수리논리학 I: 최종 결산

강좌가 목표로 삼은 것

수학의 모든 강좌는 증명을 요구하고, 철학의 모든 강좌는 논증을 요구한다. 그러나 그 어느 것도 추론 자체를 대상으로 삼지는 않는다. 그래서 이 강좌는 하나의 전체 목적을 가지고 생겨났다. 추론을 대상으로 하는 최초의 완전한 수학적 이론을, 네 부분이 모두 드러나도록 세우는 것이다. 네 부분이란 논리식을 모호함 없이 알아볼 수 있는 언어, 기호의 의미를 고려하지 않고 연역을 만들어 내는 계산, 각 진리값 할당 아래에서 각 논리식에 그 값을 부여하는 의미, 그리고 계산과 의미가 일치한다는 증명이다. 다시 말해 $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$, 곧 이 관계가 모든 논리식 집합 $\Gamma$와 모든 논리식 $\varphi$에 대해 성립한다는 증명이다. 학습 계획 수업은 이 목적을 일곱 가지 전체 학습 목표로 펼쳐 놓았다. 그림이 인용할 때 쓰는 번호와 함께 그것들을 눈앞에 두는 것이 좋다.

1. 대상 언어와 메타언어를 구별하고, 형성 규칙으로 기호열이 논리식인지 판정한다.
2. 자연어의 진술과 논증을 형식화하면서, 형식화가 무엇을 보존하고 무엇을 잃는지 지적한다.
3. 이 강좌의 체계(우카시에비치의 공리, 전건 긍정식, 이중 부정 대체)에서 공리, 기본 규칙, 파생 규칙을 조합하여 연역을 구성한다.
4. 자연수에 관한 귀납법, 논리식의 복잡도에 관한 귀납법, 연역의 길이에 관한 귀납법으로 메타정리를 증명한다.
5. 진리표와 동치를 써서 타당성, 충족 가능성, 의미론적 귀결, 의미론적 동치를 판정한다.
6. 논리식을 표준형으로 변환하고, 표준형으로 진리 함수와 회로를 표현한다.
7. 건전성, 완전성, 콤팩트성을 설명하고 적용하며, 분해로 충족 불가능성을 판정한다.

또한 강좌의 각 수업은 저마다 고유한 세부 목표를 밝혔다. 수업들은 각 세부 목표가 어느 전체 목표에 이바지하는지 말하지 않는다. 그 대응은 바깥에서 하는 읽기이며, 사이트의 다른 강좌와 같은 방법을 따른다. 각 세부 목표는 하나의 주 전체 목표에 배정되고, 다른 목표에도 닿는다면 부차 목표에도 배정된다. 각 세부 목표는 주 목표에서는 온전히 하나로, 부차 목표에서는 각각 절반으로 센다. 그리고 수업은 가장 큰 무게를 모은 전체 목표에 주 목표로 이어지고, 무게를 조금이라도 받은 다른 목표들에 부차 목표로 이어진다. 두 목표의 무게가 같으면 그 단원의 목표가 정하고, 어느 쪽도 단원의 목표가 아니면 번호가 작은 목표가 정한다. 그래서 귀납법 수업은 네 세부 목표가 모두 귀납법에 의한 증명이므로, 언어 단원에 속하지만 목표 4에 이어진다. 도입 수업도 같은 규칙을 따른다. 반면 종합 수업은 고유한 기준을 따른다. 종합의 주 목표는 그 단원의 목표이다. 종합의 연역 사슬, 마무리 평가, 그리고 도전 과제 대부분이 그 단원이 가르친 것을 모으기 때문이다. 부차 목표는 종합의 세부 목표와 여섯 도전 과제가 연습시키는 다른 목표들이다. 그렇다면 강좌 전체는 하나의 척추 모양을 띤다. 머리는 전체 목적이고, 기둥은 단원의 순서로서 단원마다 제 구간을 가진다. 각 수업은 그 구간의 마디로서 주 목표에 이어져 있고, 일곱 목표는 기둥 둘레에 떠서 그것을 길러 주는 수업들에 의해 받쳐진다.