自然语言的形式化

从陈述句到公式

关于命题逻辑的语言的一课构造了一种没有意义的语言：由圆圈和圆盘组成的符号串、一条形成规则和若干缩写。关于公式上的归纳法的一课证明了每个公式都只有唯一的读法。然而，这种语言的构造是有目的的：它要表示我们在日常生活、科学、法律和数学中进行推理时所用陈述句的形式，使推理的正确性能够在形式本身中加以研究，而与其内容无关。本课在这两个世界之间架起桥梁。这座桥不是机械的：自然语言丰富、有歧义、依赖语境，而形式语言贫乏、精确、刻板。由此可知，形式化就是解释，每一种形式化都必须说明理由。

本课所说的陈述句，是在其语境中或真或假的陈述性语句：“在海平面上水在一百度沸腾”、“小芳迟到了”、“$7$ 是素数”。疑问、命令和愿望（“小芳迟到了吗？”、“把门关上”、“但愿下雨”）都不是陈述句。一个陈述句如果包含由“不”、“并且”、“或者”、“如果……那么”之类的词语连接起来的其他陈述句，就是复合的；如果不能这样分解，就是原子的。命题逻辑不分析原子陈述句的内部：对它来说，“小芳迟到了”是一个不可分割的整体，只能为真或为假。

字母的约定

基础语言的公式是由圆圈和圆盘组成的符号串；第 $n$ 个变元是 $v_n = \sigO^{n}\sigI$，即 $n$ 个圆圈后接一个圆盘。书写这样的符号串既可靠又累人，形式化时最好有简短的名字。我们采用下面的约定，它在本课以及本课程其余部分都有效，除非另有明确说明：

如果是这样，拉丁字母 $p$、$q$、$r$、$s$ 和 $t$ 就是五个确定变元的名字，正如 $7$ 是一个确定的数的名字：$p$ 并不变化，而是始终指称符号串 $\sigO\sigI$。希腊字母 $\varphi$、$\psi$、$\chi$ 和 $\theta$ 则仍然是元变元，如同在关于语言的一课中那样：它们表示任意公式，用它们写成的表达式，例如 $(\varphi \downarrow \psi)$，是一个涵盖无穷多个公式的模式。由此可知一个要紧的区别：$(p \downarrow q)$ 是唯一的一个公式，即符号串 $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$；$(\varphi \downarrow \psi)$ 则是公式的一种形式，$(p \downarrow q)$、$(p \downarrow p)$ 和 $(q \downarrow (p \downarrow r))$ 都是它的实例。有些教材把 $p$ 和 $q$ 用作元变元；这里不这样做，因为形式化时我们需要两个不同的字母确定地指称不同的变元，而元变元不提供这种保证：没有什么能阻止 $\varphi$ 和 $\psi$ 表示同一个公式。

形式化的词典

形式化一个陈述句包括三步操作：找出它的原子陈述句，给每个原子陈述句指定一个变元，再用联结词重建复合陈述句。第二步中的指定称为形式化的词典，它必须始终写明，因为没有它，公式什么也没说。词典遵守两条规则：同一个原子陈述句总是得到同一个变元，不同的原子陈述句得到不同的变元。第一条保证公式记录下文本中的重复；第二条保证它不捏造文本没有断定的同一。