Studienplan des Kurses Mathematische Logik I

Zweck

Alle Mathematikkurse verlangen zu beweisen, und alle Philosophiekurse verlangen zu argumentieren; doch keiner von ihnen macht das Schließen selbst zu seinem Gegenstand, und alle setzen als verstanden voraus, was es heißt, dass eine Konklusion aus Prämissen folgt. Dieser Kurs macht diese Frage zu seinem Thema. Sein Zweck ist es, für die einfachste Sprache der Logik die erste vollständige mathematische Theorie aufzubauen, deren Gegenstand das Schließen ist, mit ihren vier Bestandteilen vor Augen: einer Sprache, deren Formeln sich erkennen und eindeutig lesen lassen; einem Kalkül, der Ableitungen hervorbringt, ohne auf die Bedeutung der Symbole zu achten; einer Bedeutung, die jeder Formel unter jeder Belegung ihrer Variablen ihren Wahrheitswert zuweist; und dem Beweis, dass Kalkül und Bedeutung übereinstimmen.

Wenn dem so ist, dann ist der Kurs keine Sammlung von Regeln zum Umformen von Symbolen, sondern eine Theorie mit einem zentralen Ergebnis, dem Vollständigkeitssatz, den alles Vorangehende vorbereitet. Für eine Formelmenge $\Gamma$ und eine Formel $\varphi$ besagt die Ableitbarkeit $\Gamma \vdash \varphi$, dass es eine endliche Folge von Formeln gibt, gebildet aus Axiomen und Regeln, die mit $\varphi$ endet; die semantische Folgerung $\Gamma \models \varphi$ besagt, dass jede Belegung, die die Formeln von $\Gamma$ wahr macht, auch $\varphi$ wahr macht. Beide Relationen entspringen entgegengesetzten Ideen, die eine syntaktisch und existenziell, die andere semantisch und universell; der Kurs beweist dennoch, dass $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$. Daraus folgt, dass sich jede Frage danach, was aus Prämissen folgt, von der jeweils leichteren Seite her beantworten lässt: indem man eine Ableitung vorweist, eine Tafel durchläuft oder, wie die letzte Inhaltslektion lehrt, durch Resolution widerlegt.

Zielgruppe und Vorkenntnisse

Der Kurs richtet sich an alle, die ein Studium der Mathematik, der Informatik oder der Philosophie beginnen, und an alle, die in irgendeinem Abschnitt ihrer Ausbildung genau wissen wollen, was ein Beweis ist und warum man ihm vertrauen kann: Studierende, die in die Hochschulmathematik einsteigen und an den Beweisen scheitern, Studierende der Informatik, die die Logik der Schaltkreise, der Programme und der Erfüllbarkeitsprobleme brauchen, und Studierende der Philosophie, die von der Logik der Argumente zu ihrer Theorie übergehen wollen.

Es ist ein Kurs der Stufe 1, ohne Voraussetzungen und in sich geschlossen. Er setzt weder voraus, dass man Logik studiert hat, noch dass man die Mengenlehre kennt, noch dass man je einen Satz bewiesen hat. Was er von den Mengen (Elementbeziehung, Inklusion, Vereinigung, Formelmengen), den Funktionen (eine Belegung ist eine Funktion von den Variablen nach $\{0, 1\}$), den Zeichenketten und der Induktion verwendet, lehrt er dort, wo er es braucht: die Mengen und die Zeichenketten in der Lektion der Einheit 1 über die Sprache, die Induktion in der darauf folgenden Lektion, bevor er sie verwendet. Er setzt nur zweierlei voraus: aufmerksames Lesen, denn in einer formalen Sprache verändert ein hinzugefügtes oder ausgelassenes Symbol die Zeichenkette, und die elementare Arithmetik der natürlichen Zahlen, die in diesem Kurs, wie auf der übrigen Website, bei $1$ beginnen.

