Матрицы и алгебраические структуры: введение

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

1. Вопрос 1Пусть $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Чему равно произведение $AB$?

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. Вопрос 2Рассмотрим систему уравнений $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$ и $2x + 3y + 4z = k$. При каких значениях $k$ она совместна и сколько тогда у неё решений?

   Только при $k = 3$, и тогда у неё бесконечно много решений, зависящих от одного параметра.

   При любом $k$, с единственным решением.

   Только при $k = 3$, и тогда у неё единственное решение.

   Ни при каком $k$.

3. Вопрос 3Вычислите определитель матрицы со строками $\left( 2, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 3, -1 \right)$ и $\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. Вопрос 4Пусть $A$ есть матрица порядка $3$, у которой $\det A = 2$. Чему равен $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$?

5. Вопрос 5Какова обратная матрица к матрице $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$?

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. Вопрос 6Пусть $A$, $B$ и $C$ суть квадратные матрицы одного порядка, причём $A$ и $B$ обратимы. Каково решение уравнения $AXB = C$?

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. Вопрос 7Какова матрица преобразования плоскости, которое поворачивает каждый вектор на четверть оборота против часовой стрелки вокруг начала координат, а затем отражает его относительно оси абсцисс?

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Вопрос 8Пусть $M(z)$ есть матрица умножения на комплексное число $z$. Вычислите $\det M(3 - 4i)$.

9. Вопрос 9Какое из этих множеств с указанной операцией является группой?

   Ненулевые остатки из $\mathbb{Z}_7$ с умножением.

   Целые числа с умножением.

   Натуральные числа со сложением.

   Ненулевые остатки из $\mathbb{Z}_6$ с умножением.

10. Вопрос 10В центре города живут $600$ тысяч человек, а на его окраинах $400$ тысяч. Каждый год $10$ процентов жителей центра переезжают на окраины, а $20$ процентов жителей окраин переезжают в центр; больше никто не приезжает и не уезжает. Если эти доли сохраняются, сколько тысяч жителей будет в центре через два года?

11. Вопрос 11Из предыдущих разделовРешите по правилу Крамера систему $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$ и укажите значение $x$.

12. Вопрос 12Из предыдущих разделовНайдите обратный к $4$ по модулю $9$, то есть остаток $x$ от $0$ до $8$, такой что $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. Вопрос 13Из предыдущих разделовКакова тригонометрическая форма числа $1 + i\sqrt{3}$?

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$