Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Τριγωνομετρία και πολικές συντεταγμένες: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις πολικές συντεταγμένες. Συγκεντρώνει σε μία παραγωγική αλυσίδα όσα αποδείχθηκαν στα έξι μαθήματά της: τη μέτρηση των γωνιών με το μήκος του τόξου, τον ορισμό του ημιτόνου και του συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο και τις συνέπειές του, τη μελέτη αυτών των συναρτήσεων και των αντίστροφών τους, την επίλυση όλων των τριγώνων και τις πολικές συντεταγμένες με τις καμπύλες τους. Εξηγεί πώς η αλυσίδα αυτή στηρίζεται στον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I, από τη διαίρεση με υπόλοιπο ως τις κωνικές τομές και τα διανύσματα, και πώς προετοιμάζει την αναλυτική τριγωνομετρία της ενότητας που ακολουθεί. Επαναλαμβάνει σε μια τελική αξιολόγηση τις δεξιότητες της αρχικής αξιολόγησης της εισαγωγής, προσθέτει δύο ερωτήσεις για τους λόγους των αποτελεσμάτων και τελειώνει με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, που συνδυάζουν πολλά από αυτά και απαιτούν κάθε φορά μια δική τους ιδέα.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυνθέτει την αλυσίδα ορισμών και θεωρημάτων της ενότητας, από το ακτίνιο ως την πολική εξίσωση των κωνικών, προσδιορίζοντας από ποιο αποτέλεσμα εξαρτάται το καθένα.
  2. Να συσχετίζει τα αποτελέσματα της ενότητας με εκείνα του πρώτου κύκλου μαθημάτων και με τα προβλήματα που αφήνει ανοιχτά η αναλυτική τριγωνομετρία.
  3. Να λύνει προβλήματα που συνδυάζουν τη μέτρηση τόξων, τις συμμετρίες και τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τις αντίστροφές τους, την επίλυση τριγώνων και τις πολικές συντεταγμένες.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Από τις γωνίες στις συναρτήσεις

Η ενότητα ξεκινά από λίγα γεγονότα που γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη, τα οποία αξίζει να απαριθμηθούν με ακρίβεια. Τα δύο πρώτα απαιτούν τον απειροστικό λογισμό: τα γεγονότα για τα μήκη και τα εμβαδά (κάθε τόξο έχει μήκος και κάθε χωρίο που περικλείεται από ευθύγραμμα τμήματα και τόξα έχει εμβαδόν· και τα δύο είναι προσθετικά, δεν αλλάζουν όταν μετακινούνται τα σχήματα και αυξάνονται μαζί τους· τα τόξα στα οποία βαίνει η ίδια επίκεντρη γωνία είναι ανάλογα των ακτίνων, και ο κυκλικός δίσκος ακτίνας rr έχει εμβαδόν πr2\pi r^2), και το αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου: για κάθε πραγματικό αριθμό ss υπάρχει ένα μοναδικό σημείο P(s)P(s) του μοναδιαίου κύκλου στο οποίο φτάνουμε διατρέχοντάς τον από το (1,0)(1, 0) κατά μήκος ∣s∣\abs{s}, με τη φορά που δείχνει το πρόσημο του ss· αυτή η διαδρομή έχει την ιδιότητα της διαδοχής (η προχώρηση κατά tt από το P(s)P(s) οδηγεί στο P(s+t)P(s + t)), έχει περίοδο 2π2\pi, φτάνει σε όλα τα σημεία και, στην πρώτη μισή στροφή, που τελειώνει στο P(π)=(−1,0)P(\pi) = (-1, 0), διατρέχει το άνω ημικύκλιο με γνησίως φθίνουσα τετμημένη. Τα υπόλοιπα προέρχονται από τη στοιχειώδη γεωμετρία, την οποία ο κύκλος μαθημάτων δεν αναπτύσσει: το άθροισμα π\pi των γωνιών ενός τριγώνου, η ισότητα των γωνιών της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου, η πρόσθεση εφεξής γωνιών και η θέση του κέντρου ενός κύκλου ως προς μια εγγεγραμμένη γωνία, τα κριτήρια ομοιότητας, το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διατήρηση των μηκών από τις ανακλάσεις, που αντιστρέφουν τη φορά περιστροφής, και από τη μισή στροφή, που τη διατηρεί, και η σύγκριση των γωνιών υπό τις οποίες φαίνεται μια χορδή από σημεία εσωτερικά και εξωτερικά του κυκλικού δίσκου. Μαζί με αυτά γίνεται δεκτή και η τιμή του π\pi, του οποίου η δεκαδική παράσταση αρχίζει με 3,14159, ώστε 3<π<43 < \pi < 4, καθώς και η αρρητότητά του. Δύο ακόμη γεγονότα, που απαιτούν επίσης τον απειροστικό λογισμό, γίνονται δεκτά στο μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, και τα χρησιμοποιούν μόνο ορισμένα προβλήματα, ποτέ τα θεωρήματα της αλυσίδας: η συνέχεια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστροφών τους, χάρη στην οποία εφαρμόζεται σε αυτές το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, που δεν γίνεται δεκτό εκ νέου αλλά παρατίθεται από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, και η γνήσια κοιλότητα του ημιτόνου σε κάθε διάστημα [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}· και το τελευταίο λυμένο πρόβλημα του μαθήματος για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δέχεται, για τον ίδιο λόγο, ότι τα εμβαδά των εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων πλησιάζουν το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου όσο θέλουμε. Πάνω σε αυτή τη βάση, το μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους όρισε τον αριθμό π\pi ως το μισό του μήκους του μοναδιαίου κύκλου και το μέτρο σε ακτίνια ως το μήκος του τόξου που διατρέχεται, με πρόσημο· ανακλώντας την πρώτη μισή στροφή ως προς τον άξονα xx, απέδειξε ότι στη δεύτερη η διαδρομή περνά από το κάτω ημικύκλιο με γνησίως αύξουσα τετμημένη· από την ίδια βάση προέκυψαν η μετατροπή ανάμεσα σε μοίρες και ακτίνια, οι τύποι s=rθs = r\theta και A=12r2θA = \frac{1}{2} r^2 \theta, το θεώρημα της εγγεγραμμένης γωνίας, που ισούται με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει, και το θεώρημα της αναγωγής στον πρώτο κύκλο, σύμφωνα με το οποίο κάθε πραγματικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως θ0+2kπ\theta_0 + 2k\pi με θ0\theta_0 στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Επειδή το αξίωμα συνεπάγεται ότι μια στροφή δεν περνά δύο φορές από το ίδιο σημείο, δύο αριθμοί ορίζουν το ίδιο σημείο P(θ)P(\theta) ακριβώς όταν διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi.