Wohin er führt

Aus dem Vorigen ergibt sich der Platz des Kurses auf der Website. Er hat keine Voraussetzungen und ist Ziel dreier Studienpfade, Mathematik, Informatik und Philosophie, weil in allen dreien das Schließen zugleich Werkzeug und Gegenstand ist. Er hat drei ergänzende Kurse, die vorher, parallel oder nachher und in beliebiger Reihenfolge belegt werden können. Aristotelische Logik untersucht die Begriffslogik und den Syllogismus, dessen Gültigkeit von Wörtern wie „alle“ und „einige“ abhängt, die dieser Kurs ausklammert, und zeigt, aus welcher Tradition man zum Kalkül gelangt ist. Algebra und Geometrie I errichtet ein deduktives Gebäude aus den Peano-Axiomen und wendet an den Zahlen die axiomatische Methode und die Induktion an, die dieser Kurs als Gegenstand untersucht; sein Plan empfiehlt, diesen Kurs vorher oder parallel zu studieren. Programmieren in C++ I schließlich bringt in die Praxis, was hier Theorie ist: entscheiden, ob eine Zeichenkette wohlgeformt ist, eine Wahrheitstafel durchlaufen, eine Normalform berechnen oder eine Widerlegung suchen sind Verfahren, die sich als Programme schreiben lassen.

Nun lässt der Kurs eine Frage des Ausdrucks offen: Seine Sprache kann weder „alle“ noch „einige“ sagen, und die Formalisierung deutscher Argumente verliert von Einheit 1 an die Quantoren. Daher ist seine vorgesehene Fortsetzung die Mathematische Logik II, die der Prädikatenlogik gewidmet ist und denselben Weg mit Quantoren und mit Variablen gehen wird, die über Objekte laufen: Sie wird Korrektheit, Vollständigkeit und Kompaktheit bewahren, mit Methoden, die dieser Kurs vorwegnimmt, doch in ihr wird die Folgerung nicht mehr entscheidbar sein.

Übergreifende Lernziele

Die folgenden Lernziele beschreiben, was können soll, wer den Kurs abschließt. Jedes ist als beobachtbare Leistung formuliert, sodass es sich an einer konkreten Aufgabe überprüfen lässt; jede Inhaltslektion nennt ihrerseits ihre eigenen Lernziele, die einem oder mehreren der übergreifenden dienen, und die Abschlusslektion zeigt, in welchen Einheiten und Lektionen jedes bearbeitet wird. Die sieben Lernziele sind nummeriert, damit man sie zitieren kann.

1. Lernziel 1. Die Objektsprache von der Metasprache unterscheiden und mit den Bildungsregeln entscheiden, ob eine Zeichenkette eine Formel ist.
2. Lernziel 2. Aussagen und Argumente der natürlichen Sprache formalisieren und angeben, was die Formalisierung bewahrt und was sie verliert.
3. Lernziel 3. Ableitungen im Kalkül des Kurses (den Axiomen von Łukasiewicz, dem Modus ponens und der Ersetzung der doppelten Negation) konstruieren, indem man Axiome, Grundregeln und abgeleitete Regeln kombiniert.
4. Lernziel 4. Metatheoreme durch Induktion über die natürlichen Zahlen, über die Komplexität der Formeln und über die Länge der Ableitungen beweisen.
5. Lernziel 5. Semantische Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Folgerung und Äquivalenz mit Wahrheitstafeln und mit Äquivalenzen entscheiden.
6. Lernziel 6. Formeln in Normalformen umformen und mit ihnen Wahrheitsfunktionen und Schaltkreise ausdrücken.
7. Lernziel 7. Korrektheit, Vollständigkeit und Kompaktheit erklären und anwenden, und die Unerfüllbarkeit durch Resolution entscheiden.

Die Lernziele 3 und 7 haben jeweils ihre eigene Einheit, die Deduktion und die Metatheorie; die Lernziele 5 und 6 teilen sich die Einheit Semantik, das erste in ihrer ersten Hälfte, das zweite in der zweiten. Lernziel 2 hat eine eigene Lektion, die der Formalisierung, und wird danach jedes Mal geübt, wenn ein Problem in Worten gestellt wird. Die Lernziele 1 und 4 hingegen sind übergreifend: Die Unterscheidung zwischen dem, was innerhalb der Sprache, und dem, was über sie gesagt wird, durchzieht die vier Einheiten, und die Induktion ist die Form aller wichtigen Beweise des Kurses, von der eindeutigen Lesbarkeit der Formeln bis zur Korrektheit des Kalküls und zum Lemma von Kalmár. Daraus folgt, dass ihr Erreichen keiner einzelnen Lektion zugeschrieben werden kann und dass man sie über den ganzen Kurs hinweg pflegen sollte.

