انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الرتابة واختبار المشتقة الأولى

ملخص

يحوّل هذا الدرس إشارة المشتقة إلى معلومات عن فترة كاملة. فهو يبرهن، بمبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية، أن الدالة ذات المشتقة الموجبة على فترة متزايدة تمامًا عليها، وأن ذات المشتقة غير السالبة متزايدة؛ وبالعكس، مشتقة الدالة المتزايدة ليست سالبة، وإن كانت مشتقة الدالة المتزايدة تمامًا قد تنعدم، ويصف الدرس متى يحدث ذلك. ومن هنا تخرج قابلية انعكاس الدالة ذات المشتقة الموجبة، واسم المرشحين للقيم القصوى المحلية، أي النقاط الحرجة، واختبار المشتقة الأولى، الذي يحسم وجود القيمة القصوى بتغيّر إشارة المشتقة. وتُظهر مبرهنة داربو، المبرهنة بمبرهنتي فايرشتراس وفيرما، أن المشتقة، وإن لم تكن متصلة، لا تقفز فوق القيم: فليس لها نقاط عدم اتصال قابل للإزالة ولا عدم اتصال قفزي، وإذا لم تنعدم على فترة فإنها لا تغيّر إشارتها عليها. ويختم الدرس بمتباينات تُبرهن بمقارنة الدوال عن طريق مشتقاتها، ويفي بما وعدت به الوحدة الخاصة بالمشتقات مرارًا دون أن تتمكن من برهانه.

أهداف التعلم

  1. برهان أن إشارة المشتقة على فترة تحسم الرتابة، بمبرهنة التزايدات المنتهية، والتعرّف على الحالات التي تكون فيها مشتقة دالة متزايدة تمامًا منعدمة في بعض النقاط.
  2. إيجاد النقاط الحرجة لدالة، وتحديد أيّها قيم قصوى محلية باختبار المشتقة الأولى، بما في ذلك النقاط التي لا مشتقة فيها.
  3. برهان مبرهنة داربو واستعمالها لإظهار أن دالة ذات قفزة ليست مشتقة أي دالة على فترة.
  4. برهان متباينات بين الدوال بدراسة إشارة مشتقة الفرق بينها، والانتباه إلى الحالات التي يكون فيها هذا الاستدلال دائريًا.

إشارة المشتقة والرتابة

إن قضية إشارة المشتقة عند نقطة، من الدرس الخاص بـمعدلات التغير، تقارن كل قيمة قريبة من aa بـf(a)f(a)، ولا شيء أكثر من ذلك: فالدالة x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}، المكمَّلة بالقيمة 00 عند 00، مشتقتها 11 عند 00، وليست متزايدة على أي فترة تحوي 00. وللحصول على معلومات عن فترة كاملة يجب معرفة إشارة المشتقة في جميع نقاطها، ومبرهنة التزايدات المنتهية، من الدرس الخاص بـمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي، تترجم هذه المعرفة إلى مقارنة بين القيم. ولنتذكر أنه، بحسب الدرس الخاص بـالعمليات على الدوال في مقرر الجبر والهندسة 1، تكون الدالة ff متزايدة على مجموعة II إذا كان x<yx < y يستلزم f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) لجميع نقاطها، ومتزايدة تمامًا إذا كان يستلزم f(x)<f(y)f(x) < f(y):

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

وتكون متناقصة أو متناقصة تمامًا إذا كان يستلزم f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) أو f(x)>f(y)f(x) > f(y) على الترتيب.

مبرهنةالرتابة من إشارة المشتقة

لتكن ff متصلة على فترة II وقابلة للاشتقاق في كل نقطة داخلية من II.

  • إذا كان f′(x)≥0f'(x) \geq 0 في كل نقطة داخلية xx من II، فإن ff متزايدة على II؛ وإذا كان f′(x)>0f'(x) > 0 في كل منها، فهي متزايدة تمامًا على II.
  • إذا كان f′(x)≤0f'(x) \leq 0 في كل نقطة داخلية xx من II، فإن ff متناقصة على II؛ وإذا كان f′(x)<0f'(x) < 0 في كل منها، فهي متناقصة تمامًا على II.

