Abschlussbilanz des Kurses Mathematische Logik I

Was sich der Kurs vorgenommen hat

Alle Mathematikkurse verlangen Beweise, und alle Philosophiekurse verlangen Argumente; nun macht keiner von ihnen das Schließen selbst zu seinem Gegenstand. Der Kurs entstand daher mit einem Gesamtziel: die erste vollständige mathematische Theorie aufzubauen, deren Gegenstand das Schließen ist, mit ihren vier Teilen vor Augen: einer Sprache, deren Formeln ohne Mehrdeutigkeit erkannt werden; einem Kalkül, der Ableitungen hervorbringt, ohne auf die Bedeutung der Zeichen zu achten; einer Bedeutung, die jeder Formel unter jeder Belegung ihren Wert zuweist; und dem Beweis, dass Kalkül und Bedeutung übereinstimmen, das heißt, dass $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$ für jede Formelmenge $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt. Die Lektion über den Studienplan hat dieses Gesamtziel in sieben globale Lernziele entfaltet, die man mit der Nummerierung vor Augen haben sollte, mit der die Abbildung sie anführt:

1. Die Objektsprache von der Metasprache unterscheiden und mit den Bildungsregeln entscheiden, ob eine Zeichenkette eine Formel ist.
2. Aussagen und Argumente der natürlichen Sprache formalisieren und dabei angeben, was die Formalisierung bewahrt und was sie verliert.
3. Ableitungen im Kalkül des Kurses (den Axiomen von Łukasiewicz, dem Modus ponens und der Ersetzung der doppelten Negation) konstruieren und dabei Axiome, primitive Regeln und abgeleitete Regeln kombinieren.
4. Metatheoreme durch Induktion über die natürlichen Zahlen, über die Komplexität der Formeln und über die Länge der Ableitungen beweisen.
5. Semantische Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Folgerung und Äquivalenz mit Wahrheitstafeln und mit Äquivalenzen entscheiden.
6. Formeln in Normalformen umformen und mit ihnen Wahrheitsfunktionen und Schaltungen ausdrücken.
7. Korrektheit, Vollständigkeit und Kompaktheit erklären und anwenden und die Unerfüllbarkeit durch Resolution entscheiden.

Jede Lektion des Kurses hat außerdem ihre eigenen Einzelziele genannt. Die Lektionen sagen nicht, welchem globalen Lernziel jedes dient; diese Zuordnung ist eine Lesart von außen, nach derselben Methode wie in den übrigen Kursen der Website. Jedes Einzelziel wird einem globalen Hauptziel und, falls es sie berührt, weiteren Nebenzielen zugeordnet; jedes zählt in seinem Hauptziel ganz und in jedem Nebenziel zur Hälfte, und die Lektion wird als Hauptziel mit dem globalen Lernziel verbunden, das das meiste Gewicht auf sich vereint, und als Nebenziel mit den übrigen, die etwas Gewicht erhalten. Bei Gleichstand entscheidet das Lernziel der Einheit und, wenn keines es ist, das mit der kleineren Nummer; so wird die Lektion über die Induktion, deren vier Einzelziele Beweise durch Induktion sind, mit Lernziel 4 verbunden, obwohl sie zur Einheit über die Sprache gehört. Die Einführungen folgen derselben Regel. Die Zusammenfassungen hingegen folgen einem eigenen Kriterium: Ihr Hauptziel ist das Lernziel ihrer Einheit, denn ihre deduktive Kette, ihr Abschlusstest und die meisten ihrer Herausforderungen führen zusammen, was die Einheit gelehrt hat, und ihre Nebenziele sind die übrigen Lernziele, die ihre Einzelziele und ihre sechs Herausforderungen üben. Wenn dem so ist, nimmt der ganze Kurs die Gestalt eines Rückgrats an: Der Kopf ist das Gesamtziel; die Säule die Reihenfolge der Einheiten, jede mit ihrem Abschnitt; jede Lektion ist ein Knoten dieses Abschnitts, mit ihrem Hauptziel verbunden, und die sieben Lernziele schweben um die Säule, getragen von den Lektionen, die sie speisen.