Der Kalkül des Kurses und seine Entscheidungen

Ein Kurs über Aussagenlogik lässt sich auf viele Arten aufbauen, und die üblichen Lehrbücher unterscheiden sich in der Sprache, in den Grundjunktoren und im Deduktionssystem. Dieser Kurs trifft drei Entscheidungen, die man von Anfang an kennen sollte, weil sie erklären, was auf den ersten Blick seltsam wirken kann.

Eine Sprache aus Kreisen und Scheiben

Die Sprache des Kurses hat ein Alphabet aus nur zwei Symbolen, dem Kreis $\sigO$ und der Scheibe $\sigI$. Die $n$-te Variable ist die Zeichenkette aus $n$ Kreisen, gefolgt von einer Scheibe, $v_{n} = \sigO^{n}\sigI$, sodass $v_{1} = \sigO\sigI$ und $v_{2} = \sigO\sigO\sigI$; und es gibt eine einzige Bildungsregel: Sind $\varphi$ und $\psi$ Formeln, so ist es auch $\sigI\varphi\psi$, was als $(\varphi \downarrow \psi)$ abgekürzt und „weder $\varphi$ noch $\psi$“ gelesen wird. Der Peirce-Pfeil $\downarrow$ ist somit der einzige Grundjunktor, und alle übrigen sind Abkürzungen, die ein einziges Mal definiert werden: $\neg\varphi$ ist $(\varphi \downarrow \varphi)$, die Disjunktion $(\varphi \vee \psi)$ ist $\neg(\varphi \downarrow \psi)$, und aus ihnen werden die Konjunktion, die Implikation, das Bikonditional und die ausschließende Disjunktion definiert. Jede andere Schreibweise für sie ist ein Theorem, das bewiesen wird, und keine Definition.

Die Wahl hat einen Preis, die Lesbarkeit, den der Kurs in der Metasprache bezahlt: Niemand schreibt im Alltag Ketten aus Kreisen und Scheiben, sondern deren abgekürzte Namen, die sich jederzeit bis zu der Zeichenkette entfalten lassen, die sie bezeichnen. Doch sie zahlt sich vielfach aus. Zwei Symbole genügen für unendlich viele Variablen, sodass jede Formel eine endliche Zeichenkette über einem zweielementigen Alphabet ist. Der Junktor steht vor seinen Argumenten, und deshalb sind keine Klammern nötig: Die eindeutige Lesbarkeit wird mit einem Gewichtsargument bewiesen, das jeder Variablen $+1$ und jeder Junktorscheibe $-1$ zuordnet. Und da jede zusammengesetzte Formel ein Peirce-Pfeil ist, hat jeder Beweis durch Induktion über die Komplexität nur einen einzigen zusammengesetzten Fall, was alle Beweise der folgenden Einheiten verkürzt. Dass ein einziger Junktor genügt, um jeden anderen auszudrücken, wird nicht vorausgesetzt: Die Einheit Semantik beweist es.

Eine zweite Grundregel

Das Deduktionssystem geht vom Kalkül von Jan Łukasiewicz aus: drei Axiomenschemata, mit Negation und Implikation geschrieben, und der Modus ponens als einzige Regel. Diese Schemata wurden für Sprachen formuliert, deren Grundjunktoren die Negation und die Implikation sind; in der Sprache aus Kreisen und Scheiben ist eine Formel wie $(v_{1} \downarrow v_{2})$ weder das eine noch das andere, und für die Axiome ist sie undurchsichtig. Die erste Lektion der Einheit Deduktion beweist mit einer Markierung, die alle Axiome tragen, die der Modus ponens erhält und die die Formel nicht trägt, dass der Łukasiewicz-Kalkül $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ nicht ableitet.