Το μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τον μοναδιαίο κύκλο έδωσε δύο ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης: ως λόγους πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, που η ομοιότητα τους κάνει ανεξάρτητους από το τρίγωνο, και ως συντεταγμένες του P(θ)P(\theta), που ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό· απέδειξε ότι συμπίπτουν στις οξείες γωνίες. Από τον δεύτερο ορισμό προέκυψαν η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, οι χαρακτηριστικές τιμές των π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} και π3\frac{\pi}{3}, και οι συμμετρίες του κύκλου, που δίνουν την αρτιότητα, την περιοδικότητα και τις σχέσεις με τις παραπληρωματικές και τις συμπληρωματικές γωνίες. Από αυτό έπεται η μέθοδος της γωνίας αναφοράς, που ανάγει τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας σε εκείνον μιας οξείας γωνίας.

Στο μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί έγιναν συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Το λήμμα των περιόδων, που αποδείχθηκε με την αρχιμήδεια ιδιότητα, και ο εντοπισμός των μεγίστων έδειξαν ότι το 2π2\pi είναι η ελάχιστη περίοδος του ημιτόνου και του συνημιτόνου, και ο εντοπισμός των ριζών ότι το π\pi είναι η ελάχιστη περίοδος της εφαπτομένης· οι γραφικές παραστάσεις κατασκευάστηκαν ξετυλίγοντας τον κύκλο, και η σύγκριση των εμβαδών δύο τριγώνων και ενός τομέα έδωσε την ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x για 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, από την οποία έπονται το φράγμα ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} και οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της εφαπτομένης. Οι ημιτονοειδείς καμπύλες asin⁡(b(x−c))+da \sin(b(x - c)) + d, που προκύπτουν από το ημίτονο με τους μετασχηματισμούς της ενότητας του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις αλγεβρικές συναρτήσεις, περιγράφουν κάθε περιοδικό φαινόμενο απλής μορφής.

Η αντιστροφή και η μέτρηση των τριγώνων

Ωστόσο, μια περιοδική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Το μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις διάβασε στο αξίωμα της διαδρομής ότι το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνον στο [0,π]\icc{0}{\pi}, επειδή αυτή είναι η ρήτρα της μισής στροφής γραμμένη σε συντεταγμένες· από αυτό και από τη συμμετρία των συμπληρωματικών γωνιών απέδειξε ότι το ημίτονο είναι γνησίως αύξον στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, και από τα δύο ότι η εφαπτομένη είναι αύξουσα στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}· όρισε σε αυτά τα διαστήματα το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο και την τοξεφαπτομένη, και διέκρινε την ισότητα sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, που ισχύει πάντα, από την arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, που ισχύει μόνο στο κύριο διάστημα. Με τις συμμετρίες, οι αντίστροφες έλυσαν τις στοιχειώδεις εξισώσεις σε μια πλήρη στροφή.

