الحصيلة النهائية لدورة المنطق الرياضي 1

ما الذي وضعته الدورة غايةً لها

تتطلّب جميع دورات الرياضيات البرهنة، وتتطلّب جميع دورات الفلسفة الحِجاج؛ غير أن أيًّا منها لا يجعل الاستدلال نفسه موضوعًا له. لذلك وُلدت الدورة بغاية عامة: بناء أول نظرية رياضية تامة موضوعها الاستدلال، بقطعها الأربع ظاهرةً للعيان: لغة تُعرَف صيغها دون التباس؛ وحساب ينتج الاستنتاجات دون التفات إلى معنى الرموز؛ ومعنى يُسند إلى كل صيغة قيمتها تحت كل إسناد؛ والبرهان على أن الحساب والمعنى يتطابقان، أي على أن $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$ لكل مجموعة من الصيغ $\Gamma$ ولكل صيغة $\varphi$. وقد بسط الدرس الخاص بـالخطة الدراسية هذه الغاية في سبعة أهداف تعلّم عامة، يحسن أن تبقى أمام أعيننا بالترقيم الذي يذكرها به الرسم:

1. أن يميّز اللغة الموضوع من اللغة الواصفة، ويقرّر بقواعد التكوين هل السلسلة صيغة.
2. أن يصورن جملًا خبرية وحججًا من اللغة الطبيعية، مبيّنًا ما تحفظه الصورنة وما تفقده.
3. أن يبني استنتاجات في نظام الدورة (مسلّمات لوكاشيفيتش وقاعدة الوضع وإبدال النفي المزدوج)، جامعًا بين المسلّمات والقواعد الأولية والقواعد المشتقة.
4. أن يبرهن على مبرهنات ماورائية بالاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى تعقيد الصيغ وعلى طول الاستنتاجات.
5. أن يقرّر الصحة المنطقية وقابلية التحقق والنتيجة الدلالية والتكافؤ الدلالي، بجداول الصدق وبالتكافؤات.
6. أن يحوّل الصيغ إلى أشكال ناظمية ويعبّر بها عن دوال الصدق والدارات.
7. أن يشرح السلامة والتمام والتراص ويطبّقها، ويقرّر عدم قابلية التحقق بالحلّ.

وقد أعلن كل درس من دروس الدورة، فضلًا عن ذلك، أهدافه الخاصة. ولا تقول الدروس أي هدف عام يخدمه كل منها؛ فتلك المطابقة قراءة من الخارج، بالمنهج نفسه المتّبع في دورات الموقع الأخرى. يُسند كل هدف خاص إلى هدف عام رئيسي، وإن مسّ غيره فإلى أهداف أخرى ثانوية؛ ويُحتسب كل هدف كاملًا في رئيسيه ونصفًا في كل ثانوي، ويُربط الدرس رئيسيًا بالهدف العام الذي يجمع أكبر وزن، وثانويًا بالأهداف الأخرى التي تنال شيئًا منه. وإذا تساوى هدفان، رجح هدف الوحدة، فإن لم يكن أيٌّ منهما هدفها، رجح الأصغر رقمًا؛ وهكذا يُربط درس الاستقراء، الذي أهدافه الخاصة الأربعة كلها براهين بالاستقراء، بالهدف 4 مع أنه ينتمي إلى وحدة اللغة. وتتبع المقدمات القاعدة نفسها. أما الخلاصات فتتبع معيارًا خاصًا: هدفها الرئيسي هو هدف وحدتها، لأن سلسلتها الاستنتاجية وتقييم الخروج فيها وأغلب تحدياتها تجمع ما علّمته الوحدة، وأهدافها الثانوية هي الأهداف الأخرى التي تمرّنها أهدافها الخاصة وتحدياتها الستة. وإذا كان الأمر كذلك، فإن الدورة كلها تتّخذ هيئة عمود فقري: الرأس هو الغاية العامة؛ والعمود هو ترتيب الوحدات، لكل منها مقطعها؛ وكل درس عقدة في ذلك المقطع، موصولة بهدفها الرئيسي، والأهداف السبعة تطفو حول العمود، تسندها الدروس التي تغذّيها.