Wenn dem so ist, muss der Kalkül ergänzt werden, und das natürliche Heilmittel scheint der Beweis der doppelten Negation zu sein, $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$, die die zweite Lektion aus den drei Schemata ableitet. Die Markierung zeigt, dass das nicht genügt: Die Theoreme der doppelten Negation erhalten sie, und doch lässt sich selbst mit ihnen $v_{1}$ innerhalb eines Peirce-Pfeils nicht gegen $\neg\neg v_{1}$ austauschen. Daher fügt die zweite Lektion, nachdem sie die doppelte Negation bewiesen hat, eine zweite Grundregel hinzu, die Ersetzung der doppelten Negation: Aus einer Formel $\chi$ wird diejenige geschlossen, die entsteht, wenn man in ihr ein Vorkommen einer Teilformel $\theta$ durch $\neg\neg\theta$ ersetzt, oder eines von $\neg\neg\theta$ durch $\theta$. Der Kalkül des Kurses besteht also aus den drei Schemata von Łukasiewicz, dem Modus ponens und dieser Regel.

Andere Kalküle für den Peirce-Pfeil erreichen dasselbe mit maßgeschneiderten Axiomenschemata. Der Kurs zieht aus zwei Gründen eine Regel vor: Sie ist noch einfacher als der Modus ponens, weil sie eine einzige Zeile nimmt und ein einziges Vorkommen ändert, und sie hat nichts Künstliches, weil sie ausdrückt, was die doppelte Negation schon sagt, nämlich dass $\theta$ und $\neg\neg\theta$ austauschbar sind, ausgedehnt auf jede Stelle einer Formel. Sie ist außerdem korrekt, weil sie den Wahrheitswert jeder Zeile erhält, und sie bewahrt das Deduktionstheorem, mit einem zusätzlichen Fall in seinem Beweis. Dass sie genügt, um alles abzuleiten, was abgeleitet werden muss, ist der Vollständigkeitssatz der letzten Einheit.

Kompaktheit vor starker Vollständigkeit

Die Vollständigkeit kennt drei Stufen: Die schwache besagt, dass jede Tautologie ein Theorem ist; die endliche, dass jede Folgerung aus einer endlichen Prämissenmenge aus ihr ableitbar ist; die starke, dass dasselbe für eine beliebige, auch unendliche Menge gilt. Die Methode des Kurses, das Lemma von Kalmár, arbeitet mit den endlich vielen Variablen einer Formel und mit endlichen Prämissen und erreicht deshalb die ersten beiden Stufen, nicht aber die dritte. Um dorthin zu gelangen, genügt es, dass, falls $\Gamma \models \varphi$, schon ein endlicher Teil $\Gamma_{0}$ von $\Gamma$ die Bedingung $\Gamma_{0} \models \varphi$ erfüllt; genau das aber besagt der Kompaktheitssatz.

Viele Lehrbücher beweisen zuerst die starke Vollständigkeit mit einer anderen Methode und leiten aus ihr die Kompaktheit ab. In diesem Kurs hingegen ist die starke Vollständigkeit das Gesuchte, und die Kompaktheit aus ihr zu gewinnen wäre zirkulär. Daher kehrt sich die Reihenfolge um: Die Lektion über die Kompaktheit beweist sie innerhalb der Semantik, ohne irgendeine Ableitung zu erwähnen, indem sie die Werte von $v_{1}, v_{2}, \ldots$ einen nach dem anderen festlegt, und erst danach gewinnt sie in drei Zeilen die starke Vollständigkeit, das heißt $\Gamma \models \varphi \Rightarrow \Gamma \vdash \varphi$ für jede Menge $\Gamma$.

Inhalte

Der Kurs gliedert sich in sechs Einheiten: diese Vorstellung, vier Inhaltseinheiten und einen Abschluss. Jede Inhaltseinheit beginnt mit einer Einführungslektion, die ihre Lektionen, ihren Platz im Kurs, das als bekannt Vorausgesetzte und das gelöste Problem vorstellt und mit einem Eingangstest beginnt; sie endet mit einer Lektion der Zusammenfassung, die die deduktive Kette der Einheit rekonstruiert, sie mit dem übrigen Kurs verbindet, in einem Abschlusstest die Fertigkeiten des Eingangstests wiederholt und sechs Herausforderungen stellt, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen.

Einheit 0. Vorstellung des Kurses

Sie besteht aus dieser Lektion, die Zweck, übergreifende Lernziele, Entscheidungen, Inhalte, Aufwand und Gestaltung des Kurses festlegt.