Έτσι όλα ήταν έτοιμα για το μάθημα για την επίλυση τριγώνων. Αν τοποθετηθεί μια κορυφή στην αρχή των αξόνων, η κορυφή που βρίσκεται απέναντι από μια πλευρά έχει συντεταγμένες (bcos⁡A,bsin⁡A)\left( b \cos A, b \sin A \right)· από εκεί προκύπτουν, με αυτή τη σειρά, το εμβαδόν 12bcsin⁡A\frac{1}{2} bc \sin A, ο νόμος των ημιτόνων και, με το θεώρημα της εγγεγραμμένης γωνίας, η σχέση του με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, ο νόμος των συνημιτόνων, που γενικεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, και ο τύπος του Ήρωνα. Επειδή το συνημίτονο προσδιορίζει μια γωνία τριγώνου ενώ το ημίτονο όχι, η περίπτωση δύο πλευρών και της γωνίας που βρίσκεται απέναντι από τη μία τους δέχεται καμία, μία ή δύο λύσεις, και το θεώρημα της αμφίσημης περίπτωσης τις μετρά μέσω των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Τέλος, ο νόμος των συνημιτόνων και το ανάπτυγμα του τετραγώνου της νόρμας μιας διαφοράς έδωσαν το μέτρο της γωνίας δύο διανυσμάτων μέσω του εσωτερικού γινομένου.

Ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων

Το μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες και τις πολικές καμπύλες αντέστρεψε την οπτική γωνία: αντί να υπολογίζει τις καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου από την απόστασή του από την αρχή και από τη γωνία του, ονόμασε το σημείο με αυτούς τους δύο αριθμούς. Δεχόμενο αρνητικές ακτίνες, περιέγραψε όλες τις αναπαραστάσεις ενός σημείου, απέδειξε τους τύπους μετάβασης, με την τοξεφαπτομένη διορθωμένη ανάλογα με το τεταρτημόριο, και πήρε από τον νόμο των συνημιτόνων την απόσταση δύο σημείων σε πολικές συντεταγμένες. Τα κριτήρια συμμετρίας και οι πίνακες τιμών επέτρεψαν τη χάραξη καρδιοειδών, καμπυλών ρόδου, σπειρών και κοχλιών, και το θεώρημα της εστίας και της διευθετούσας μετατράπηκε στην εξίσωση r=ed1+ecos⁡θr = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}, στην οποία διαβάζονται το είδος, οι κορυφές και η ορθή εστιακή χορδή κάθε κωνικής.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα προέρχονται από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων ή γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΔιαδρομή κατά μήκος τόξου. Για κάθε πραγματικό αριθμό ss υπάρχει ένα μοναδικό σημείο P(s)P(s) του μοναδιαίου κύκλου στο οποίο φτάνουμε διατρέχοντάς τον από το (1,0)(1, 0) κατά μήκος ∣s∣\abs{s}, με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού αν s>0s > 0 και με τη φορά των δεικτών του ρολογιού αν s<0s < 0. Η προχώρηση από το P(s)P(s) κατά μήκος tt με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού οδηγεί στο P(s+t)P(s + t), και με τη φορά των δεικτών, στο P(s−t)P(s - t)· ισχύει P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s)· κάθε σημείο του κύκλου είναι το P(s)P(s) για κάποιο ss· P(π)=(−1,0)P(\pi) = (-1, 0), και η τετμημένη του P(s)P(s) είναι γνησίως φθίνουσα, με μη αρνητική τεταγμένη, όταν το ss αυξάνεται από το 00 στο π\pi. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη, επειδή στηρίζεται στο μήκος τόξου και στην ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής· η δεύτερη μισή στροφή συνάγεται από την πρώτη με τις ανακλάσεις. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΜήκη και εμβαδά. Κάθε τόξο έχει μήκος και κάθε χωρίο που περικλείεται από ευθύγραμμα τμήματα και τόξα έχει εμβαδόν· τα ίσα σχήματα έχουν το ίδιο μέτρο, τα μέτρα είναι προσθετικά, το εμβαδόν ενός χωρίου που περιέχει ένα άλλο δεν είναι μικρότερο, και είναι μεγαλύτερο αν η διαφορά περιέχει κυκλικό δίσκο· τα τόξα στα οποία βαίνει η ίδια επίκεντρη γωνία είναι ανάλογα των ακτίνων, και ο κυκλικός δίσκος ακτίνας rr έχει εμβαδόν πr2\pi r^2. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη, επειδή τα μήκη και τα καμπυλόγραμμα εμβαδά ορίζονται μέσω ορίων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΑνακλάσεις και στροφές. Μια ανάκλαση ως προς μια ευθεία διατηρεί τις αποστάσεις και τα μήκη των τόξων και αντιστρέφει τη φορά περιστροφής· η μισή στροφή γύρω από την αρχή τα διατηρεί και διατηρεί τη φορά. Γίνεται δεκτό από τη στοιχειώδη γεωμετρία. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΣτοιχειώδης γεωμετρία. Οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα π\pi· οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες· μια ημιευθεία που περνά από το εσωτερικό μιας γωνίας τη χωρίζει σε δύο γωνίες με άθροισμα τη δοσμένη· αν το κέντρο βρίσκεται μέσα σε μια εγγεγραμμένη γωνία, η διάμετρος που ξεκινά από την κορυφή τη χωρίζει στα δύο και τέμνει το τόξο στο οποίο βαίνει, και αν βρίσκεται έξω, η μία από τις πλευρές βρίσκεται ανάμεσα σε αυτή τη διάμετρο και στην άλλη πλευρά· τα κριτήρια ομοιότητας τριγώνων και το Πυθαγόρειο θεώρημα· και ένα σημείο εξωτερικό του κυκλικού δίσκου βλέπει μια χορδή υπό γωνία μικρότερη από την εγγεγραμμένη από την ίδια πλευρά, ενώ ένα εσωτερικό υπό γωνία μεγαλύτερη. Γίνονται δεκτά από τη στοιχειώδη γεωμετρία. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΑρχιμήδεια ιδιότητα. Αν δοθούν δύο θετικοί πραγματικοί pp και qq, κάποιο φυσικό πολλαπλάσιο του qq υπερβαίνει το pp· από αυτήν έπονται η πυκνότητα των ρητών και η ύπαρξη του μικρότερου ακεραίου που είναι μεγαλύτερος από έναν δοσμένο πραγματικό. Αποδείχθηκε στον πρώτο κύκλο μαθημάτων, στην ενότητα για τα αριθμητικά σύνολα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΣυναρτήσεις και πολυώνυμα. Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι ένα προς ένα, η γραφική παράσταση της αντίστροφής της είναι το συμμετρικό της δικής της ως προς την ευθεία y=xy = x, οι μετασχηματισμοί μετατοπίζουν και διαστέλλουν τις γραφικές παραστάσεις, και οι πίνακες προσήμων και οι τύποι του Βιέτ ρυθμίζουν τα πρόσημα των πηλίκων και τις ρίζες των πολυωνύμων. Αποδείχθηκε στον πρώτο κύκλο μαθημάτων, στην ενότητα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις και τα πολυώνυμα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • GΑναλυτική γεωμετρία. Ο τύπος της απόστασης, η εξίσωση του κύκλου, η κλίση μιας ευθείας, τα διανύσματα με το εσωτερικό γινόμενο και ο χαρακτηρισμός των κωνικών μέσω της εστίας και της διευθετούσας. Αποδείχθηκε στον πρώτο κύκλο μαθημάτων, στην ενότητα για την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • HΣυμμετρίες. Το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση και το συνημίτονο άρτια· sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin \theta, cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta, sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta, cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta και cos⁡θ=sin⁡(π2−θ)\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right), και τα δύο είναι περιοδικά με περίοδο 2π2\pi. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 10. Συμμετρίες και περιοδικότητα.

