复数的极坐标形式：总结与挑战

摘要

本课结束专讲极坐标形式复数的这一单元。它把本单元的定义和定理汇成一条演绎链：从极坐标形式下的乘积定理出发，经过棣莫弗公式、 $n$ 次方根、复指数函数和平面几何，到达多项式的因式分解以及卡尔达诺公式与费拉里公式。本课指出每个环节得益于课程代数与几何 I 和本课程前面两个单元的地方，也指出紧接着的单元（关于矩阵与代数结构）如何重新解读同样的事实。最后给出十道挑战题，难度高于本单元的练习题，每道题都综合了本单元的几课内容。

学习目标

重建本单元的演绎链，从极坐标形式下的乘积定理一直到卡尔达诺公式与费拉里公式，并指出每个定理依赖于哪个结果。
把本单元的结果与课程 I 的结果（归纳法、二项式定理、最大公因数、多项式）以及前面各单元的结果（极坐标与三角公式）联系起来，并预见它们在紧接着的单元中的矩阵解读和结构解读。
解决需要综合运用极坐标形式、单位根、复指数函数、借助复数的几何以及韦达定理的问题。

本单元的收获

本单元从一个缺憾出发：在课程 I 关于复数的一课里，两个复数的乘积会算，却不明其理。关于极坐标形式的一课把每个非零复数写成 $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ，证明了这种写法除相差整圈外是唯一的，并借助和角公式与差角公式证明了支撑其余一切的定理：在乘积中，模相乘，辐角相加。由此推出：乘以一个复数就是旋转与伸缩；共轭复数和倒数的辐角是原辐角的相反数；乘积的辐角主值与辐角主值之和只在相差一圈的意义下相等。

乘积把辐角相加，乘方就把辐角相乘。关于棣莫弗公式的一课用归纳法对一切整数指数证明了这一点，并把公式与二项式定理比较，得到多倍角公式；借助引理 $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ ，它把正弦和余弦的幂线性化；借助公比为复数的等比求和，它求出了正弦之和与余弦之和；借助幂 $(1 + i)^n$ ，它求出了偶数下标的二项式系数之和以及带交错符号的奇数下标的二项式系数之和。然而，既然乘方（指数为 $n$ ）把角乘以 $n$ ，开方就把角相除：关于 $n$ 次方根的一课证明了，每个非零复数恰有 $n$ 个 $n$ 次方根，它们是一个正多边形的顶点；单位根都是其中一个单位根的幂，其和为零，能分解 $z^n - 1$ ，并且恰在其下标与 $n$ 互素时为本原单位根。

关于复指数函数的一课注意到，所有这些规则就是指数运算律；它借助 $e^x$ 、余弦和正弦的级数（因为这些级数需要微分学，所以未加证明而承认），说明了指数函数的级数在 $i\theta$ 处的和是 $\cos \theta + i \sin \theta$ 。因此它定义了 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 和 $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ ，证明了指数函数把和变为积，并且是以 $2\pi i$ 为周期的周期函数，用指数函数表示了余弦和正弦，判定了把它们推广到复数时哪些三角恒等式仍然成立，在其中发现了双曲函数，并通过求指数函数的反函数得到了有无穷多个值的对数和复数次幂。借助这一记号，关于借助复数的几何的一课把旋转写成 $c + e^{i\varphi}(z - c)$ ，把反射写成 $e^{2i\alpha}\conj{z}$ ，从一个商读出共线与垂直，用这个商的虚部的符号定义了三角形的定向，并证明了定向与从哪个顶点开始无关，平移和旋转保持定向而反射使之反向，用 1 的立方根刻画了等边三角形，还证明了阿波罗尼奥斯圆定理和拿破仑定理。