Einheit 1. Sprache

Ihr Lernziel ist es, die Sprache aufzubauen, die der Kurs untersucht, zu beweisen, dass sich jede Formel auf nur eine Weise lesen lässt, und sie mit den Argumenten des Deutschen zu verbinden.

1. Sprache: Einführung.
2. Was ist mathematische Logik: Gültigkeit und Wahrheit, das Gegenbeispiel, die Paradoxien und die Unterscheidung zwischen Objektsprache und Metasprache.
3. Die Sprache der Aussagenlogik: Mengen und Zeichenketten, die Sprache aus Kreisen und Scheiben, ihre Bildungsregel und ihre Abkürzungen.
4. Induktion über die natürlichen Zahlen und über Formeln: einfache, starke und strukturelle Induktion, das Gewichtslemma, die eindeutige Lesbarkeit und die rekursiven Definitionen.
5. Formalisierung der natürlichen Sprache: das Wörterbuch, die Übersetzung von Aussagen und Argumenten und was die materiale Implikation verliert.
6. Sprache: Zusammenfassung und Herausforderungen.

Einheit 2. Deduktion

Ihr Lernziel ist es, der Sprache einen Kalkül zu geben, den Kalkül des Kurses, und in ihm, jede ein einziges Mal, die Arten des Schließens abzuleiten, die die Mathematik verwendet, ohne sie zu benennen.

1. Deduktion: Einführung.
2. Formale Deduktionssysteme: der Łukasiewicz-Kalkül, die Ableitung aus Prämissen, das Deduktionstheorem und die Markierung, die seine Grenze zeigt.
3. Vier Ableitungstechniken: der hypothetische Syllogismus, die Vertauschung der Prämissen, die doppelte Negation, die Kontraposition und die Ersetzung der doppelten Negation.
4. Die Symmetrien der Junktoren: das Grundlemma des Peirce-Pfeils, die Ersetzung äquivalenter Formeln, die äquivalenten Formen der Disjunktion und der Konjunktion und ihre fünf Symmetrien.
5. Die Techniken der klassischen Logik: die Regeln jedes Junktors, das ausgeschlossene Dritte, der Beweis durch Fallunterscheidung und der Widerspruchsbeweis, mit Prämissen.
6. De-Morgan-Gesetze und Distributivgesetze: ihre Beweise in beiden Richtungen und die Ersetzung äquivalenter Formeln innerhalb anderer Formeln.
7. Deduktion: Zusammenfassung und Herausforderungen.

Einheit 3. Semantik

Ihr Lernziel ist es, den Formeln eine Bedeutung zu geben, mit ihr Gültigkeit und Folgerung zu entscheiden und jede Formel auf Normalformen zurückzuführen.

1. Semantik: Einführung.
2. Semantik der Aussagenlogik: Belegungen und ihre rekursive Fortsetzung, das Koinzidenzlemma, die Wahrheitstafeln, die Gültigkeit und die Erfüllbarkeit.
3. Semantische Folgerung und Äquivalenz: die Folgerung aus Mengen, das semantische Deduktionstheorem, die semantische Ersetzung und die uniforme Substitution.
4. Verallgemeinerte De-Morgan- und Distributivgesetze: Konjunktionen und Disjunktionen aus $n$ Gliedern und ihre Gesetze, durch Induktion.
5. Funktionale Vollständigkeit: Jede Wahrheitsfunktion hat eine Formel, der Peirce-Pfeil allein genügt, und die vollständigen Junktorensysteme.
6. Normalformen: Literale, Klauseln, disjunktive und konjunktive Form, ihre Dualität und ihre Existenz.
7. Der Normalform-Algorithmus und seine Anwendungen: ein korrekter und terminierender Algorithmus sowie Entwurf und Vereinfachung von Schalterschaltungen.
8. Semantik: Zusammenfassung und Herausforderungen.

Einheit 4. Metatheorie

Ihr Lernziel ist es zu beweisen, dass Ableitung und Folgerung übereinstimmen, zuerst für endliche und dann für beliebige Prämissen, und einen dritten Weg anzubieten, sie zu entscheiden.