  1. Τμήμα 1 Από τις γωνίες στις συναρτήσεις

    • Να μετρά τις γωνίες με το μήκος του τόξου που διατρέχουν, να συσχετίζει την εγγεγραμμένη γωνία με το τόξο στο οποίο βαίνει και να ανάγει κάθε πραγματικό αριθμό στον πρώτο κύκλο.
    • Να ορίζει το ημίτονο και το συνημίτονο στον μοναδιαίο κύκλο και να αποδεικνύει ότι συμφωνούν με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του ορθογωνίου τριγώνου.
    • Να συνάγει τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, τις χαρακτηριστικές τιμές και τις συμμετρίες, και με αυτές τη μέθοδο της γωνίας αναφοράς.
    • Να μελετά το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη ως συναρτήσεις: τις ελάχιστες περιόδους τους, τις γραφικές τους παραστάσεις, την ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x και τις ημιτονοειδείς καμπύλες.

    1. Μέτρο σε ακτίνια. Με το π\pi ίσο με το μισό του μήκους του μοναδιαίου κύκλου, το μέτρο σε ακτίνια μιας προσανατολισμένης γωνίας είναι το μήκος, με πρόσημο, του τόξου που διατρέχει· κάθε πραγματικός αριθμός είναι το μέτρο μιας γωνίας, και μια γωνία gg μοιρών έχει μέτρο πg180\frac{\pi g}{180} ακτίνια.

      Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), B (Μήκη και εμβαδά). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γωνίες και η μέτρησή τους: μοίρες και ακτίνια.

    2. Τόξο και τομέας. Σε κύκλο ακτίνας rr, μια επίκεντρη γωνία θ\theta ακτινίων, με 0<θ≤2π0 < \theta \leq 2\pi, βαίνει σε τόξο μήκους s=rθs = r\theta και ορίζει τομέα εμβαδού 12r2θ\frac{1}{2} r^2 \theta.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μέτρο σε ακτίνια. Στηρίζεται σε: B (Μήκη και εμβαδά), E (Αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γωνίες και η μέτρησή τους: μοίρες και ακτίνια.

