovare gli estremi assoluti su intervalli chiusi, aperti o non limitati.
- Caratterizzare la convessità mediante le corde, la derivata crescente, le tangenti e la derivata seconda, e riconoscere i punti di flesso.
- Misurare la curvatura di un grafico con la circonferenza osculatrice.
1. Monotonia dal segno della derivata. Sia $f$ continua su un intervallo $I$ e derivabile in ogni punto interno. Se $f'(x) \geq 0$ in tali punti, $f$ è crescente su $I$ , e se $f'(x) > 0$ , strettamente crescente; con $f'(x) \leq 0$ o $f'(x) < 0$ , decrescente o strettamente decrescente. Viceversa, se $f$ è crescente su $I$ e derivabile in un punto interno $a$ , allora $f'(a) \geq 0$ .
  Usa: 7. Teorema del valor medio di Lagrange. Si appoggia su: E (Segno della derivata in un punto), G (Valor medio), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Monotonia e criterio della derivata prima.
2. Monotonia stretta con derivata non negativa. Se $f$ è continua su un intervallo $I$ e $f'(x) \geq 0$ in ogni punto interno, $f$ è strettamente crescente su $I$ se e solo se $f'$ non si annulla in tutti i punti di alcun intervallo $\ioo{p}{q}$ contenuto in $I$ ; in particolare, se si annulla solo in un numero finito di punti.
  Usa: 9. Conseguenze del teorema del valor medio, 12. Monotonia dal segno della derivata. Si appoggia su: H (Monotonia dalla derivata), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Monotonia e criterio della derivata prima.
3. Criterio della derivata prima. Se $f$ è continua su $\ioo{a - r}{a + r}$ e derivabile in ogni punto distinto da $a$ , con $f'(x) \geq 0$ a sinistra di $a$ e $f'(x) \leq 0$ a destra, raggiunge in $a$ un massimo locale, stretto se le disuguaglianze lo sono; con le disuguaglianze invertite, un minimo locale; e se $f'(x)$ è strettamente positiva da entrambi i lati, o strettamente negativa da entrambi i lati, non c’è estremo in $a$ .
  Usa: 12. Monotonia dal segno della derivata. Si appoggia su: H (Monotonia dalla derivata). Dimostrato in: Monotonia e criterio della derivata prima.
4. Teorema di Darboux. Se $f$ è derivabile su un intervallo aperto $I$ e $a < b$ sono punti di $I$ , $f'$ assume in $\ioo{a}{b}$ ogni valore compreso strettamente tra $f'(a)$ e $f'(b)$ ; di conseguenza, $f'$ non ha su $I$ discontinuità eliminabili né di salto.
  Usa: 2. Teorema di Weierstrass, 5. Teorema di Fermat. Si appoggia su: E (Segno della derivata in un punto), F (Estremi raggiunti), B (Eredità dell’unità 1), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Monotonia e criterio della derivata prima.
5. Derivata che non si annulla. Se $f$ è continua su un intervallo $I$ con più di un punto e derivabile in ogni punto interno, con $f'(x) \neq 0$ in ciascuno, $f'$ ha lo stesso segno in tutti questi punti e $f$ è strettamente monotona su $I$ .
  Usa: 12. Monotonia dal segno della derivata, 15. Teorema di Darboux. Si appoggia su: H (Monotonia dalla derivata). Dimostrato in: Monotonia e criterio della derivata prima.
6. Criterio della derivata seconda. Se $f$ è derivabile su un intervallo aperto $I$ e derivabile due volte in un punto $a$ di $I$ , con $f'(a) = 0$ , raggiunge in $a$ un minimo locale stretto se $f''(a) > 0$ , e un massimo locale stretto se $f''(a) < 0$ .
  Usa: 14. Criterio della derivata prima. Si appoggia su: E (Segno della derivata in un punto), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Massimi e minimi di una funzione.
7. Criterio delle derivate di ordine superiore. Se $f$ è derivabile $n - 1$ volte su un intervallo aperto $I$ e $n$ volte in un punto $a$ di $I$ , con $n \geq 2$ , $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ e $f^{(n)}(a) \neq 0$ , allora, se $n$ è pari, $f$ raggiunge in $a$ un minimo locale stretto se $f^{(n)}(a) > 0$ , e un massimo locale stretto se $f^{(n)}(a) < 0$ ; e se $n$ è dispari, non raggiunge in $a$ alcun estremo locale.