1. Metatheorie: Einführung.
2. Korrektheit und Vollständigkeit: die Korrektheit durch Induktion über die Zeilen, die Widerspruchsfreiheit, das Lemma von Kalmár und die schwache und endliche Vollständigkeit.
3. Der Kompaktheitssatz: sein semantischer Beweis, seine äquivalenten Formen, die starke Vollständigkeit, die aus ihm folgt, und seine kombinatorischen Anwendungen.
4. Die Resolutionsmethode: die Klauselform, die Resolutionsregel, ihre Korrektheit und ihre Widerlegungsvollständigkeit sowie ihr Aufwand.
5. Metatheorie: Zusammenfassung und Herausforderungen.

Einheit 5. Abschluss des Kurses

Sie besteht aus der Lektion Abschlussbilanz des Kurses Mathematische Logik I, die an die sieben übergreifenden Lernziele erinnert, in einer Abbildung zeigt, in welchen Einheiten und Lektionen jedes bearbeitet wird, den ersten Versuch der Abschlusstests nach Lernziel zusammenführt und angibt, wo das Studium weitergeht.

Aufwand und Leistungspunkte

Der Aufwand eines Kurses bemisst sich nicht nach den Vortragsstunden, die es in einem asynchronen Kurs nicht gibt, sondern nach der gesamten Arbeit dessen, der ihn studiert: lesen, den Beweisen und Ableitungen folgen, Aufgaben lösen und wiederholen. Die Schätzung folgt in allen Kursen der Website derselben Methode: Sie rechnet die Lesezeit des Textes jeder Lektion mit hundert Wörtern pro Minute, wobei jede Formel als ein Wort zählt, zwanzig Minuten pro gelöster Aufgabe, fünfunddreißig pro Übungsaufgabe, fünfundvierzig pro Herausforderung und zwölf pro Eingangs- oder Abschlusstest, und schlägt eine Marge von einem Zehntel für die Wiederholung auf.

Ergebnisse

Die Lektionen des Kurses enthalten insgesamt $90$ gelöste Aufgaben, $90$ Übungsaufgaben und $24$ Herausforderungen, dazu acht Einheitentests. Der geschätzte Aufwand pro Einheit, auf volle Stunden gerundet, ist folgender:

• Einheit 0, Vorstellung des Kurses: weniger als $1$ Stunde.
• Einheit 1, Sprache: $30$ Stunden.
• Einheit 2, Deduktion: $36$ Stunden.
• Einheit 3, Semantik: $43$ Stunden.
• Einheit 4, Metatheorie: $25$ Stunden.
• Einheit 5, Abschluss des Kurses: weniger als $1$ Stunde.

Insgesamt sind es etwa $137$ Arbeitsstunden. Diese Zahl sollte man als das lesen, was sie ist: eine Schätzung für jemanden, der alle Beweise studiert und alle Aufgaben und Herausforderungen löst. Wer schon Logik studiert hat oder sich auf die Übungsaufgaben beschränkt, ohne die Herausforderungen anzugehen, wird deutlich weniger brauchen; wer nie einen Satz bewiesen hat, braucht möglicherweise mehr, vor allem in den Einheiten Deduktion und Semantik, die zugleich die umfangreichsten sind.

Nun ist die Zahl nominell: Sie legt die Leistungspunkte des Kurses fest und setzt ein gleichmäßiges Lesetempo und eine Dreiviertelstunde pro Herausforderung voraus. Solange sie nicht an echten Studierenden gemessen ist, sollte man ihr eine realistische Spanne beigeben. Ginge das Lesen nur halb so schnell wie angenommen, wie es geschieht, wenn man jede Ableitung mit Papier und Bleistift abschreibt und jede Kette aus Kreisen und Scheiben von Hand zerlegt, und verlangte jede Herausforderung fünfundsiebzig statt fünfundvierzig Minuten, so ergäbe dieselbe Methode etwa $174$ Stunden. Daher liegt der zu erwartende Aufwand zwischen etwa $137$ und etwa $174$ Stunden. Das obere Ende ist eine vorsichtige Schranke, keine Messung; die Spanne wird korrigiert, sobald bekannt ist, wie viel Zeit die Studierenden des Kurses tatsächlich aufwenden, und bis dahin werden die Leistungspunkte mit der nominellen Zahl berechnet.