最后，关于复数域上的多项式方程的一课在复数诞生的领域里把一切汇集起来。它从未加证明而承认的代数基本定理推出：每个 $n$ 次多项式都是 $n$ 个一次因式的乘积；它证明了韦达定理，解了二项方程、三项方程和倒数方程；卡尔达诺公式需要关于 $n$ 次方根那一课中的立方根，判别式给实三次方程的根分类，不可约情形借助三倍角公式求解，费拉里方法把四次方程化为三次方程；未加证明而承认的赫尔德定理和阿贝尔-鲁菲尼定理说明了为什么在不可约情形中绕道复数是不可避免的，以及为什么从五次起没有类似的公式。由此，完整的链是：乘积定理、棣莫弗公式、 $n$ 次方根、复指数函数、平面几何和多项式方程，因而每个环节在本质上都是对第一个环节的重新解读。

应当准确地列出本单元未加证明而承认的内容，因为它们很少，而且位置明确。来自欧几里得几何的，是课程 I 关于直线的方程的一课中汇集的那些事实，本单元只在乘积的相似三角形定理中用到其中的相似概念，以及角相等蕴含边成比例这一事实。来自微分学的，是 $e^x$ 、余弦和正弦的级数，关于复指数函数的一课用它们来引出欧拉公式，它们在课程微积分 I 中得到证明。来自代数的，是在关于多项式方程的一课中声明的三个结果：代数基本定理，完全因式分解依赖于它；以及赫尔德定理和阿贝尔-鲁菲尼定理，它们不支撑任何环节，只说明为什么不可约情形需要绕道复数，以及为什么从五次起没有根式公式。最后，关于棣莫弗公式的一课中幂的螺线这一例子提到了（但没有使用）对数螺线的性质：它与过原点的每条直线都以同一个角相交；这一性质同样要用微分学证明。其余一切都在本单元、前面两个单元或课程 I 中得到证明；在链中，欧几里得几何的事实和代数基本定理作为承认的支柱出现，而级数不出现，因为虚指数是作为定义采用的，级数不支撑任何环节。

下图把本单元的四段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具：在第一个环节中确立的极坐标形式下的相等定理，以及来自前面各单元或课程 I 的结果，后者画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A极坐标形式下的相等. 两个复数 $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ 和 $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ （其中 $r_1$ 和 $r_2$ 为正数）相等，当且仅当 $r_1 = r_2$ ，并且差 $\theta_1 - \theta_2$ 是 $2\pi$ 的整数倍。确立于: 1. 极坐标形式下的相等.
B三角公式. 平方关系，和与差的余弦和正弦，二倍角、半角和三倍角，正弦和余弦的奇偶性与周期性，它们的零点，终边相同的角的刻画，余弦在 $\icc{0}{\pi}$ 上的单调性，以及余弦定理；这些在第 1 和第 2 单元（关于三角函数和关于解析三角学）中得到证明。本单元中不加证明而采用。
C欧几里得几何. 在课程 I 关于平面解析几何的单元中，承认欧几里得几何的事实：毕达哥拉斯定理及其逆定理、平行线、泰勒斯定理与三角形的相似、三角形的内角和以及等腰三角形。本单元中不加证明而采用。
D归纳原理. 如果一个性质对第一个自然数成立，并且能从每个自然数传到比它大一的自然数，那么它对所有自然数成立；在课程 I 关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
E二项式定理与等比求和. 对任意自然数 $n$ ，有 $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ；若 $q \neq 1$ ，则 $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ；这两个结果在课程 I 关于自然数的单元中证明，两个计算都只用到加法和乘法的性质，因此对复数同样成立。本单元中不加证明而采用。
F带余除法与裴蜀等式. 每个整数都可写成 $qn + r$ ，其中 $0 \leq r \leq n - 1$ ；若 $\operatorname{gcd}(k, n) = 1$ ，则存在整数 $x$ 和 $y$ 使 $kx + ny = 1$ ；在课程 I 关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
G实指数函数. 实指数函数是正的、单射的，并且是到正实数集上的双射，满足 $e^a e^c = e^{a + c}$ ，并定义了双曲余弦和双曲正弦；在课程 I 关于指数函数与对数函数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
H因式定理与代数基本定理. 若 $z_0$ 是多项式 $P$ 的根，则 $z - z_0$ 整除 $P$ ，这在课程 I 关于代数函数的单元中证明，并且在复数中成立；每个次数（满足 $n \geq 1$ ）的复系数多项式至少有一个复根，这一点未加证明而承认。本单元中不加证明而采用。

