Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Итоговый обзор курса «Математическая логика I»

Краткое содержание

Эта страница не очередной урок, а итоговый отчёт по курсу: он напоминает семь учебных целей, которые учебный план поставил в начале, показывает на одном рисунке, к какой из них отнесён каждый урок каждого раздела, объясняет, как каждая цель прорабатывалась на протяжении четырёх содержательных разделов, отличает цели, у которых есть собственный раздел, от тех, что проходят через весь курс, учит читать самопроверку по целям, которая сводит первую попытку итоговых проверок, и указывает, что курс оставляет курсам, которые его продолжают или сопровождают.

Цели обучения

  1. Формулировать семь общих целей курса и узнавать, в каких разделах и уроках прорабатывалась каждая из них.
  2. Отличать цели, у которых есть собственный раздел, от тех, что проходят через несколько, в частности различение языка-объекта и метаязыка и рассуждение по индукции, и объяснять, как упражняются последние.
  3. Объяснять, как язык, вывод и семантика сходятся в совпадении выводимости и семантического следования, и что курс оставляет логике предикатов.
  4. Решать по самопроверке по целям, по рисунку и по задачам повышенной трудности каждого урока итогов, какие разделы и какие уроки стоит повторить.

Что курс ставил своей целью

Все курсы математики требуют доказывать, и все курсы философии требуют аргументировать; однако ни один из них не делает своим предметом само рассуждение. Поэтому курс возник с общей целью: построить первую полную математическую теорию, предметом которой является рассуждение, с четырьмя её частями на виду: язык, формулы которого распознаются без двусмысленности; исчисление, которое строит выводы, не обращаясь к значению символов; значение, которое приписывает каждой формуле её значение при каждой оценке; и доказательство того, что исчисление и значение совпадают, то есть что Γ⊢φ⇔Γ⊨φ\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi для всякого множества формул Γ\Gamma и всякой формулы φ\varphi. Урок об учебном плане развернул эту цель в семь общих учебных целей, которые полезно держать перед глазами с той нумерацией, под которой их указывает рисунок:

  1. Отличать язык-объект от метаязыка и решать с помощью правил образования, является ли цепочка формулой.
  2. Формализовать высказывания и рассуждения естественного языка, указывая, что формализация сохраняет и что теряет.
  3. Строить выводы в системе курса (аксиомы Лукасевича, modus ponens и замена двойного отрицания), сочетая аксиомы, исходные правила и производные правила.
  4. Доказывать метатеоремы индукцией по натуральным числам, по сложности формул и по длине выводов.
  5. Решать вопросы общезначимости, выполнимости, семантического следования и семантической эквивалентности с помощью таблиц истинности и эквивалентностей.
  6. Приводить формулы к нормальным формам и выражать с их помощью функции истинности и схемы.
  7. Объяснять и применять корректность, полноту и компактность, и устанавливать невыполнимость методом резолюций.

Каждый урок курса, кроме того, заявил собственные частные цели. Уроки не говорят, какой общей цели служит каждая из них; это соответствие есть прочтение извне, по тому же методу, что и в других курсах сайта. Каждая частная цель относится к одной главной общей цели и, если она их затрагивает, к другим, второстепенным; каждая засчитывается целиком в своей главной и наполовину в каждой второстепенной, и урок связывается как с главной с той общей целью, которая набирает наибольший вес, и как со второстепенными с остальными, получившими какой-либо вес. Если две цели набирают поровну, решает цель раздела, а если ни одна из них ею не является, цель с меньшим номером; так, урок об индукции, все четыре частные цели которого суть доказательства по индукции, связывается с целью 4, хотя принадлежит разделу о языке. Вводные уроки следуют тому же правилу. Уроки итогов, напротив, следуют собственному критерию: их главная цель есть цель их раздела, потому что их дедуктивная цепь, их итоговая проверка и большая часть их задач повышенной трудности сводят то, чему научил раздел, а второстепенные цели суть остальные, которые упражняют их частные цели и их шесть задач повышенной трудности. Если это так, весь курс принимает форму хребта: голова есть общая цель; позвоночник есть порядок разделов, каждый со своим участком; каждый урок есть узел этого участка, связанный со своей главной целью, а семь целей парят вокруг позвоночника, поддерживаемые уроками, которые их питают.