بين أي نقطتين، تعطي مبرهنة التزايدات المنتهية فرقَ القيمتين إشارةَ المشتقة في نقطة وسيطة.

البرهان

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    لتكن x<yx < y نقطتين من II. بما أن II فترة، فإنها تحوي [x,y]\icc{x}{y}، حيث ff متصلة، ونقاط (x,y)\ioo{x}{y} نقاط داخلية من II، حيث ff قابلة للاشتقاق. وبحسب مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية، يوجد cc بين xx وyy بحيث:

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    العامل y−xy - x موجب، ومن ثم فللفرق إشارة f′(c)f'(c): إذا كان f′(c)≥0f'(c) \geq 0 فهو ليس سالبًا، وإذا كان f′(c)>0f'(c) > 0 فهو موجب. وبما أن xx وyy كانتا نقطتين كيفيتين من II مع x<yx < y، فالدالة متزايدة، أو متزايدة تمامًا.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    إذا لم تكن المشتقة موجبة، طُبّق ما تقدّم على −f-f، وهي متصلة على II ومشتقتها −f′(x)-f'(x) في كل نقطة داخلية، بحسب مبرهنة مشتقة التركيب الخطي، من الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق. وكون −f-f متزايدة يعني أن ff متناقصة.

لا تُطلب المشتقة إلا في النقاط الداخلية؛ أما في طرفي الفترة المنتميين إليها فيكفي الاتصال. وهكذا فإن x\sqrt{x} متزايدة تمامًا على [0,∞)\ico{0}{\infty}، مع أنها غير قابلة للاشتقاق عند 00. وتفي المبرهنة بثلاثة وعود من الوحدة الخاصة بالمشتقات. فقد لاحظ الدرس الخاص بـمشتقات الدوال الأولية أن مشتقة الظل، 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x، موجبة، مع أن الظل ليس متزايدًا على مجال تعريفه، الذي ليس فترة؛ وعلى كل فترة (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}، حيث kk عدد صحيح، تجعله المبرهنة متزايدًا تمامًا. وحسب الدرس الخاص بـالمتغير في الأس المشتقة x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}، وهي موجبة على (0,e)\ioo{0}{e} وسالبة على (e,∞)\ioo{e}{\infty}؛ وبما أن الدالة متصلة على (0,∞)\ioo{0}{\infty}، فهي متزايدة تمامًا على (0,e]\ioc{0}{e} ومتناقصة تمامًا على [e,∞)\ico{e}{\infty}. وهذا يستعيد قضية القيمة العظمى لـxx مرفوعًا إلى القوة 1x\frac{1}{x}، من ذلك الدرس، ويقارن فوق ذلك عددين في الجهة نفسها من ee: بما أن e<3<4e < 3 < 4، فإن 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}، أي 34>433^4 > 4^3. وقد برهن الدرس نفسه أن مشتقة (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x موجبة لكل x>0x > 0: فالدالة متزايدة تمامًا على (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

قضيةإشارة مشتقة دالة رتيبة

لتكن ff متزايدة على فترة II وقابلة للاشتقاق عند نقطة داخلية aa من II. عندئذ f′(a)≥0f'(a) \geq 0. وإذا كانت ff متناقصة، فإن f′(a)≤0f'(a) \leq 0. لو كانت المشتقة سالبة، لوضعت قضية إشارة المشتقة عند نقطة على يمين aa قيمًا أصغر من f(a)f(a).

البرهان

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    ليكن r>0r > 0 بحيث تكون J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} محتواة في II، ولتكن FF مقصور ff على JJ؛ وبحسب توطئة الطابع المحلي للمشتقة، من الدرس الخاص بقواعد الاشتقاق، فإن FF قابلة للاشتقاق عند aa وF′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). لنفترض أن f′(a)<0f'(a) < 0. وبحسب قضية إشارة المشتقة عند نقطة، مطبَّقةً على FF في الفترة المفتوحة JJ، يوجد δ>0\delta > 0 بحيث:

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    ليكن ρ\rho أصغر العددين δ\delta وrr. النقطة a+ρ2a + \frac{\rho}{2} تنتمي إلى JJ وهي أكبر من aa؛ وبما أن ff متزايدة، فقيمتها ليست أصغر من f(a)f(a)، وهذا يناقض ما حصلنا عليه أعلاه. إذن f′(a)≥0f'(a) \geq 0. وإذا كانت ff متناقصة، فإن −f-f متزايدة، و−f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

فبالنسبة إلى دالة قابلة للاشتقاق في جميع نقاط فترة مفتوحة، يكافئ كونُها متزايدة إذن كونَ مشتقتها غير سالبة. ولا يمتد العكس إلى الرتابة التامة: فالدالة x3x^3 متزايدة تمامًا على R\mathbb{R}، ومشتقتها تنعدم عند 00. وتفسّر القضية أيضًا مثال البداية: فقد وجد الدرس الخاص بمعدلات التغير، قريبًا من 00 قدر ما نشاء، نقاطًا تكون فيها مشتقة x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} سالبة، ولا يمكن للدالة أن تكون متزايدة على أي فترة تحويها. والخلل في أن هذه المشتقة ليست متصلة عند 00؛ فإن كانت متصلة، امتدت الإشارة عند نقطة إلى فترة.

نتيجةمشتقة موجبة ومتصلة عند نقطة

لتكن ff قابلة للاشتقاق في كل نقطة من فترة مفتوحة II، ولتكن aa نقطة من II تكون عندها f′f' متصلة، مع f′(a)>0f'(a) > 0. عندئذ يوجد δ>0\delta > 0 بحيث تكون ff متزايدة تمامًا على (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}. تحافظ المشتقة على إشارتها قرب aa، وتُطبَّق المبرهنة على الفترة التي تحافظ فيها عليها.

البرهان

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    بما أن f′f' متصلة عند aa، فإن نهايتها عند aa هي f′(a)>0f'(a) > 0. وبحسب قضية المحدودية المحلية وحفظ الإشارة، من الدرس الخاص بـنهاية الدالة، يوجد δ>0\delta > 0، يمكن اختياره بحيث تكون (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} محتواة في II، مع f′(x)>0f'(x) > 0 على تلك الفترة. وهناك تكون ff قابلة للاشتقاق، ومن ثم متصلة؛ وبحسب المبرهنة فهي متزايدة تمامًا.

متى تكون الدالة ذات المشتقة غير السالبة متزايدة تمامًا؟ يُظهر مثال x3x^3 أن المشتقة قد تنعدم في نقطة ما؛ أما ما لا يمكنها فهو أن تنعدم على فترة بأكملها.

قضيةالرتابة التامة مع مشتقة غير سالبة

لتكن ff متصلة على فترة II وقابلة للاشتقاق في كل نقطة داخلية من II، مع f′(x)≥0f'(x) \geq 0 في كل منها. عندئذ تكون ff متزايدة تمامًا على II إذا وفقط إذا لم توجد أي فترة (p,q)\ioo{p}{q}، مع p<qp < q، محتواة في II، تنعدم f′f' في جميع نقاطها. وبوجه خاص، إذا لم تنعدم f′f' إلا في عدد منته من النقاط، فإن ff متزايدة تمامًا على II. الدالة المتزايدة التي ليست متزايدة تمامًا تكرر قيمة ما، وتكون ثابتة بين النقطتين اللتين تكررها فيهما.

البرهان

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    لنفترض أن f′f' تنعدم في جميع نقاط فترة (p,q)\ioo{p}{q} محتواة في II، ولتكن p<s<t<qp < s < t < q. على [s,t]\icc{s}{t} الدالة متصلة ومشتقتها منعدمة في نقاط (s,t)\ioo{s}{t}؛ وبحسب نتيجة المشتقة المنعدمة على فترة، من الدرس الخاص بمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي، فهي ثابتة على [s,t]\icc{s}{t}، وليست متزايدة تمامًا.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    وبالعكس، لنفترض أن ff ليست متزايدة تمامًا. بحسب المبرهنة هي متزايدة، ومن ثم توجد s<ts < t في II مع f(s)=f(t)f(s) = f(t)؛ وكل قيمة وسيطة محصورة بين قيمتين متساويتين، وff ثابتة على [s,t]\icc{s}{t}.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    لتكن xx من (s,t)\ioo{s}{t}. مقصور ff على (s,t)\ioo{s}{t} ثابت، ومشتقته منعدمة عند xx؛ وبحسب توطئة الطابع المحلي للمشتقة، f′(x)=0f'(x) = 0. فالمشتقة تنعدم على الفترة (s,t)\ioo{s}{t} كلها، وهي محتواة في II. وإذا لم تنعدم f′f' إلا في عدد منته من النقاط، فلا توجد فترة كهذه، لأن كل فترة (p,q)\ioo{p}{q} مع p<qp < q فيها ما لا نهاية له من النقاط.