    3. Εγγεγραμμένη γωνία. Μια εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο ακτίνας rr που βαίνει σε τόξο μήκους ss έχει μέτρο s2r\frac{s}{2r}· άρα οι εγγεγραμμένες γωνίες στην ίδια χορδή είναι ίσες ή παραπληρωματικές ανάλογα με το αν οι κορυφές τους βρίσκονται στο ίδιο τόξο ή σε διαφορετικά τόξα, και η εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή.

      Χρησιμοποιεί: 2. Τόξο και τομέας. Στηρίζεται σε: B (Μήκη και εμβαδά), D (Στοιχειώδης γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γωνίες και η μέτρησή τους: μοίρες και ακτίνια.

    4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο. Κάθε πραγματικός αριθμός θ\theta γράφεται με μοναδικό τρόπο ως θ0+2kπ\theta_0 + 2k\pi, με kk ακέραιο και θ0\theta_0 στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}· επειδή μια στροφή δεν επαναλαμβάνει σημεία, δύο γωνίες έχουν κοινή τελική πλευρά αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μέτρο σε ακτίνια. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), E (Αρχιμήδεια ιδιότητα), C (Ανακλάσεις και στροφές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γωνίες και η μέτρησή τους: μοίρες και ακτίνια.

    5. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Στα ορθογώνια τρίγωνα με μια οξεία γωνία α\alpha, οι λόγοι των πλευρών εξαρτώνται μόνο από την α\alpha, και το ημίτονο και το συνημίτονο της α\alpha βρίσκονται γνησίως ανάμεσα στο 00 και στο 11.

      Στηρίζεται σε: D (Στοιχειώδης γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.

    6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Για κάθε πραγματικό αριθμό θ\theta, το συνημίτονο και το ημίτονο του θ\theta είναι η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου P(θ)P(\theta) του μοναδιαίου κύκλου, και η εφαπτομένη είναι το πηλίκο τους sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin \theta}{\cos \theta} όταν το συνημίτονο δεν μηδενίζεται· τα πρόσημά τους σε κάθε τεταρτημόριο συνάγονται από την ιδιότητα της μισής στροφής και από το συμμετρικό της, τη δεύτερη μισή στροφή, και εκείνα μιας οποιασδήποτε γωνίας είναι εκείνα της αναγωγής της στον πρώτο κύκλο.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μέτρο σε ακτίνια, 4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), C (Ανακλάσεις και στροφές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.

    7. Συμφωνία των ορισμών. Αν 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη που ορίζονται στον μοναδιαίο κύκλο συμπίπτουν με εκείνα που ορίζονται σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία μέτρου θ\theta.

      Χρησιμοποιεί: 5. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), C (Ανακλάσεις και στροφές), G (Αναλυτική γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.

    8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Για κάθε πραγματικό αριθμό θ\theta ισχύει sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, και από αυτήν 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta όταν cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0.

      Χρησιμοποιεί: 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.

    9. Χαρακτηριστικές τιμές. Το ημίτονο και το συνημίτονο του π4\frac{\pi}{4} ισούνται με 22\frac{\sqrt{2}}{2}· το ημίτονο του π6\frac{\pi}{6} και το συνημίτονο του π3\frac{\pi}{3} ισούνται με 12\frac{1}{2}, και το συνημίτονο του π6\frac{\pi}{6} και το ημίτονο του π3\frac{\pi}{3} ισούνται με 32\frac{\sqrt{3}}{2}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μέτρο σε ακτίνια, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία), D (Στοιχειώδης γεωμετρία), C (Ανακλάσεις και στροφές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.

    10. Συμμετρίες και περιοδικότητα. Το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση και το συνημίτονο άρτια· μια γωνία και η παραπληρωματική της έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετα συνημίτονα, οι θ\theta και π+θ\pi + \theta έχουν αντίθετα ημίτονα και αντίθετα συνημίτονα, το ημίτονο μιας γωνίας είναι το συνημίτονο της συμπληρωματικής της, και τα δύο είναι περιοδικά με περίοδο 2π2\pi· άρα το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας είναι, εκτός από το πρόσημο του τεταρτημορίου της, εκείνα της γωνίας αναφοράς της.

      Χρησιμοποιεί: 4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), C (Ανακλάσεις και στροφές), F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.

    11. Ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν σύνολο τιμών το [−1,1]\icc{-1}{1}· το ημίτονο μηδενίζεται ακριβώς στους αριθμούς kπk\pi και ισούται με 11 ακριβώς στους αριθμούς π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi, και το συνημίτονο ισούται με 11 ακριβώς στους αριθμούς 2kπ2k\pi, με kk ακέραιο.

      Χρησιμοποιεί: 4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού, 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις.

