Formalisierung der natürlichen Sprache

Von der Aussage zur Formel

Die Lektion über die Sprache der Aussagenlogik hat eine Sprache ohne Bedeutung aufgebaut: Zeichenketten aus Kreisen und Scheiben, eine Bildungsregel und einige Abkürzungen. Die Lektion über die Induktion über Formeln hat bewiesen, dass jede Formel auf nur eine Weise gelesen wird. Nun wurde diese Sprache zu einem Zweck gebaut: um die Form der Aussagen darzustellen, mit denen wir im Alltag, in den Wissenschaften, im Recht und in der Mathematik schließen, sodass sich die Richtigkeit eines Schlusses an der Form selbst untersuchen lässt, unabhängig von seinem Gegenstand. Diese Lektion schlägt die Brücke zwischen beiden Welten. Es ist keine mechanische Brücke: Die natürliche Sprache ist reich, mehrdeutig und vom Kontext abhängig, die formale Sprache arm, genau und starr. Daraus folgt, dass Formalisieren Interpretieren ist und dass jede Formalisierung begründet werden muss.

Eine Aussage im Sinne dieser Lektion ist ein Aussagesatz, der in seinem Kontext wahr oder falsch ist: „Wasser kocht auf Meereshöhe bei hundert Grad“, „Anna kam zu spät“, „$7$ ist eine Primzahl“. Fragen, Befehle und Wünsche („Ist Anna gekommen?“, „Mach die Tür zu“, „Wenn es doch regnete!“) sind keine Aussagen. Eine Aussage ist zusammengesetzt, wenn sie andere Aussagen enthält, die durch Partikeln wie „nicht“, „und“, „oder“, „wenn … dann“ verbunden sind; sie ist atomar, wenn sie sich nicht so zerlegen lässt. Die Aussagenlogik analysiert nicht das Innere der atomaren Aussagen: Für sie ist „Anna kam zu spät“ ein unteilbares Stück, das nur wahr oder falsch sein kann.

Die Konvention der Buchstaben

Die Formeln der Grundsprache sind Zeichenketten aus Kreisen und Scheiben; die $n$-te Variable ist $v_n = \sigO^{n}\sigI$, das heißt $n$ Kreise, gefolgt von einer Scheibe. Solche Zeichenketten zu schreiben ist ebenso sicher wie mühsam, und zum Formalisieren empfiehlt es sich, kurze Namen zur Verfügung zu haben. Wir vereinbaren die folgende Konvention, die in dieser Lektion und im übrigen Kurs gilt, sofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird:

Wenn dem so ist, sind die lateinischen Buchstaben $p$, $q$, $r$, $s$ und $t$ Namen von fünf bestimmten Variablen, so wie $7$ der Name einer bestimmten Zahl ist: $p$ variiert nicht, sondern bezeichnet stets die Zeichenkette $\sigO\sigI$. Die griechischen Buchstaben $\varphi$, $\psi$, $\chi$ und $\theta$ dagegen bleiben Metavariablen, wie in der Lektion über die Sprache: Sie bezeichnen beliebige Formeln, und eine mit ihnen geschriebene Aussage wie $(\varphi \downarrow \psi)$ ist ein Schema, das unendlich viele Formeln umfasst. Daraus folgt ein Unterschied, auf den es ankommt: $(p \downarrow q)$ ist eine einzige Formel, die Zeichenkette $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$; $(\varphi \downarrow \psi)$ ist eine Form von Formeln, deren Fälle $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$ und $(q \downarrow (p \downarrow r))$ sind. Manche Texte verwenden $p$ und $q$ als Metavariablen; hier nicht, denn beim Formalisieren brauchen wir, dass zwei verschiedene Buchstaben mit Sicherheit verschiedene Variablen bezeichnen, und eine Metavariable bietet diese Gewähr nicht: Nichts hindert $\varphi$ und $\psi$ daran, dieselbe Formel zu bezeichnen.

Das Wörterbuch einer Formalisierung

Eine Aussage zu formalisieren besteht aus drei Schritten: ihre atomaren Aussagen erkennen, jeder von ihnen eine Variable zuordnen und die zusammengesetzte Aussage mit den Junktoren wieder aufbauen. Die Zuordnung des zweiten Schritts heißt das Wörterbuch der Formalisierung, und sie muss stets angegeben werden, denn ohne sie sagt die Formel nichts. Das Wörterbuch gehorcht zwei Regeln: Dieselbe atomare Aussage erhält stets dieselbe Variable, und verschiedene atomare Aussagen erhalten verschiedene Variablen. Die erste gewährleistet, dass die Formel die Wiederholungen des Textes festhält; die zweite, dass sie keine Identitäten erfindet, die der Text nicht behauptet.