Empfohlenes Tempo

Um die Lerntempi zu benennen, folgt dieser Plan demselben Kriterium wie die übrigen Pläne der Website: Vollzeit entspricht einem Studienjahr von $60$ Leistungspunkten, etwa $1650$ Stunden, verteilt auf rund vierzig Wochen, also etwa $40$ Wochenstunden, und Teilzeit der Hälfte davon, etwa $20$ Wochenstunden. Daraus folgt ein empfohlenes Tempo von einem Semester zu sechzehn Wochen mit etwa $8$ bis $9$ Wochenstunden Lernzeit, etwas mehr als ein Fünftel der Vollzeit; mit der realistischen Spanne $9$ bis $11$ Wochenstunden. Dieses Semester kann man mit Algebra und Geometrie I teilen, dessen Beweise sich besser lesen, wenn die Deduktion bereits ein bekannter Gegenstand ist.

Ein intensives Tempo von etwa $20$ Wochenstunden, also Teilzeit, schließt den Kurs in sieben Wochen ab. Ein gemächlicheres Tempo von etwa $4$ bis $5$ Wochenstunden dehnt ihn auf zwei Semester, die ihn fast hälftig aufteilen: Die Einheiten 0 bis 2, Sprache und Deduktion, beanspruchen etwa $67$ Stunden, die Einheiten 3 bis 5, Semantik, Metatheorie und Abschluss, etwa $69$.

Entsprechung in übertragbaren Leistungspunkten

Systeme übertragbarer Leistungspunkte bemessen einen Kurs nach der gesamten Arbeit, die er von den Teilnehmenden verlangt, und nicht nach den Präsenzstunden, damit Studienleistungen, die an einer Einrichtung erbracht wurden, an einer anderen anerkannt werden können. Das Europäische System zur Übertragung und Akkumulierung von Studienleistungen, das die europäischen Hochschulen im Gefolge der Bologna-Erklärung eingeführt haben, weist einem Vollzeit-Studienjahr $60$ Leistungspunkte zu und setzt jeden Leistungspunkt mit $25$ bis $30$ Arbeitsstunden an. Das chilenische System übertragbarer Leistungspunkte, das die chilenischen Hochschulen nach einem analogen Muster eingeführt haben, weist dem Studienjahr ebenfalls $60$ Leistungspunkte zu und setzt jeden Leistungspunkt mit $24$ bis $31$ Arbeitsstunden an.

Nun entspricht der Kurs, wenn man die geschätzten $137$ Stunden durch die Grenzen jedes Intervalls teilt, etwa $5$ europäischen Leistungspunkten (4,6 bis 5,5) und zwischen $4$ und $6$ chilenischen übertragbaren Leistungspunkten (4,4 bis 5,7). Nimmt man als Bezugsgröße den Mittelwert beider Intervalle, 27,5 Stunden pro Leistungspunkt, so erhält man in beiden Systemen dieselbe Zahl, 4,98, die auf 5 gerundet wird. Für die europäischen Leistungspunkte ist die Zahl $C$ der Leistungspunkte somit wie folgt eingegrenzt:

Daher wird empfohlen, dem Kurs $5$ europäische und $5$ chilenische übertragbare Leistungspunkte zuzuweisen, also ein Zwölftel eines Vollzeit-Studienjahres, etwas weniger als eine übliche Semesterveranstaltung mit sechs Leistungspunkten.

Gestaltung des Kurses

Studienform

Der Kurs ist asynchron, online und im eigenen Tempo zu absolvieren: Er hat keine Termine, keine Live-Sitzungen und keine Fristen, und alle Studierenden kommen so schnell voran, wie es ihre Vorbildung und ihre Zeit erlauben. Er wird in den vierzehn Sprachen der Website angeboten, mit derselben Logik in allen: Die Formeln, die Ableitungen und die Schritte der Beweise sind in jeder Fassung identisch, und nur der Text wird übersetzt. Die Lektionen geben an, welche anderen Lektionen man vorher studiert haben sollte, sodass die empfohlene Reihenfolge ausdrücklich ist.

