矩阵及其运算

矩阵

在课程 代数与几何 I 中关于一次方程、一次不等式与线性方程组的课里，高斯消元法是在一张汇集各方程系数的表上进行的：未知数不参与计算，全部工作都是对表中的数进行的。这一观察由来已久；约两千年前编成的中国典籍《九章算术》已经通过把系数排成列来解方程组。矩阵（matrix）一词由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特于 1850 年引入，阿瑟·凯莱于 1858 年发表了第一个矩阵运算理论，也就是本课所研究的理论。

设 $m$ 与 $n$ 为自然数。矩阵（型为 $m \times n$）是由 $mn$ 个数排成 $m$ 行 $n$ 列的表。位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数称为矩阵的元素 $(i, j)$；若矩阵用大写字母表示，如 $A$，则其元素用对应的小写字母加两个下标表示，即 $a_{ij}$，其中第一个下标总是表示行。也记作 $A = (a_{ij})$。例如，$2 \times 3$ 矩阵具有如下形式：

除非另有说明，元素都是实数；以下所有内容对复数矩阵同样成立，因为证明只用到数的加法和乘法的性质，而这些性质是 $\mathbb{C}$ 与 $\mathbb{R}$ 共有的。两个矩阵相等，是指它们型相同，并且相同位置上的元素相同：两个 $m \times n$ 矩阵相等等价于 $mn$ 个数的等式。

矩阵的类型

有些形式出现得如此频繁，以至于有了专门的名称。

• 行矩阵是 $1 \times n$ 矩阵，列矩阵是 $m \times 1$ 矩阵。课程 I 中关于平面向量的课里的平面向量，可以写成 $2 \times 1$ 列矩阵。
• 给定型的零矩阵的所有元素都等于 $0$；它也记作 $0$，其型由上下文确定。
• 若一个矩阵的行数与列数相等，就称它为方阵；$n \times n$ 矩阵也称为 $n$ 阶方阵。它的元素 $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ 构成主对角线。
• 若方阵主对角线以外的元素全为零，就称它为对角矩阵。单位矩阵（阶为 $n$，记作 $I_n$，阶数明确时记作 $I$）是对角元素都等于 $1$ 的对角矩阵。
• 若方阵位于主对角线下方的元素全为零，即 $a_{ij} = 0$ 对一切满足 $i > j$ 的下标成立，就称它为上三角矩阵；若位于主对角线上方的元素全为零，就称它为下三角矩阵。
• 若方阵对所有下标都有 $a_{ij} = a_{ji}$，就称它为对称矩阵：主对角线是这张表的对称轴。

例如，下面四个矩阵中，第一个是 $3$ 阶单位矩阵，第二个是对角矩阵，第三个是上三角矩阵，第四个是对称矩阵。