Bilancio finale di Analisi I

Riepilogo

Questa voce non è una lezione in più, ma il bilancio finale del corso: richiama i sette obiettivi di apprendimento che il piano di studi si è proposto all’inizio, mostra in una sola figura a quale di essi è stata assegnata ciascuna lezione di ciascuna unità, spiega come si è lavorato su ciascun obiettivo lungo le tre unità di contenuto, distingue gli obiettivi che hanno un’unità propria dai fili che attraversano tutte e tre e da quelli che percorrono il corso intero, insegna a leggere l’autovalutazione per obiettivo, che riunisce il primo tentativo delle valutazioni d’uscita, e indica ciò che il corso lascia ad Analisi II e ad Analisi III.

Obiettivi di apprendimento

Enunciare i sette obiettivi globali del corso e riconoscere in quali unità e in quali lezioni si è lavorato su ciascuno.
Distinguere gli obiettivi che hanno un’unità propria da quelli che ne attraversano diverse, come la completezza e l’approssimazione, e da quelli che percorrono il corso intero, il ragionamento deduttivo e la modellizzazione, e spiegare come si esercitano questi ultimi.
Spiegare come la definizione di limite e l’assioma di completezza sostengono, attraverso la derivata e il teorema del valor medio, ciò che il corso sa della forma di una funzione, e che cosa il corso lascia ad Analisi II e ad Analisi III.
Decidere, sulla base dell’autovalutazione per obiettivo, della figura e delle sfide di ciascuna sintesi, quali unità e quali lezioni conviene ripassare prima di passare ad Analisi II.

Che cosa si è proposto il corso

Tre problemi antichi condussero al calcolo infinitesimale: la velocità di un corpo in moto in un istante, il coefficiente angolare della tangente a una curva e l’area di una figura curvilinea. Il corso ha preso i primi due, che conducono alla derivata, ed è nato con uno scopo generale: fondare il calcolo differenziale delle funzioni di una variabile reale sulla definizione di limite e sull’assioma di completezza, e dedurne, con dimostrazioni complete, ciò che la derivata permette di sapere della variazione, della forma e degli estremi di una funzione. La lezione sul piano di studi ha dispiegato questo scopo in sette obiettivi di apprendimento globali, che conviene tenere sott’occhio con la numerazione con cui la figura li cita:

Dimostrare con ragionamento deduttivo esplicito: scrivere le definizioni come enunciati quantificati e negarle, argomentare con epsilon e delta, dedurre i teoremi di esistenza dall’assioma di completezza, mostrare con controesempi che un’ipotesi non è superflua e distinguere ciò che è dedotto da ciò che è ammesso.
Definire e calcolare limiti finiti, unilaterali, all’infinito e infiniti, risolvere le forme indeterminate, anche con la regola di de l’Hôpital, e determinare con essi gli asintoti e il grafico di una funzione.
Decidere la continuità di una funzione, classificarne le discontinuità e applicare i teoremi di Bolzano, dei valori intermedi e di Weierstrass, che poggiano sull’assioma di completezza.
Definire la derivata, caratterizzarla mediante l’approssimazione lineare e la fattorizzazione di Carathéodory, dimostrarne le regole e derivare con esse ogni genere di funzioni, precisando il dominio di ciascuna derivata.
Dimostrare e applicare i teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange e di Cauchy, e studiare con essi la monotonia, gli estremi, la convessità, i flessi e la curvatura di un grafico.
Approssimare valori e radici con il differenziale, la bisezione e il metodo di Newton-Raphson, stimare l’errore di ciascuna approssimazione e riconoscere quando un metodo fallisce.
Modellizzare con la derivata tassi di variazione, tassi di variazione correlati e problemi di ottimizzazione, e comunicare per iscritto impostazioni, calcoli e dimostrazioni.

Ciascuna lezione del corso ha dichiarato, inoltre, i propri obiettivi specifici. Le lezioni non dicono a quale obiettivo globale serva ciascuno di essi; questa corrispondenza è una lettura fatta dall’esterno, con lo stesso metodo che negli altri corsi del sito. Ogni obiettivo specifico si assegna a un obiettivo globale principale e, se li tocca, ad altri secondari; ciascuno conta per intero nel suo principale e per metà in ciascun secondario, e la lezione si unisce come principale all’obiettivo globale che raccoglie più peso e come secondaria agli altri che ne ricevono. Se due obiettivi sono in parità, prevale quello di numero minore. Gli obiettivi delle introduzioni che descrivono soltanto il percorso dell’unità non si assegnano a nessuno. Le sintesi seguono un criterio comune a tutti i corsi di matematica del sito: il loro principale è l’obiettivo 1, perché il loro nucleo ricostruisce la catena deduttiva dell’unità. Infine, la lezione sui problemi di ottimizzazione ha come principale l’obiettivo 7, benché per un margine stretto la regola darebbe il 5, perché la sua materia dichiarata è l’impostazione: tradurre il problema, fissare il dominio e giustificare che l’estremo trovato è assoluto. Se è così, il corso intero ammette la forma di una spina: la testa è lo scopo generale; la colonna, l’ordine delle unità, ciascuna con il suo tratto; ogni lezione è un nodo di quel tratto, unito al suo obiettivo principale, e i sette obiettivi fluttuano intorno alla colonna, sorretti dalle lezioni che li alimentano.