第 1 段极坐标形式与乘积
- 把每个非零复数写成极坐标形式，并证明这种写法除相差整圈外是唯一的。
- 借助和角公式与差角公式证明：在乘积中，模相乘，辐角相加。
- 由此推出极坐标形式下的共轭复数与倒数，以及乘积的辐角主值的性质。
- 把乘以一个复数解释为旋转与伸缩的复合。
1. 极坐标形式下的相等. $z = a + bi \neq 0$ 的辐角是这样的每个实数 $\theta$ ： $a = \abs{z} \cos \theta$ 且 $b = \abs{z} \sin \theta$ ；复数 $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ （其中 $r > 0$ ）的模为 $r$ ，辐角为 $\theta$ ；两个这样的表达式相等，当且仅当它们的模相同，并且辐角相差 $2\pi$ 的整数倍。
  依据: B (三角公式). 证明于: 复数的极坐标形式.
2. 极坐标形式下的乘积与商. 若 $z$ 的模为 $r$ 、辐角为 $\theta$ ， $w$ 的模为 $s$ 、辐角为 $\varphi$ ，则乘积 $zw$ 的模为 $rs$ 、辐角为 $\theta + \varphi$ ，商 $\frac{z}{w}$ 的模为 $\frac{r}{s}$ 、辐角为 $\theta - \varphi$ 。
  依据: A (极坐标形式下的相等), B (三角公式). 证明于: 复数的极坐标形式.
3. 共轭复数与倒数. 若 $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ （其中 $r > 0$ ），则 $z$ 的共轭复数的模为 $r$ 、辐角为 $-\theta$ ，倒数 $\frac{1}{z}$ 的模为 $\frac{1}{r}$ 、辐角为 $-\theta$ 。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商. 依据: A (极坐标形式下的相等), B (三角公式). 证明于: 复数的极坐标形式.
4. 乘积的辐角主值. $zw$ 的辐角主值是 $\operatorname{arg} z + \operatorname{arg} w + 2k\pi$ ，其中 $k$ 等于 $-1$ 、 $0$ 或 $1$ ，并且 $k = 0$ 恰在这个和属于 $\ioc{-\pi}{\pi}$ 时成立。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商. 依据: A (极坐标形式下的相等). 证明于: 复数的极坐标形式.
5. 乘积的相似三角形. 若 $z \neq 0$ 且 $w$ 不是实数，则以 $0$ 、 $z$ 和 $zw$ 为顶点的三角形与以 $0$ 、 $1$ 和 $w$ 为顶点的三角形相似，相似比为 $\abs{z}$ ：乘以 $z$ 就是旋转与伸缩。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商. 依据: C (欧几里得几何), B (三角公式). 证明于: 复数的极坐标形式.
第 2 段幂与方根
- 用归纳法对一切整数指数证明棣莫弗公式。
- 由它和二项式定理得到多倍角公式，把余弦的幂线性化，并用等比求和求正弦之和与余弦之和。
- 证明每个非零复数恰有 $n$ 个 $n$ 次方根，它们是一个正多边形的顶点。
- 研究单位根：它们的幂、它们的和、 $z^n - 1$ 的因式分解以及本原单位根。
1. 棣莫弗公式. 对任意实数 $\theta$ 和任意整数 $n$ ，有 $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ；因此，若 $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ，则幂 $z^n$ 的模为 $r^n$ 、辐角为 $n\theta$ 。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 3. 共轭复数与倒数. 依据: A (极坐标形式下的相等), D (归纳原理), B (三角公式). 证明于: 棣莫弗公式与复数的乘方.
2. 多倍角. $n\theta$ 的余弦是项 $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ （下标 $k$ 为偶数）的交错和， $n\theta$ 的正弦是下标为奇数的那些项的交错和。
  使用: 6. 棣莫弗公式. 依据: E (二项式定理与等比求和). 证明于: 棣莫弗公式与复数的乘方.
3. 线性化. 若 $z = \cos \theta + i \sin \theta$ ，则 $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ 且 $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ；由此可得，例如， $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ 和 $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ 。
