矩阵与代数结构：导言

开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。

1. 第 1 题设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$。乘积 $AB$ 是什么？

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. 第 2 题考虑方程组 $x + y + z = 1$、$x + 2y + 3z = 2$ 与 $2x + 3y + 4z = k$。$k$ 取哪些值时它相容？此时它有多少个解？

   仅当 $k = 3$ 时相容，此时有无穷多解，依赖于一个参数。

   对任意 $k$ 都相容，且有唯一解。

   仅当 $k = 3$ 时相容，此时有唯一解。

   对任何 $k$ 都不相容。

3. 第 3 题计算行为 $\left( 2, 1, 1 \right)$、$\left( 1, 3, -1 \right)$ 与 $\left( 0, 1, 4 \right)$ 的矩阵的行列式。

4. 第 4 题设 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $\det A = 2$。$\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$ 等于多少？

5. 第 5 题矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵是什么？

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. 第 6 题设 $A$、$B$ 与 $C$ 是同阶方阵，且 $A$ 与 $B$ 可逆。方程 $AXB = C$ 的解是什么？

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. 第 7 题把每个向量绕原点按逆时针方向旋转四分之一周、然后关于横轴反射的平面变换，其矩阵是什么？

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. 第 8 题设 $M(z)$ 是乘以复数 $z$ 的矩阵。计算 $\det M(3 - 4i)$。

9. 第 9 题下列集合连同所给的运算，哪一个是群？

   $\mathbb{Z}_7$ 的非零余数，对乘法。

   整数，对乘法。

   自然数，对加法。

   $\mathbb{Z}_6$ 的非零余数，对乘法。

10. 第 10 题某城市的市中心有 $600$ 千名居民，郊区有 $400$ 千名居民。每年，市中心百分之 $10$ 的居民迁往郊区，郊区百分之 $20$ 的居民迁往市中心；此外没有人迁入或迁出。若这些比例保持不变，两年后市中心将有多少千名居民？

11. 第 11 题来自前面的单元用克拉默法则解方程组 $2x + 3y = 7$，$x - y = 1$，并给出 $x$ 的值。

12. 第 12 题来自前面的单元求 $4$ 模 $9$ 的逆元，即余数 $x$（介于 $0$ 与 $8$ 之间），它满足 $4x \equiv 1 \pmod{9}$。

13. 第 13 题来自前面的单元$1 + i\sqrt{3}$ 的极坐标形式是什么？

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$