Πίνακες και αλγεβρικές δομές: εισαγωγή

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

1. Ερώτηση 1Έστω $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ και $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Ποιο είναι το γινόμενο $AB$;

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. Ερώτηση 2Θεωρούμε το σύστημα εξισώσεων $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$ και $2x + 3y + 4z = k$. Για ποιες τιμές του $k$ είναι συμβιβαστό, και πόσες λύσεις έχει τότε;

   Μόνο για $k = 3$, και τότε έχει άπειρες λύσεις, που εξαρτώνται από μία παράμετρο.

   Για κάθε $k$, με μοναδική λύση.

   Μόνο για $k = 3$, και τότε έχει μοναδική λύση.

   Για κανένα $k$.

3. Ερώτηση 3Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα με γραμμές $\left( 2, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 3, -1 \right)$ και $\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. Ερώτηση 4Έστω $A$ ένας πίνακας τάξης $3$ με $\det A = 2$. Πόσο είναι η $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$;

5. Ερώτηση 5Ποιος είναι ο αντίστροφος του πίνακα $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$;

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. Ερώτηση 6Έστω $A$, $B$ και $C$ τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας τάξης, με τους $A$ και $B$ αντιστρέψιμους. Ποια είναι η λύση της εξίσωσης $AXB = C$;

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. Ερώτηση 7Ποιος είναι ο πίνακας του μετασχηματισμού του επιπέδου που στρέφει κάθε διάνυσμα κατά ένα τέταρτο της πλήρους στροφής αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από την αρχή και μετά το ανακλά ως προς τον άξονα των τετμημένων;

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Ερώτηση 8Έστω $M(z)$ ο πίνακας του πολλαπλασιασμού επί τον μιγαδικό $z$. Να υπολογιστεί η $\det M(3 - 4i)$.

9. Ερώτηση 9Ποιο από αυτά τα σύνολα, με την πράξη που αναφέρεται, είναι ομάδα;

   Τα μη μηδενικά υπόλοιπα του $\mathbb{Z}_7$, με το γινόμενο.

   Οι ακέραιοι, με το γινόμενο.

   Οι φυσικοί, με το άθροισμα.

   Τα μη μηδενικά υπόλοιπα του $\mathbb{Z}_6$, με το γινόμενο.

10. Ερώτηση 10Μια πόλη έχει $600$ χιλιάδες κατοίκους στο κέντρο της και $400$ χιλιάδες στην περιφέρειά της. Κάθε χρόνο, το $10$ τοις εκατό των κατοίκων του κέντρου μετακομίζει στην περιφέρεια και το $20$ τοις εκατό των κατοίκων της περιφέρειας μετακομίζει στο κέντρο· κανείς άλλος δεν έρχεται ούτε φεύγει. Αν οι αναλογίες διατηρούνται, πόσες χιλιάδες κατοίκους θα έχει το κέντρο μετά από δύο χρόνια;

11. Ερώτηση 11Από προηγούμενες ενότητεςΝα λυθεί με τον κανόνα του Κράμερ το σύστημα $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$, και να δοθεί η τιμή του $x$.

12. Ερώτηση 12Από προηγούμενες ενότητεςΝα βρεθεί ο αντίστροφος του $4$ modulo $9$, δηλαδή το υπόλοιπο $x$ μεταξύ $0$ και $8$ τέτοιο ώστε $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. Ερώτηση 13Από προηγούμενες ενότητεςΠοια είναι η πολική μορφή του $1 + i\sqrt{3}$;

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$