  使用: 6. 棣莫弗公式. 依据: E (二项式定理与等比求和), B (三角公式). 证明于: 棣莫弗公式与复数的乘方.
4. 正弦之和与余弦之和. 若 $\theta$ 不是 $2\pi$ 的整数倍，则复数 $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ （ $k$ 从 $0$ 到 $n - 1$ ）之和等于实数 $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ 乘以模为 $1$ 、辐角为 $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ 的复数，由此得到余弦之和与正弦之和。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 6. 棣莫弗公式. 依据: A (极坐标形式下的相等), E (二项式定理与等比求和), B (三角公式). 证明于: 棣莫弗公式与复数的乘方.
5. n 次方根. 若 $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ ，则方程 $z^n = w$ 恰有 $n$ 个解，它们的模为 $\sqrt[n]{R}$ ，辐角为 $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ （其中 $0 \leq k \leq n - 1$ ）；当 $n \geq 3$ 时，它们是内接于半径为 $\sqrt[n]{R}$ 的圆的正多边形的顶点。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 6. 棣莫弗公式. 依据: A (极坐标形式下的相等), F (带余除法与裴蜀等式), B (三角公式), D (归纳原理). 证明于: 复数的 n 次方根与单位根.
6. 作为幂的单位根. $n$ 次单位根是幂 $\omega_k = \omega^k$ ，这里 $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ；它们相乘时下标按模 $n$ 相加，每个单位根的倒数就是它的共轭复数，乘以其中一个单位根会把它们置换。
  使用: 3. 共轭复数与倒数, 6. 棣莫弗公式, 10. n 次方根. 依据: F (带余除法与裴蜀等式). 证明于: 复数的 n 次方根与单位根.
7. 单位根的幂之和. 若 $n \geq 2$ ，则 $m$ 次幂之和（对全部 $n$ 个 $n$ 次单位根求和）等于 $n$ （当 $n$ 整除 $m$ 时），否则等于 $0$ ；特别地，单位根之和为零。
  使用: 11. 作为幂的单位根. 依据: A (极坐标形式下的相等), E (二项式定理与等比求和). 证明于: 复数的 n 次方根与单位根.
8. z 的 n 次方减 1 的因式分解. 对任意自然数 $n$ ，多项式 $z^n - 1$ 是 $n$ 个因式 $z - \omega_k$ （其中 $0 \leq k \leq n - 1$ ）的乘积。
  使用: 10. n 次方根. 依据: H (因式定理与代数基本定理). 证明于: 复数的 n 次方根与单位根.
9. 本原单位根. 根 $\omega_k$ （其中 $1 \leq k \leq n$ ）是本原的，即它的幂给出全部 $n$ 次单位根，当且仅当 $\operatorname{gcd}(k, n) = 1$ 。
  使用: 11. 作为幂的单位根, 12. 单位根的幂之和. 依据: F (带余除法与裴蜀等式). 证明于: 复数的 n 次方根与单位根.
10. x 的 n 次方减 1 在实数范围内的因式分解. 每一对共轭的非实根 $\omega_k$ 和 $\omega_{n - k}$ 给出不可约因式 $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ ，因此 $x^n - 1$ 是 $x - 1$ 、 $x + 1$ （当 $n$ 为偶数时）以及这些二次因式的乘积。
  使用: 3. 共轭复数与倒数, 11. 作为幂的单位根, 13. z 的 n 次方减 1 的因式分解. 依据: A (极坐标形式下的相等), B (三角公式). 证明于: 复数的 n 次方根与单位根.
第 3 段复指数函数与几何
- 用欧拉公式定义 $e^{i\theta}$ ，并定义 $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ ，从前面的规则中认出指数运算律。
- 证明指数函数把和变为积，并且是以 $2\pi i$ 为周期的周期函数。
- 用指数函数表示余弦和正弦，把它们与双曲函数联系起来，并求出复数的对数。
- 用复数写出平面的旋转和反射，从一个商读出共线与垂直，定义三角形的定向并证明其不变性，并刻画等边三角形。