    12. Ελάχιστη περίοδος. Αν το qq είναι η ελάχιστη περίοδος μιας συνάρτησης, οι περίοδοί της είναι ακριβώς οι αριθμοί kqkq, με kk φυσικό· και το 2π2\pi είναι η ελάχιστη περίοδος του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

      Χρησιμοποιεί: 11. Ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Στηρίζεται σε: E (Αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις.

    13. Ημίτονο, τόξο και εφαπτομένη. Αν 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, ισχύει sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x· από αυτό έπεται ότι ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} για κάθε πραγματικό αριθμό xx, με ισότητα μόνο για x=0x = 0.

      Χρησιμοποιεί: 2. Τόξο και τομέας, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού, 11. Ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Στηρίζεται σε: B (Μήκη και εμβαδά), G (Αναλυτική γεωμετρία), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις.

    14. Ιδιότητες της εφαπτομένης. Η εφαπτομένη είναι περιττή, έχει ελάχιστη περίοδο π\pi, μηδενίζεται ακριβώς στους αριθμούς kπk\pi, το σύνολο τιμών της είναι το R\mathbb{R}, και οι ευθείες x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης.

      Χρησιμοποιεί: 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, 11. Ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, 13. Ημίτονο, τόξο και εφαπτομένη. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις.

    15. Ημιτονοειδείς καμπύλες. Η ημιτονοειδής καμπύλη y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, με a>0a > 0 και b>0b > 0, προκύπτει από το ημίτονο με μετασχηματισμούς· το σύνολο τιμών της είναι το [d−a,d+a]\icc{d - a}{d + a} και η ελάχιστη περίοδός της είναι 2πb\frac{2\pi}{b}.

      Χρησιμοποιεί: 11. Ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, 12. Ελάχιστη περίοδος. Στηρίζεται σε: F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις.

  2. Τμήμα 2 Η αντιστροφή και η μέτρηση των τριγώνων

    • Να συνάγει από το αξίωμα της διαδρομής τη γνήσια μονοτονία του συνημιτόνου και του ημιτόνου, και από αυτήν τη μονοτονία της εφαπτομένης, στα κύρια διαστήματά τους, και να ορίζει τις αντίστροφες συναρτήσεις τους.
    • Να διακρίνει την ισότητα sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, που ισχύει πάντα, από την arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, και να λύνει τις στοιχειώδεις εξισώσεις σε μια πλήρη στροφή.
    • Να συνάγει από τις συντεταγμένες μιας κορυφής το εμβαδόν του τριγώνου, τον νόμο των ημιτόνων, τον νόμο των συνημιτόνων και τον τύπο του Ήρωνα.
    • Να μετρά τις λύσεις της αμφίσημης περίπτωσης και να μετρά τη γωνία δύο διανυσμάτων με το εσωτερικό γινόμενο.

    1. Μονοτονία και αμφιμονοσήμαντοι περιορισμοί. Από την ιδιότητα της μισής στροφής του αξιώματος της διαδρομής, το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνον στο [0,π]\icc{0}{\pi}· από αυτό και από τις συμμετρίες, το ημίτονο είναι γνησίως αύξον στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} και η εφαπτομένη στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}· περιορισμένα σε αυτά τα διαστήματα, είναι αμφιμονοσήμαντες αντιστοιχίες επί των [−1,1]\icc{-1}{1}, [−1,1]\icc{-1}{1} και R\mathbb{R}.

      Χρησιμοποιεί: 4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού, 14. Ιδιότητες της εφαπτομένης. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

    2. Αντίστροφες συναρτήσεις. Το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο και η τοξεφαπτομένη, αντίστροφες αυτών των περιορισμών, ικανοποιούν την sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x στο [−1,1]\icc{-1}{1}, ενώ η arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x ισχύει μόνο στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}· επιπλέον, arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} και cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}.

      Χρησιμοποιεί: 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, 16. Μονοτονία και αμφιμονοσήμαντοι περιορισμοί. Στηρίζεται σε: F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

    3. Στοιχειώδεις εξισώσεις. Αν −1<c<1-1 < c < 1 και α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c, η εξίσωση sin⁡x=c\sin x = c έχει στο [0,2π)\ico{0}{2\pi} ακριβώς δύο λύσεις, το π−α\pi - \alpha και, ανάλογα με το πρόσημο του α\alpha, το ίδιο το α\alpha ή το 2π+α2\pi + \alpha· η εξίσωση cos⁡x=c\cos x = c έχει εκεί τις λύσεις arccos⁡c\arccos c και 2π−arccos⁡c2\pi - \arccos c.

      Χρησιμοποιεί: 16. Μονοτονία και αμφιμονοσήμαντοι περιορισμοί, 17. Αντίστροφες συναρτήσεις. Στηρίζεται σε: H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

    4. Εμβαδόν του τριγώνου. Με την κορυφή AA στην αρχή των αξόνων και την κορυφή BB στον θετικό ημιάξονα των τετμημένων, η κορυφή CC έχει συντεταγμένες (bcos⁡A,bsin⁡A)\left( b \cos A, b \sin A \right), και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12bcsin⁡A\frac{1}{2} bc \sin A.