Der Aufbau einer Lektion

Alle Inhaltslektionen folgen demselben Aufbau. Sie beginnen mit einer Zusammenfassung und einer Liste eigener Lernziele, formuliert als beobachtbare Leistungen. Es folgen die Theorie, mit den Definitionen, den präzise formulierten Ergebnissen und ihren Beweisen, und die Beispiele. Die Beweise werden als Schritt-für-Schritt-Abspieler dargeboten: Jeder Schritt schreibt eine Zeile, hebt hervor, was sich ändert, und kehrt, wenn er sich auf ein früheres Ergebnis stützt, zu diesem zurück. Die Ableitungen des Kalküls werden mit nummerierten Zeilen und der Begründung jeder Zeile rechts daneben geschrieben (ein Axiom, eine Prämisse, der Modus ponens mit den verwendeten Zeilen oder eine abgeleitete Regel), und beim Fortschreiten werden die zitierten Zeilen hervorgehoben. Den Abschluss der Lektion bilden fünf gelöste Aufgaben mit ihrer Schritt-für-Schritt-Lösung und fünf Übungsaufgaben, jede mit einem eingeklappten Hinweis und danach der Endlösung; die Beweisaufgaben fügen, eingeklappt nach der Antwort, eine ausgearbeitete Lösung hinzu, die man erst öffnen sollte, nachdem man die eigene niedergeschrieben hat.

Jede Lektion lässt sich außerdem mit der Vorlesefunktion der Website laut anhören, die die Symbole der Formeln in Worten ausspricht, einschließlich des Kreises, der Scheibe und der Symbole für Ableitung und Folgerung.

Bewertung

Der Kurs vergibt keine Noten: Seine Bewertung ist formativ und stützt sich auf die Selbsteinschätzung. Die Übungsaufgaben erlauben zu prüfen, ob die Lernziele jeder Lektion erreicht sind, und die Herausforderungen, ob die Lernziele jeder Einheit erreicht sind. Hinzu kommen die Einheitentests: Der Eingangstest zu Beginn der Einführung misst den Ausgangspunkt mit elf bis fünfzehn Fragen, weil er zu denen der Einheit einige über das hinzufügt, was die Einheit als bekannt voraussetzt; der Abschlusstest in der Zusammenfassung der Einheit und vor den Herausforderungen misst das Erreichte mit zwölf Fragen und wird mit dem Eingangstest verglichen. Beide werden direkt im Browser korrigiert, mit einer Erklärung zu jeder Antwort und einem Verweis auf die Lektion, die man wiederholen sollte; ihre Ergebnisse werden nur im Browser der Person gespeichert, die sie beantwortet, und die Abschlussbilanz führt den ersten Versuch jedes Abschlusstests in einem Profil nach übergreifendem Lernziel zusammen.

Wie man diesen Kurs studiert

Der Kurs ist dafür gedacht, der Reihe nach studiert zu werden. Jede Einheit setzt die vorigen voraus: Die Deduktion wird in der Sprache der ersten geschrieben, die Semantik gibt deren Formeln einen Wert, und die Metatheorie vergleicht die zweite mit der dritten; wer eine Lektion überspringt, muss früher oder später zu ihr zurückkehren.

In jeder Lektion sollte man zuerst die Zusammenfassung und die Lernziele lesen; dann die Theorie mit Papier und Bleistift studieren, die Ketten aus Kreisen und Scheiben abschreiben, ihre Variablen und ihre Scheiben trennen und jede Zeile einer Ableitung vorwegnehmen, bevor der Abspieler sie schreibt; die gelösten Aufgaben versuchen, bevor man ihre Lösung ansieht, und die Übungsaufgaben ohne Hilfe lösen, wobei man den Hinweis erst öffnet, wenn der eigene Versuch erschöpft ist. Eine Aufgabe, deren Antwort man vor dem Versuch nachgeschlagen hat, ist nicht gelöst, sondern gelesen.

Schließlich sollte man stets unterscheiden, auf welcher Ebene eine Aussage steht: ob sie etwas innerhalb der Sprache sagt, wie eine Formel, oder etwas über sie, wie $\Gamma \vdash \varphi$ oder $\Gamma \models \varphi$. Diese Unterscheidung, die das erste Lernziel des Kurses ist, ist auch diejenige, die sein zentrales Ergebnis verstehen lässt, das sich nur in der Metasprache formulieren lässt.