الدالة x+sin⁡xx + \sin x، من المسألة المحلولة 1 في الدرس الخاص بـمشتقة الدالة العكسية، مشتقتها 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0، وهي تنعدم في النقاط π+2kπ\pi + 2k\pi التي لا نهاية لعددها؛ وبين كل نقطتين متجاورتين منها تكون المشتقة موجبة، ولا تتكون أي فترة من أصفار. وتجعلها القضية متزايدة تمامًا على R\mathbb{R}، وهو ما حصل عليه ذلك الدرس بصيغة الفرق بين جيبين وبدا فيه مفاجئًا. ويقبل الاستدلال نفسه عددًا منتهيًا من النقاط التي لا مشتقة فيها: إذا كانت ff متصلة على II ولها مشتقة موجبة في جميع نقاطها الداخلية عدا x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k، فإن المبرهنة تجعلها متزايدة تمامًا على كل فترة بين نقطتين متجاورتين من هذه النقاط (وعلى الجزأين الطرفيين)، وتتصل المتباينات بعضها ببعض. وهكذا فإن x3\sqrt[3]{x} متزايدة تمامًا على R\mathbb{R}، مع أنها غير قابلة للاشتقاق عند 00. ولا يمكن الاستغناء عن الاتصال (المسألة المقترحة 1).

نتيجةمشتقة موجبة والدالة العكسية

لتكن ff متصلة على فترة II تحوي أكثر من نقطة واحدة وقابلة للاشتقاق في كل نقطة داخلية من II، مع f′(x)>0f'(x) > 0 في كل منها، أو مع f′(x)<0f'(x) < 0 في كل منها. عندئذ تكون ff رتيبة تمامًا على II، وصورتها J=f(I)J = f(I) فترة، والدالة العكسية f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I متصلة؛ وفي كل نقطة b=f(a)b = f(a)، حيث aa داخلية في II، تكون الدالة العكسية قابلة للاشتقاق، و(f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. تعطي المبرهنة الرتابة التامة، وهي فرضية مبرهنة مشتقة الدالة العكسية.

البرهان

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    بحسب المبرهنة، ff متزايدة تمامًا، أو متناقصة تمامًا، على II. وبحسب نتيجتي صورة فترة واتصال الدالة العكسية، من الدرس الخاص بـمبرهنة القيم الوسطى، فإن JJ فترة وf−1f^{-1} متصلة على JJ.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    إذا كانت aa داخلية، فإن ff قابلة للاشتقاق عند aa مع f′(a)≠0f'(a) \neq 0، وتعطي مبرهنة مشتقة الدالة العكسية، من الدرس الخاص بمشتقة الدالة العكسية، مشتقةَ f−1f^{-1} عند b=f(a)b = f(a).

كانت تقييمات الوحدة الخاصة بالمشتقات تعدّ معلومًا أن x5+xx^5 + x وx3+2x+1x^3 + 2x + 1 متزايدتان تمامًا على R\mathbb{R}؛ والآن يكفي أن نلاحظ أن مشتقتيهما، 5x4+15x^4 + 1 و3x2+23x^2 + 2، موجبتان. أما تحدي الدالة العكسية لـxexx e^x، في خلاصة تلك الوحدة، الذي كان يطلب برهان أن هذه الدالة متزايدة تمامًا على [−1,∞)\ico{-1}{\infty} دون إشارة المشتقة، فيُحَل الآن في سطر واحد: فهي متصلة هناك ومشتقتها، (1+x)ex(1 + x) e^x، موجبة على (−1,∞)\ioo{-1}{\infty}.