Bilancio finale di Logica Matematica I

Che cosa si è proposto il corso

Tutti i corsi di matematica esigono di dimostrare, e tutti quelli di filosofia esigono di argomentare; ora, nessuno di essi fa del ragionamento stesso il proprio oggetto. Il corso è nato, pertanto, con uno scopo generale: costruire la prima teoria matematica completa il cui oggetto è il ragionamento, con i suoi quattro pezzi in vista: un linguaggio, le cui formule si riconoscono senza ambiguità; un calcolo, che produce deduzioni senza badare al significato dei simboli; un significato, che assegna a ogni formula il suo valore sotto ogni assegnazione; e la dimostrazione che il calcolo e il significato coincidono, cioè che $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$ per ogni insieme di formule $\Gamma$ e ogni formula $\varphi$. La lezione sul piano di studi ha articolato quello scopo in sette obiettivi di apprendimento globali, che conviene tenere in vista con la numerazione con cui la figura li cita:

1. Distinguere il linguaggio oggetto dal metalinguaggio, e decidere con le regole di formazione se una stringa è una formula.
2. Formalizzare enunciati e argomenti del linguaggio naturale, indicando ciò che la formalizzazione conserva e ciò che perde.
3. Costruire deduzioni nel sistema del corso (gli assiomi di Łukasiewicz, il modus ponens e la sostituzione della doppia negazione), combinando assiomi, regole primitive e regole derivate.
4. Dimostrare metateoremi per induzione sui numeri naturali, sulla complessità delle formule e sulla lunghezza delle deduzioni.
5. Decidere validità, soddisfacibilità, conseguenza ed equivalenza semantiche, con tavole di verità e con equivalenze.
6. Trasformare formule in forme normali ed esprimere con esse funzioni di verità e circuiti.
7. Spiegare e applicare la correttezza, la completezza e la compattezza, e decidere l’insoddisfacibilità per risoluzione.

Ogni lezione del corso ha dichiarato, inoltre, i propri obiettivi specifici. Le lezioni non dicono a quale obiettivo globale serve ciascuno; questa corrispondenza è una lettura fatta dall’esterno, con lo stesso metodo degli altri corsi del sito. Ogni obiettivo specifico si assegna a un obiettivo globale principale e, se li tocca, ad altri secondari; ciascuno conta per intero nel suo principale e per metà in ogni secondario, e la lezione si unisce come principale all’obiettivo globale che raccoglie più peso e come secondaria agli altri che ne ricevono. Se due obiettivi sono in parità, decide quello dell’unità e, se nessuno dei due lo è, quello di numero minore; così la lezione sull’induzione, i cui quattro obiettivi specifici sono dimostrazioni per induzione, si unisce all’obiettivo 4, benché appartenga all’unità del linguaggio. Le introduzioni seguono la stessa regola. Le sintesi, invece, seguono un criterio proprio: il loro principale è l’obiettivo della loro unità, perché la loro catena deduttiva, la loro valutazione d’uscita e la maggior parte delle loro sfide riuniscono ciò che l’unità ha insegnato, e i loro secondari sono gli altri obiettivi che i loro obiettivi specifici e le loro sei sfide esercitano. Se è così, l’intero corso ammette la forma di una spina: la testa è lo scopo generale; la colonna, l’ordine delle unità, ciascuna con il suo tratto; ogni lezione è un nodo di quel tratto, unito al suo obiettivo principale, e i sette obiettivi fluttuano intorno alla colonna, sostenuti dalle lezioni che li alimentano.