Balanço final de Lógica Matemática I

O que o curso se propôs

Todos os cursos de matemática exigem demonstrar, e todos os de filosofia exigem argumentar; ora, nenhum deles faz do próprio raciocínio o seu objeto. O curso nasceu, portanto, com um propósito geral: construir a primeira teoria matemática completa cujo objeto é o raciocínio, com as suas quatro peças à vista: uma linguagem, cujas fórmulas se reconhecem sem ambiguidade; um cálculo, que produz deduções sem atender ao significado dos símbolos; um significado, que atribui a cada fórmula o seu valor sob cada valoração; e a demonstração de que o cálculo e o significado coincidem, isto é, de que $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$ para todo conjunto de fórmulas $\Gamma$ e toda fórmula $\varphi$. A aula sobre o plano de estudos desdobrou esse propósito em sete objetivos de aprendizagem globais, que convém ter à vista com a numeração com que a figura os cita:

1. Distinguir a linguagem-objeto da metalinguagem, e decidir com as regras de formação se uma cadeia é uma fórmula.
2. Formalizar enunciados e argumentos da linguagem natural, indicando o que a formalização conserva e o que perde.
3. Construir deduções no sistema do curso (os axiomas de Łukasiewicz, o modus ponens e a substituição da dupla negação), combinando axiomas, regras primitivas e regras derivadas.
4. Demonstrar metateoremas por indução sobre os números naturais, sobre a complexidade das fórmulas e sobre o comprimento das deduções.
5. Decidir validade, satisfatibilidade, consequência e equivalência semânticas, com tabelas-verdade e com equivalências.
6. Transformar fórmulas em formas normais e exprimir com elas funções de verdade e circuitos.
7. Explicar e aplicar a correção, a completude e a compacidade, e decidir a insatisfatibilidade por resolução.

Cada aula do curso declarou, além disso, os seus próprios objetivos específicos. As aulas não dizem a que objetivo global serve cada um; essa correspondência é uma leitura feita de fora, com o mesmo método que nos demais cursos do site. Cada objetivo específico é atribuído a um objetivo global principal e, se os toca, a outros secundários; cada um conta inteiro no seu principal e pela metade em cada secundário, e a aula liga-se como principal ao objetivo global que reúne mais peso e como secundários aos demais que recebem algum. Se dois objetivos empatam, decide o da unidade e, se nenhum o é, o de menor número; assim, a aula sobre a indução, cujos quatro objetivos específicos são demonstrações por indução, liga-se ao objetivo 4, embora pertença à unidade da linguagem. As introduções seguem a mesma regra. As sínteses, em contrapartida, seguem um critério próprio: o seu principal é o objetivo da sua unidade, porque a sua cadeia dedutiva, a sua avaliação de saída e a maioria dos seus desafios reúnem o que a unidade ensinou, e os seus secundários são os demais objetivos que os seus objetivos específicos e os seus seis desafios exercitam. Se isto é assim, o curso inteiro admite a forma de uma espinha: a cabeça é o propósito geral; a coluna, a ordem das unidades, cada uma com o seu trecho; cada aula é um nó desse trecho, ligado ao seu objetivo principal, e os sete objetivos flutuam em volta da coluna, sustentados pelas aulas que os alimentam.