1. 虚指数. 复数 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 的模为 $1$ ，并且有 $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ 、 $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ 和 $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ ，最后这个就是它的共轭复数；此外， $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ 当且仅当差 $\alpha - \beta$ 是 $2\pi$ 的整数倍。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 3. 共轭复数与倒数, 6. 棣莫弗公式. 依据: A (极坐标形式下的相等), B (三角公式). 证明于: 复指数函数与欧拉公式.
2. 和的指数. 若 $z = a + bi$ 且 $e^z = e^a e^{ib}$ ，则 $e^z$ 的模为 $e^a$ ， $b$ 是它的一个辐角，并且 $e^z$ 从不为零；对所有复数 $z$ 和 $w$ ，有 $e^{z + w} = e^z e^w$ 。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 16. 虚指数. 依据: A (极坐标形式下的相等), G (实指数函数). 证明于: 复指数函数与欧拉公式.
3. 指数函数的周期性. $e^z = 1$ 成立，当且仅当 $z = 2k\pi i$ ，这里 $k$ 是某个整数；因此， $e^z = e^w$ 当且仅当差 $z - w$ 是 $2\pi i$ 的整数倍。
  使用: 17. 和的指数. 依据: A (极坐标形式下的相等), G (实指数函数). 证明于: 复指数函数与欧拉公式.
4. 欧拉的余弦正弦公式. 有 $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ 和 $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ；用它们定义复数的余弦和正弦，它们保持加法公式、二倍角公式和降幂公式，但不保持带双重符号的半角公式，并且得到 $\cos(ix) = \cosh x$ 和 $\sin(ix) = i \sinh x$ 。
  使用: 16. 虚指数, 17. 和的指数. 依据: B (三角公式), G (实指数函数). 证明于: 复指数函数与欧拉公式.
5. 复数的对数. 若 $z \neq 0$ ，则 $e^w = z$ 的解是 $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{arg} z + 2k\pi \right)$ ，其中 $k$ 为整数；用它们定义的 $z^{\frac{1}{n}}$ 的值，恰好是 $n$ 个 $n$ 次方根（ $z$ 的）。
  使用: 10. n 次方根, 11. 作为幂的单位根, 17. 和的指数, 18. 指数函数的周期性. 依据: A (极坐标形式下的相等), G (实指数函数). 证明于: 复指数函数与欧拉公式.
6. 绕一点的旋转. 变换 $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ 使 $c$ 保持不动，保持距离，并且旋转角 $\varphi$ ，即把连接每一点与 $c$ 的线段转过这个角：它是以 $c$ 为中心、以 $\varphi$ 为角的旋转。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 16. 虚指数. 证明于: 借助复数的几何.
7. 反射及其复合. 关于过原点、倾斜角为 $\alpha$ 的直线的反射是保距变换 $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ ，而倾斜角为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的两个反射的复合是以原点为中心、以 $2(\beta - \alpha)$ 为角的旋转。
  使用: 3. 共轭复数与倒数, 16. 虚指数, 21. 绕一点的旋转. 证明于: 借助复数的几何.
8. 共线与定向. 若 $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ ，则从由 $z_1$ 到 $z_2$ 的线段到由 $z_1$ 到 $z_3$ 的线段的有向角是 $q$ 的一个辐角；这些点共线当且仅当 $q$ 是实数，两条线段垂直当且仅当 $q$ 是纯虚数。若这些点不共线，则三角形 $z_1 z_2 z_3$ 在 $\operatorname{Im} q > 0$ 时是正向的；定向与起始顶点无关，交换两个顶点或施行一次反射时定向反向，旋转保持定向。
  使用: 2. 极坐标形式下的乘积与商, 16. 虚指数, 21. 绕一点的旋转, 22. 反射及其复合. 证明于: 借助复数的几何.
9. 等边三角形. 若 $z_1 \neq z_2$ ，则点 $z_1$ 、 $z_2$ 和 $z_3$ 依次是一个正向等边三角形的顶点，当且仅当 $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ ，其中 $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ；证明把条件化为 $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ 且 $\operatorname{Im} q > 0$ ，即化为 $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ 。