      Χρησιμοποιεί: 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.

    5. Νόμος των ημιτόνων. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες των ημιτόνων των απέναντι γωνιών, και ο κοινός λόγος asin⁡A\frac{a}{\sin A} είναι η διάμετρος 2R2R του περιγεγραμμένου κύκλου.

      Χρησιμοποιεί: 7. Συμφωνία των ορισμών, 3. Εγγεγραμμένη γωνία, 19. Εμβαδόν του τριγώνου. Στηρίζεται σε: D (Στοιχειώδης γεωμετρία), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.

    6. Νόμος των συνημιτόνων. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A, που ανάγεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα όταν η γωνία AA είναι ορθή.

      Χρησιμοποιεί: 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, 19. Εμβαδόν του τριγώνου. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.

    7. Τύπος του Ήρωνα. Το εμβαδόν ενός τριγώνου με πλευρές aa, bb και cc και ημιπερίμετρο ss είναι s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.

      Χρησιμοποιεί: 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, 19. Εμβαδόν του τριγώνου, 21. Νόμος των συνημιτόνων. Στηρίζεται σε: F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.

    8. Αμφίσημη περίπτωση. Αν δοθούν μια γωνία AA, η προσκείμενη πλευρά cc και η απέναντι πλευρά aa, τα δυνατά τρίγωνα αντιστοιχούν στις θετικές ρίζες της b2−2bccos⁡A+c2−a2=0b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0, και είναι κανένα, ένα ή δύο ανάλογα με το πώς συγκρίνεται το aa με το csin⁡Ac \sin A και με το cc.

      Χρησιμοποιεί: 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού, 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, 21. Νόμος των συνημιτόνων. Στηρίζεται σε: F (Συναρτήσεις και πολυώνυμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.

    9. Γωνία δύο διανυσμάτων. Αν θ\theta είναι η γωνία των μη μηδενικών διανυσμάτων u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}, ισχύει cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}.

      Χρησιμοποιεί: 21. Νόμος των συνημιτόνων. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.

  3. Τμήμα 3 Ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων

    • Να περιγράφει όλες τις πολικές αναπαραστάσεις ενός σημείου, δεχόμενος αρνητικές ακτίνες.
    • Να μεταβαίνει από τις καρτεσιανές συντεταγμένες στις πολικές με την τοξεφαπτομένη διορθωμένη ανάλογα με το τεταρτημόριο.
    • Να υπολογίζει αποστάσεις σε πολικές συντεταγμένες και να χαράζει πολικές καμπύλες με τα κριτήρια συμμετρίας.
    • Να γράφει τις κωνικές με μια εστία στον πόλο και να διαβάζει στην εξίσωσή τους το είδος, τις κορυφές και την ορθή εστιακή χορδή.

    1. Αναπαραστάσεις ενός σημείου. Τα ζεύγη (r1,θ1)(r_1, \theta_1) και (r2,θ2)(r_2, \theta_2) αναπαριστούν το ίδιο σημείο, διαφορετικό από τον πόλο, αν και μόνο αν r2=r1r_2 = r_1 και το θ2−θ1\theta_2 - \theta_1 είναι άρτιο πολλαπλάσιο του π\pi, ή αλλιώς r2=−r1r_2 = -r_1 και το θ2−θ1\theta_2 - \theta_1 είναι περιττό πολλαπλάσιο του π\pi.

      Χρησιμοποιεί: 4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο, 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού, 8. Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Στηρίζεται σε: H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.

    2. Από καρτεσιανές σε πολικές. Κάθε σημείο (x,y)(x, y) διαφορετικό από τον πόλο έχει μία μοναδική αναπαράσταση με r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} και θ\theta στο (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}· αν x≠0x \neq 0, η γωνία του είναι arctan⁡yx\arctan \frac{y}{x}, στην οποία προστίθεται ή από την οποία αφαιρείται π\pi όταν x<0x < 0.

      Χρησιμοποιεί: 25. Αναπαραστάσεις ενός σημείου, 17. Αντίστροφες συναρτήσεις. Στηρίζεται σε: A (Διαδρομή κατά μήκος τόξου), G (Αναλυτική γεωμετρία), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.

    3. Απόσταση σε πολικές συντεταγμένες. Η απόσταση dd των σημείων (r1,θ1)(r_1, \theta_1) και (r2,θ2)(r_2, \theta_2) ικανοποιεί την d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ2−θ1)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1), όποια κι αν είναι τα πρόσημα των ακτίνων.

      Χρησιμοποιεί: 4. Αναγωγή στον πρώτο κύκλο, 21. Νόμος των συνημιτόνων, 25. Αναπαραστάσεις ενός σημείου. Στηρίζεται σε: H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.

