数理論理学 I：最終総括

要約

この項目はもう一つの課ではなく、コースの最終的な総括である。学習計画が最初に掲げた七つの学習目標を振り返り、各単元の各課がどの目標に割り当てられたかを一枚の図で示し、四つの内容単元を通じて各目標がどのように扱われたかを説明し、固有の単元をもつ目標とコース全体を貫く目標とを区別し、まとめテストの初回の回答を集計する目標別の自己評価の読み方を教え、このコースを引き継ぐコースや並行するコースに何を委ねるかを示す。

学習目標

コースの七つの全体目標を述べ、それぞれがどの単元とどの課で扱われたかを見分ける。
固有の単元をもつ目標と、複数の単元を貫く目標、とりわけ対象言語とメタ言語の区別と帰納法による推論とを区別し、後者がどのように鍛えられるかを説明する。
言語、演繹、意味論が、導出可能性と意味論的帰結の一致にどのように収束するか、そしてコースが述語論理に何を委ねるかを説明する。
目標別の自己評価、図、各まとめの挑戦課題をもとに、どの単元とどの課を復習すべきかを判断する。

コースが目指したこと

数学のすべてのコースは証明を求め、哲学のすべてのコースは論証を求める。しかし、そのどれも推論そのものを対象とはしない。そこでこのコースは一つの全体的な目的をもって生まれた。推論を対象とする最初の完全な数学的理論を、その四つの部分が見える形で構築することである。四つの部分とは、論理式が曖昧さなく認識される言語、記号の意味を顧みずに演繹を生み出す計算、各付値のもとで各論理式にその値を割り当てる意味、そして計算と意味が一致することの証明、すなわち $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$ がすべての論理式の集合 $\Gamma$ とすべての論理式 $\varphi$ について成り立つことの証明である。学習計画の課は、この目的を七つの全体的な学習目標に展開した。図で引用されるときの番号とともに、それを手元に置いておくとよい。

対象言語とメタ言語を区別し、形成規則によって記号列が論理式であるかどうかを判定する。
自然言語の言明と論証を形式化し、形式化が何を保ち何を失うかを指摘する。
コースの体系（ウカシェヴィチの公理、モーダス・ポネンス、二重否定の置換）で演繹を構成し、公理、原始規則、派生規則を組み合わせる。
自然数に関する帰納法、論理式の複雑さに関する帰納法、演繹の長さに関する帰納法によってメタ定理を証明する。
妥当性、充足可能性、意味論的帰結、意味論的同値を、真理値表と同値変形によって判定する。
論理式を標準形に変換し、それを用いて真理関数と回路を表現する。
健全性、完全性、コンパクト性を説明して適用し、融合法によって充足不能性を判定する。

さらに、コースの各課はそれぞれ固有の個別目標を掲げた。各課は、それぞれの目標がどの全体目標に役立つかを述べていない。その対応は外から行う読み取りであり、サイトのほかのコースと同じ方法による。各個別目標は一つの主たる全体目標に割り当てられ、ほかの目標にも関わる場合は、副次的な目標にも割り当てられる。各個別目標は主たる目標では一つとして、副次的な目標ではそれぞれ半分として数えられる。そして課は、最も多くの重みを集める全体目標に主たる目標として結びつけられ、何らかの重みを受けるほかの目標に副次的な目標として結びつけられる。二つの目標の重みが等しいときは、その単元の目標が優先し、どちらも単元の目標でなければ、番号の小さいほうが優先する。こうして、帰納法の課は、四つの個別目標がすべて帰納法による証明であるため、言語の単元に属しながら目標 4 に結びつけられる。導入の課も同じ規則に従う。一方、まとめの課は独自の基準に従う。まとめの主たる目標はその単元の目標である。まとめの演繹の鎖、まとめテスト、そして挑戦課題の大半が、その単元で教えたことを集約しているからである。副次的な目標は、まとめの個別目標と六つの挑戦課題が鍛えるほかの目標である。そうだとすれば、コース全体は一本の背骨の形をとる。頭は全体的な目的であり、背骨の柱は単元の順序で、各単元がそれぞれの区間をもつ。各課はその区間の節点であり、主たる目標に結ばれている。そして七つの目標は柱のまわりに浮かび、それを養う課によって支えられている。