  使用: 16. 虚指数, 12. 单位根的幂之和, 23. 共线与定向. 证明于: 借助复数的几何.
第 4 段多项式方程
- 由代数基本定理推出：每个 $n$ 次复系数多项式都是 $n$ 个一次因式的乘积。
- 证明根与系数之间的韦达定理。
- 用卡尔达诺公式解三次方程，用判别式对其实根分类，并用三倍角解决不可约情形。
- 用费拉里方法把四次方程化为三次方程。
1. 复数范围内的因式分解. 每个次数（满足 $n \geq 1$ ）、首项系数为 $a_n$ 的复系数多项式都等于 $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ ，并且计重数恰有 $n$ 个根。
  依据: D (归纳原理), H (因式定理与代数基本定理). 证明于: 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式.
2. 韦达定理. 根的初等对称多项式满足 $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ ；特别地，根之和为 $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ ，根之积为 $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ 。
  使用: 25. 复数范围内的因式分解. 依据: D (归纳原理). 证明于: 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式.
3. 卡尔达诺公式. 代换 $x = t - \frac{b}{3a}$ 把三次方程化为 $t^3 + pt + q = 0$ ；若 $u$ 是一个立方根，其被开方数 $U$ 是预解式 $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ 的一个根，并且 $v = -\frac{p}{3u}$ ，则方程的根是 $u + v$ 、 $\omega u + \omega^2 v$ 和 $\omega^2 u + \omega v$ 。
  使用: 10. n 次方根, 11. 作为幂的单位根, 12. 单位根的幂之和, 26. 韦达定理. 依据: E (二项式定理与等比求和). 证明于: 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式.
4. 三次方程的判别式. 若 $p$ 和 $q$ 为实数且 $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ ，则三次方程 $t^3 + pt + q = 0$ 在 $\Delta < 0$ 时有一个实根和两个共轭的非实根，在 $\Delta = 0$ 时有实根且其中有重根，在 $\Delta > 0$ 时有三个不同的实根。
  使用: 3. 共轭复数与倒数, 11. 作为幂的单位根, 27. 卡尔达诺公式. 证明于: 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式.
5. 三角解法. 若 $\Delta > 0$ ，取 $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ 和 $c = \frac{3q}{pm}$ （属于 $\ioo{-1}{1}$ ），则三个实根是 $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ ，其中 $k = 0, 1, 2$ 。
  使用: 25. 复数范围内的因式分解, 28. 三次方程的判别式. 依据: B (三角公式). 证明于: 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式.
6. 费拉里方法. 代换 $x = y - \frac{b}{4a}$ 把四次方程化为 $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ ；若 $q \neq 0$ ，且 $m$ 是其三次预解式的根，并取 $s^2 = 2m$ ，则这个四次多项式是两个二次因式的乘积，它们的根就是四次方程的根。
  使用: 10. n 次方根, 25. 复数范围内的因式分解, 27. 卡尔达诺公式. 依据: E (二项式定理与等比求和). 证明于: 复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式.

通向矩阵与代数结构. 链在复数成为结构的地方结束：乘以 $e^{i\varphi}$ 将成为旋转矩阵，模的平方将成为行列式，而单位根（它们相乘的方式就像除以 $n$ 的余数相加的方式）将成为循环群的第一个例子。

复数的极坐标形式：总结与挑战

摘要

学习目标

本单元的收获

您关于本课的疑问

关于本课的问题