    4. Κριτήρια συμμετρίας. Αν η εξίσωση μιας πολικής καμπύλης μετατρέπεται σε ισοδύναμη όταν αντικαθιστούμε το θ\theta με −θ-\theta, το θ\theta με π−θ\pi - \theta ή το rr με −r-r, η καμπύλη είναι συμμετρική, αντίστοιχα, ως προς τον πολικό άξονα, ως προς την ευθεία θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} ή ως προς τον πόλο.

      Χρησιμοποιεί: 6. Ημίτονο και συνημίτονο πραγματικού αριθμού. Στηρίζεται σε: H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.

    5. Πολική εξίσωση των κωνικών. Αν e>0e > 0 και d>0d > 0, τα σημεία των οποίων η απόσταση από τον πόλο είναι ee φορές η απόστασή τους από την ευθεία x=dx = d σχηματίζουν τη γραφική παράσταση της r=ed1+ecos⁡θr = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}.

      Χρησιμοποιεί: 25. Αναπαραστάσεις ενός σημείου. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία), H (Συμμετρίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.

    6. Στοιχεία της πολικής κωνικής. Στην κωνική r=ed1+ecos⁡θr = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}, ο πολικός άξονας είναι ο εστιακός άξονας, μια κορυφή απέχει ed1+e\frac{ed}{1 + e} από τον πόλο και η ορθή εστιακή χορδή έχει μήκος 2ed2ed· αν e<1e < 1, ο μεγάλος ημιάξονας είναι ed1−e2\frac{ed}{1 - e^2}.

      Χρησιμοποιεί: 28. Κριτήρια συμμετρίας, 29. Πολική εξίσωση των κωνικών. Στηρίζεται σε: G (Αναλυτική γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.

Προς την αναλυτική τριγωνομετρία. Η αλυσίδα σταματά μπροστά στο ημίτονο και στο συνημίτονο ενός αθροίσματος γωνιών: οι συμμετρίες τα δίνουν μόνο όταν ένας από τους προσθετέους είναι πολλαπλάσιο του π2\frac{\pi}{2}. Η ενότητα που ακολουθεί συνάγει τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς, και με αυτούς αποδεικνύει ταυτότητες, λύνει γενικά τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και ταξινομεί τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού μέσω της στροφής των αξόνων.

Η ενότητα μέσα στον κύκλο μαθημάτων

Η ενότητα, πρώτη του δεύτερου κύκλου μαθημάτων, στηρίζεται στον πρώτο κύκλο μαθημάτων σε συγκεκριμένα σημεία. Η αναγωγή στον πρώτο κύκλο είναι η διαίρεση με υπόλοιπο του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τη διαιρετότητα, μεταφερμένη στους πραγματικούς αριθμούς με την αρχιμήδεια ιδιότητα του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τη δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών, και το εμβαδόν του τομέα επεκτάθηκε σε όλες τις γωνίες με την πυκνότητα των ρητών του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την πραγματική ευθεία. Οι αντίστροφες εφάρμοσαν τα θεωρήματα της αντίστροφης συνάρτησης και των μετασχηματισμών του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις πράξεις συναρτήσεων, και οι ασύμπτωτες μελετήθηκαν με τους πίνακες προσήμων. Ο μοναδιαίος κύκλος, οι κλίσεις, τα διανύσματα, το εσωτερικό γινόμενο και οι κωνικές προέρχονται από την ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου, της οποίας το μάθημα για τις κωνικές τομές έδωσε το θεώρημα της εστίας και της διευθετούσας. Και το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις υπερβολικές συναρτήσεις προανήγγειλε την αναλογία που ολοκληρώνει αυτή η ενότητα: το ημίτονο και το συνημίτονο περιγράφουν τον κύκλο x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 όπως το υπερβολικό ημίτονο και το υπερβολικό συνημίτονο περιγράφουν την υπερβολή x2−y2=1x^2 - y^2 = 1.

Μένει, ωστόσο, ένα αναπάντητο ερώτημα, που διασχίζει όλη την ενότητα: πώς υπολογίζονται το ημίτονο και το συνημίτονο ενός αθροίσματος γωνιών από εκείνα κάθε προσθετέου; Οι συμμετρίες το απαντούν μόνο όταν ένας από τους προσθετέους είναι πολλαπλάσιο του π2\frac{\pi}{2}· οι τιμές του π12\frac{\pi}{12} ή του π10\frac{\pi}{10} απαιτούν ειδικές γεωμετρικές κατασκευές· και το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών σε πολική μορφή, που προαναγγέλθηκε στο μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες, εξαρτάται από αυτό. Η ενότητα που ακολουθεί, η οποία αρχίζει με την εισαγωγή στην αναλυτική τριγωνομετρία, απαντά σε αυτό το ερώτημα με τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς, και με αυτούς αποδεικνύει ταυτότητες, λύνει γενικά τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και ταξινομεί τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού μέσω της στροφής των αξόνων.