  Usa: 11. Derivate nulle in un punto. Si appoggia su: B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Massimi e minimi di una funzione.
8. Estremi assoluti in un intervallo. Se $f$ è continua su $\icc{a}{b}$ , raggiunge i suoi massimo e minimo assoluti, e ogni punto in cui li raggiunge è $a$ , $b$ o un punto critico di $\ioo{a}{b}$ ; se è continua su un intervallo aperto, limitato o no, e uno dei suoi valori supera i suoi limiti a entrambi gli estremi, raggiunge il suo massimo assoluto, in punti critici.
  Usa: 2. Teorema di Weierstrass, 5. Teorema di Fermat. Si appoggia su: F (Estremi raggiunti), B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Massimi e minimi di una funzione.
9. Estremi assoluti per monotonia. Se $f$ è continua su un intervallo $I$ , $c$ è un punto interno, $f'(x) \geq 0$ nei punti interni minori di $c$ e $f'(x) \leq 0$ in quelli maggiori, $f$ raggiunge in $c$ il suo massimo assoluto su $I$ ; e se $c$ è l’unico punto critico di $f$ in $I$ e $f$ vi raggiunge un estremo locale, tale estremo è assoluto e stretto su $I$ .
  Usa: 12. Monotonia dal segno della derivata, 16. Derivata che non si annulla. Si appoggia su: H (Monotonia dalla derivata). Dimostrato in: Massimi e minimi di una funzione.
10. Convessità e derivata crescente. Una funzione $f$ è convessa su un intervallo $I$ se $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ per ogni $x$ , $y$ di $I$ e ogni $t$ di $\icc{0}{1}$ . Se $f$ è continua su $I$ e derivabile in ogni punto interno, è convessa se e solo se $f'$ è crescente nei punti interni, e strettamente convessa se e solo se $f'$ vi è strettamente crescente.
  Usa: 7. Teorema del valor medio di Lagrange. Si appoggia su: G (Valor medio), B (Eredità dell’unità 1), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Concavità, convessità e punti di flesso.
11. Il grafico sopra le sue tangenti. Se $f$ è continua su un intervallo $I$ con più di un punto e derivabile in ogni punto interno, è convessa se e solo se $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ per ogni punto interno $a$ e ogni $x$ di $I$ ; in particolare, se è convessa e $f'(a) = 0$ , raggiunge in $a$ il suo minimo assoluto su $I$ .
  Usa: 21. Convessità e derivata crescente. Dimostrato in: Concavità, convessità e punti di flesso.
12. Convessità e derivata seconda. Se $f$ è continua su un intervallo $I$ con più di un punto e derivabile due volte in ogni punto interno, è convessa se e solo se $f''(x) \geq 0$ in tali punti, ed è strettamente convessa se inoltre $f''$ non si annulla in tutti i punti di alcun intervallo aperto contenuto in $I$ .
  Usa: 12. Monotonia dal segno della derivata, 13. Monotonia stretta con derivata non negativa, 21. Convessità e derivata crescente. Si appoggia su: H (Monotonia dalla derivata), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Concavità, convessità e punti di flesso.
13. Punti di flesso. Se $f$ è continua vicino ad $a$ , derivabile in $a$ e $f''$ cambia segno in $a$ , il punto $a$ è un punto di flesso; in un punto di flesso in cui $f$ è derivabile due volte, $f''(a) = 0$ , ma ciò non basta, come mostra $x^4$ in $0$ ; e se $f''(a) = 0$ e $f'''(a) \neq 0$ , $a$ è un punto di flesso e il grafico attraversa la sua tangente.
  Usa: 5. Teorema di Fermat, 18. Criterio delle derivate di ordine superiore, 21. Convessità e derivata crescente, 23. Convessità e derivata seconda. Si appoggia su: E (Segno della derivata in un punto), B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Concavità, convessità e punti di flesso.
14. Disuguaglianza di Jensen. Se $f$ è continua e convessa su un intervallo $I$ e derivabile in ogni punto interno, allora $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ per punti $x_i$ di $I$ e pesi $t_i \geq 0$ di somma $1$ ; con il logaritmo, che è concavo, la media geometrica di numeri strettamente positivi non supera la loro media aritmetica.
  Usa: 22. Il grafico sopra le sue tangenti, 23. Convessità e derivata seconda. Si appoggia su: C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Concavità, convessità e punti di flesso.
15. Circonferenza osculatrice. Se $f$ è derivabile su un intervallo aperto e derivabile due volte in un punto $a$ , con $m = f'(a)$ e $q = f''(a) \neq 0$ , esiste esattamente una circonferenza che ha in $a$ lo stesso valore, la stessa derivata e la stessa derivata seconda di $f$ ; il suo raggio è $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ , il reciproco della curvatura $\kappa$ , e il suo centro è sulla normale, sopra il punto se $q > 0$ e sotto se $q < 0$ .
  Si appoggia su: C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Curvatura e raggio di curvatura.
Tratto 3 L’ottimizzazione e l’approssimazione
- Tradurre un problema geometrico o fisico nella ricerca dell’estremo assoluto di una funzione, su un dominio fissato con precisione, e giustificare che l’estremo trovato è assoluto.
- Trovare il punto di un grafico più vicino a un punto dato e dedurre dal tempo minimo le leggi della riflessione e della rifrazione.
- Approssimare radici con il metodo di Newton-Raphson, assicurarne la convergenza con la convessità e stimare l’errore con il teorema del valor medio.
1. La distanza di un punto da un grafico. Se $f$ è continua su un intervallo con più di un punto e che contiene i suoi estremi, se ne ha, un punto del suo grafico è a distanza minima da un punto $P = (x_1, y_1)$ ; se l’ascissa $c$ di tale punto è interna e $f$ vi è derivabile, $P$ è sulla normale: $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ .
  Usa: 2. Teorema di Weierstrass, 5. Teorema di Fermat. Si appoggia su: F (Estremi raggiunti), B (Eredità dell’unità 1), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Problemi di ottimizzazione.
2. La legge di Snell. La durata $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ del cammino che va da $(0, a)$ a $(x, 0)$ con velocità di modulo $v_1$ e da lì a $(d, -b)$ con velocità di modulo $v_2$ raggiunge il suo minimo assoluto stretto in un solo punto, in cui $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ ; ne segue che il cammino più breve tra due punti che tocca una retta forma angoli uguali con la perpendicolare a essa, che è la legge della riflessione.
  Usa: 22. Il grafico sopra le sue tangenti, 23. Convessità e derivata seconda. Si appoggia su: D (Valori intermedi), C (Eredità dell’unità 2). Dimostrato in: Problemi di ottimizzazione.
3. Convergenza di Newton-Raphson. Se $f$ è derivabile e convessa su un intervallo aperto $I$ , con $f'(x) \neq 0$ su tutto $I$ , e $f(r) = 0$ , le iterate $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ a partire da un $x_0$ di $I$ con $f(x_0) \geq 0$ si avvicinano a $r$ in modo monotono, senza oltrepassarla, e convergono a $r$ ; a partire da un $x_0$ con $f(x_0) < 0$ , se $x_1$ sta in $I$ , la prima iterazione porta al lato giusto.
  Usa: 16. Derivata che non si annulla, 21. Convessità e derivata crescente, 22. Il grafico sopra le sue tangenti. Si appoggia su: A (Assioma di completezza), B (Eredità dell’unità 1). Dimostrato in: Il metodo di Newton-Raphson.
4. Stima dell’errore. Se $f$ è continua su un intervallo $J$ e derivabile in ogni punto interno, con $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ in tali punti, e $f(r) = 0$ per un $r$ di $J$ , allora $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ per ogni $x$ di $J$ .
  Usa: 7. Teorema del valor medio di Lagrange. Si appoggia su: G (Valor medio). Dimostrato in: Il metodo di Newton-Raphson.

Verso Analisi II. La catena si ferma dove finisce il corso. In Analisi II, il corollario per cui due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante fonda le primitive, e l’integrale si unisce alla derivata nel teorema fondamentale del calcolo integrale; con la lunghezza d’arco, che è un integrale, la curvatura si legge come il tasso di variazione dell’angolo della tangente. Le successioni, di cui le iterate di Newton-Raphson sono state un primo esempio, e le serie danno alle funzioni definite sui numeri naturali una teoria propria. E il polinomio di Taylor, il cui resto si stima con i teoremi di Rolle e di Cauchy, prolunga la tangente con le derivate di ordine superiore, generalizza il criterio delle derivate di ordine superiore e dimostra, sotto ipotesi sulla derivata seconda, la convergenza quadratica del metodo di Newton-Raphson, che questa unità ha osservato solo negli esempi.